基于矩陣擬合的InSAS干涉相位估計(jì)方法

白生祥，張森，張學(xué)波，鄭春弟

(1.海軍陸戰(zhàn)學(xué)院 教研部，廣東 廣州510431;2.海軍工程大學(xué) 電子工程學(xué)院，湖北 武漢430033)

干涉合成孔徑聲吶(InSAS)技術(shù)是目前海洋探測領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)和前沿。作為一種新興的水下三維高分辨成像技術(shù)，它兼?zhèn)淞撕铣煽讖匠上穹直媛矢吆透缮鏈y深精度高的優(yōu)點(diǎn)，具有十分廣闊的應(yīng)用前景［1］。InSAS獲取水下三維地形的原理與干涉合成孔徑雷達(dá)(InSAR)相似，一般都需要經(jīng)過合成孔徑成像、復(fù)圖像配準(zhǔn)、干涉相位濾波、相位解卷、以及DEM重構(gòu)等步驟［2-4］。在干涉處理過程中，這幾個(gè)步驟依次級聯(lián)，前一步驟存在的誤差會累積、傳遞到下一步當(dāng)中。由于復(fù)圖像配準(zhǔn)時(shí)要求精度達(dá)到亞像素級，一個(gè)較小的配準(zhǔn)誤差就可能導(dǎo)致錯(cuò)誤的相位展開結(jié)果，給干涉處理帶來了很大挑戰(zhàn)。因此，研究對配準(zhǔn)誤差具有寬容性的干涉相位估計(jì)方法具有重要的意義。

近年來，干涉信號處理中提出的許多相位濾波方法［5-6］:如圓周期中值濾波、圓周期均值濾波、自適應(yīng)濾波等，都要求圖像精確配準(zhǔn)，否則難以準(zhǔn)確地恢復(fù)真實(shí)相位。文獻(xiàn)［7］中提出了一種基于聯(lián)合像素模型的子空間投影方法，能夠在配準(zhǔn)誤差不超過一個(gè)分辨單元的條件下準(zhǔn)確地估計(jì)干涉相位，為干涉信號處理開辟了一條新的途徑。許多文獻(xiàn)進(jìn)行了研究改進(jìn)［8-12］。這些方法主要集中于對聯(lián)合像素模型的改進(jìn)上，屬于基于子空間分解一類的方法。而由于存在配準(zhǔn)誤差，這類方法在特征分解時(shí)存在信號子空間向噪聲子空間擴(kuò)散的問題，從而造成干涉相位的估計(jì)誤差，困擾著估計(jì)性能的提高。本文基于矩陣擬合的思想提出一種干涉相位估計(jì)方法，所提方法采用矩陣擬合代替了特征分解，因而能夠從源頭上擺脫子空間擴(kuò)散的影響，獲得更加穩(wěn)健的干涉相位估計(jì)性能。

1 聯(lián)合像素模型

假定InSAS復(fù)圖像對已精確配準(zhǔn)，對同一像素i(對應(yīng)于同一地面單元)，2個(gè)傳感器陣列接收的復(fù)數(shù)據(jù)矢量s(i)可以寫為

式中:a(φi)=［1 ejφi］T為陣列導(dǎo)向矢量;s1、s2分別為傳感器1、2所對應(yīng)的復(fù)圖像數(shù)據(jù);x(i)為像素i復(fù)幅度矢量(即不同傳感器接收的復(fù)散射矢量);n(i)為加性零均值高斯白噪聲;φi為真實(shí)地形的干涉相位，也是要估計(jì)的參數(shù);⊙表示Hadamard積;s(i)為觀測數(shù)據(jù)矢量，可以描述為聯(lián)合零均值復(fù)周期高斯隨機(jī)矢量，其對應(yīng)的聯(lián)合協(xié)方差矩陣Cs(i)為

式中:Rs(i)為像素i的相關(guān)矩陣，定義為

在實(shí)際情況中，2幅圖像很難完全精確配準(zhǔn)，當(dāng)存在配準(zhǔn)誤差時(shí)，基于單像素模型的干涉相位估計(jì)方法將失效。在這種背景下，文獻(xiàn)［7］提出聯(lián)合像素模型，利用當(dāng)前待估計(jì)像素及其鄰近像素具有相同統(tǒng)計(jì)特征這一特性，通過綜合利用鄰近像素對的相干信息，從統(tǒng)計(jì)估計(jì)的角度，使干涉相位盡可能得到恢復(fù)。典型的聯(lián)合像素模型構(gòu)造中像素窗為(3×3，3×3)，此時(shí)，聯(lián)合觀測數(shù)據(jù)矢量s(i)表示為

對應(yīng)的聯(lián)合協(xié)方差矩陣Cs(i)為

假設(shè)聯(lián)合觀測數(shù)據(jù)矢量s(i)的相鄰像素所處的局部區(qū)域?yàn)槠降?，則有

2 矩陣擬合相位估計(jì)

對子空間擬合的思想進(jìn)行拓展，使得擬合的空間不僅是信號子空間或噪聲子空間，而是一個(gè)與接收數(shù)據(jù)有關(guān)的矩陣。為了便于推導(dǎo)，首先從聯(lián)合協(xié)方差矩陣的擬合說起，可以構(gòu)造一個(gè)如下的擬合關(guān)系［13-14］:

式(7)給出的擬合問題是一個(gè)二維可分離的最小二乘問題，固定φi就可以求出的最小二乘解:

式中:?表示矩陣偽逆。對的求解涉及角度搜索問題和矩陣求逆運(yùn)算，運(yùn)算量巨大。為簡化計(jì)算，選取一個(gè)對角矩陣作為T的解取代的最小二乘解，即

式中:τ1、τ2、…、τM是M個(gè)復(fù)變量。將式(10)代入式(7)，則聯(lián)合矩陣協(xié)方差矩陣擬合可分解為式(11)所示的M個(gè)獨(dú)立的列向量擬合問題:

結(jié)合式(6)分析可知，上式方括號內(nèi)的項(xiàng)為與φi無關(guān)的常數(shù)，因而運(yùn)算量可大大降低。將式(12)代入式(11)可得到關(guān)于相位估值的解，即

將式(14)代入式(7)，仿照式(9)～(13)的求解過程，得到i的解為

式中

將式(17)代入式(16)并化簡后得

經(jīng)過上面的一系列推導(dǎo)就完成了干涉相位的估計(jì)問題，但顯然直接采用式(18)進(jìn)行搜索計(jì)算量仍然十分巨大，這里提出一種快速計(jì)算方法，通過給出i的閉式解形式避免干涉相位的搜索問題。

為了便于推導(dǎo)，令

容易證明矩陣A為M×M維的Hermitian矩陣，以2N表示偶數(shù)M，將A表示為2×2維的子矩陣組成的分塊矩陣形式，則式(19)可寫為

式中:Amn為A的子矩陣。令

易知B同樣為2×2維Hermitian矩陣。令，則

由式(23)可見，當(dāng)μ+φi=2kπ(k為整數(shù))即φi=2kπ-μ時(shí)，代價(jià)函數(shù)取得最大值。又因?yàn)棣読為干涉相位，其取值范圍為-π≤φi＜π，所以其估計(jì)結(jié)果i可表示為

3 矩陣擬合方法處理步驟。

采用矩陣擬合方法估計(jì)干涉相位可分以下4個(gè)步驟。

1)圖像粗配準(zhǔn)。

利用傳統(tǒng)的配準(zhǔn)算法(如相關(guān)法)對SAS圖像進(jìn)行粗配準(zhǔn)。只要配準(zhǔn)誤差不超過一個(gè)分辨單元即可，因此圖像配準(zhǔn)的復(fù)雜程度可大大降低。

2)估計(jì)聯(lián)合協(xié)方差矩陣。

構(gòu)造聯(lián)合觀測矢量s(i)，計(jì)算相應(yīng)的聯(lián)合協(xié)方差矩陣s(i)。在滿足各態(tài)歷經(jīng)性的條件下，可用樣本協(xié)方差矩陣按下式進(jìn)行估計(jì):

式中:2L+1為獲得的獨(dú)立同分布的樣本數(shù)。

3)估計(jì)加權(quán)相關(guān)系數(shù)矩陣。

實(shí)際中，相關(guān)系數(shù)矩陣也是通過樣本平均得到，令sm(i)和sn(i)分別表示聯(lián)合觀測矢量s(i)中第m和n個(gè)樣本，則相關(guān)系數(shù)可用下式估算:

4)矩陣擬合。

利用式(18)構(gòu)造參數(shù)為φi的擬合關(guān)系式，使代價(jià)函數(shù)達(dá)到最大值時(shí)，通過式(24)求出所對應(yīng)的干涉相位i即為最優(yōu)估計(jì)。

對合成孔徑聲吶圖像中的每個(gè)分辨單元按照上面的4個(gè)步驟逐一操作，就能夠精確的恢復(fù)真實(shí)相位。

4 處理性能驗(yàn)證及分析

下面分別采用InSAS仿真數(shù)據(jù)和實(shí)測數(shù)據(jù)驗(yàn)證本文方法的有效性。

4.1 InSAS 仿真數(shù)據(jù)

采用文獻(xiàn)［15］中提出的仿真方法生成回波信號，經(jīng)合成孔徑成像處理后，對圖像進(jìn)行相干處理得到干涉相位圖。圖1為2幅合成孔徑圖像精確配準(zhǔn)時(shí)不同方法的處理結(jié)果，圖1(a)為直接共軛相乘得到的干涉相位圖，圖1(b)為采用聯(lián)合子空間投影方法估計(jì)的干涉相位圖，圖1(c)為采用本文方法估計(jì)的干涉相位圖，圖1(d)為2方法處理結(jié)果與真實(shí)相位的誤差直方圖。從圖中可以看出，在精確配準(zhǔn)條件下，2方法都能夠正確估計(jì)出干涉相位，估計(jì)性能相差不大。

圖2為2幅圖像存在1個(gè)像素配準(zhǔn)誤差時(shí)不同方法處理得到的干涉相位。由圖可見，此時(shí)聯(lián)合子空間投影和本文方法仍可以較好的恢復(fù)干涉相位，兩者相比，本文方法估計(jì)出的條紋更清晰，估計(jì)誤差更小，性能更優(yōu)。圖3為不同配準(zhǔn)誤差條件下，2種估計(jì)方法所得結(jié)果的均方根誤差變化情況。由圖可見，當(dāng)配準(zhǔn)誤差小于0.5時(shí)，2種方法均方根誤差差別不大;當(dāng)配準(zhǔn)誤差大于0.5時(shí)，本文方法呈現(xiàn)出更好的適應(yīng)性和穩(wěn)健性，能夠保持更好的相位估計(jì)性能。

圖1 精確配準(zhǔn)時(shí)不同相位估計(jì)方法處理結(jié)果比較Fig.1 Comparison of interferogram for accurate coregistration

圖2 存在1個(gè)像素配準(zhǔn)誤差時(shí)不同方法的處理結(jié)果比較Fig.2 Comparison of interferogram for the coregistration error of 1 pixel

圖3 均方根誤差隨配準(zhǔn)誤差的變化Fig.3 Standard deviation versus coregistration error

4.2 InSAS 實(shí)測數(shù)據(jù)

在國家863計(jì)劃(2007AA091101)的支持下，海軍工程大學(xué)在原有基礎(chǔ)上成功研制了干涉合成孔徑聲吶海試樣機(jī)［16］，下面采用該樣機(jī)2010年在試驗(yàn)過程中采集的實(shí)測數(shù)據(jù)，對提出的方法進(jìn)行驗(yàn)證，樣機(jī)系統(tǒng)主要參數(shù)設(shè)置見表1。

表1 InSAS樣機(jī)系統(tǒng)參數(shù)Table 1 Parameters of the InSAS system

為了更直觀的對2種方法在不同配準(zhǔn)誤差下的性能進(jìn)行對比，選擇配準(zhǔn)誤差范圍為［0，1］個(gè)分辨單元的2幅干涉合成圖像進(jìn)行干涉處理，圖像配準(zhǔn)誤差總體上沿著距離向逐漸降低。從圖4可以看出，在干涉合成孔徑圖像配準(zhǔn)精度較高的右側(cè)區(qū)域2種方法處理效果差別不大，都能恢復(fù)清晰的干涉條紋。但在配準(zhǔn)誤差較大的左側(cè)區(qū)域，聯(lián)合子空間投影方法由于受到子空間擴(kuò)散的影響出現(xiàn)大量離散點(diǎn)，相比而言，矩陣擬合方法估計(jì)性能更加穩(wěn)健，具有更好的配準(zhǔn)誤差適應(yīng)能力和更優(yōu)的估計(jì)性能。

圖4 InSAS實(shí)測數(shù)據(jù)處理結(jié)果比較Fig.4 Comparison of interferogram for the data of trial InSAS system

5 結(jié)束語

本文提出一種基于矩陣擬合的InSAS干涉相位估計(jì)方法，該方法利用了包含在聯(lián)合協(xié)方差矩陣中的相干信息，并采用矩陣擬合的思想進(jìn)行干涉相位估計(jì)，從根本上避免了困擾子空間方法的信號子空間擴(kuò)散的難題。利用InSAS仿真數(shù)據(jù)和實(shí)測數(shù)據(jù)對矩陣擬合方法的干涉相位估計(jì)性能進(jìn)行了驗(yàn)證，處理結(jié)果表明了所提方法的有效性。

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