基于POT-GPD模型的巨災(zāi)損失分布及參數(shù)估計(jì)的比較

張晗霄 周月玥

（1.重慶大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶401331；2.重慶大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，重慶400044）

1 引言

中國(guó)是世界上自然災(zāi)害最為嚴(yán)重的國(guó)家之一，在1998年的特大洪水中，受災(zāi)面積3.18億畝，死亡3004人，直接經(jīng)濟(jì)損失達(dá)1666億元，對(duì)自然災(zāi)害發(fā)生的頻率和強(qiáng)度進(jìn)行研究具有重要意義。本文用POT-GPD模型對(duì)超過(guò)閾值的歷史觀(guān)測(cè)值進(jìn)行建模，用不同的參數(shù)估計(jì)方法，得到巨災(zāi)損失分布，進(jìn)而得到不同置信度要求下的VAR值，最后選擇一種更加穩(wěn)定、誤差更小的參數(shù)估計(jì)方法。

2 建立模型

巨災(zāi)損失分布尾部較厚，可用平均超出函數(shù)和指數(shù)QQ圖來(lái)直觀(guān)判斷[1]，適合用GPD模型擬合。其分布函數(shù)為設(shè)X1，X2…Xn為某地自然災(zāi)害損失樣本的順序統(tǒng)計(jì)量，μ為給定閾值。

超過(guò)閾值的樣本為Xμ1，Xμ2…Xnμ，記yi=Xμi-μ，（i=1…nμ），

超出量的極限分布為GPD，

F（x）=（1-F（μ））Gξ，β（x-μ）+F（μ）。

將超過(guò)VARP的極端損失的期望記為ES，ES更能揭示尾部分布的情形[2]。

在GPD模型中，閾值非常關(guān)鍵，以下用平均超出函數(shù)確定閾值。平均超出函數(shù)，表明e（μ）是一條直線(xiàn)，可用樣本數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖在超過(guò)某值時(shí)呈直線(xiàn)來(lái)估計(jì)μ。

3 參數(shù)估計(jì)

3.1 矩估計(jì)法

3.2 極大似然法

3.3 概率加權(quán)矩法

Mp，r，s=EXp（F（Y））r（1-F（Y））S，y（F）為F（Y）的分位函數(shù)。

總體矩的樣本估計(jì)量為

4 實(shí)例分析

數(shù)據(jù)來(lái)源于中華人民共和國(guó)農(nóng)業(yè)部種植業(yè)管理司災(zāi)情數(shù)據(jù)庫(kù)，選取1982-2013年河南省農(nóng)作物種植面積和洪澇災(zāi)害引起的絕收面積。由于時(shí)間跨度較長(zhǎng)，為排除種植面積擴(kuò)大的影響，引入種植比例，使絕收面積更有可比性。種植比例=某年農(nóng)作物種植面積/1982年種植面積，農(nóng)作物可比面積=某年農(nóng)作物絕收面積*該年種植比例。

表1 河南省1982-2013年洪澇災(zāi)害影響農(nóng)作物面積單位：萬(wàn)畝

表2 不同參數(shù)估計(jì)方法的VARP

表3 不同參數(shù)估計(jì)方法和置信水平的單位：萬(wàn)畝

5 結(jié)論

矩估計(jì)法簡(jiǎn)單直接，但有條件限制；極大似然法的表達(dá)式明顯復(fù)雜，計(jì)算時(shí)間更長(zhǎng)，還可能遇到算法不收斂的情況；概率加權(quán)矩法是以含冪次的概率值作為權(quán)重來(lái)計(jì)算，比矩估計(jì)法更優(yōu)。洪澇巨災(zāi)頻率低，數(shù)據(jù)少，數(shù)據(jù)中存在極端值，這會(huì)對(duì)參數(shù)估計(jì)產(chǎn)生較大影響，使損失估計(jì)存在較大偏差，解決此問(wèn)題的方法之一是用蒙特卡洛進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)[4]，提高準(zhǔn)確度。

［1］歐陽(yáng)資生，龔曙明.廣義帕累托分布模型：風(fēng)險(xiǎn)管理的工具［J］.財(cái)經(jīng)理論與實(shí)踐，2005，26（5）:88-92.

［2］譚德俊，鄒敏華.操作風(fēng)險(xiǎn)損失的廣義帕累托分布參數(shù)估計(jì)及其應(yīng)用［J］.財(cái)經(jīng)理論與實(shí)踐，2010，31（168）:22-25.

［3］趙旭.廣義帕累托分布的統(tǒng)計(jì)推斷［D］.北京:北京工業(yè)大學(xué)，2012.

［4］邵騰偉，冉光和.基于POT-GPD損失分布的農(nóng)業(yè)自然災(zāi)害VAR的估算［J］.統(tǒng)計(jì)研究，2011，28（7）:79-83.