逆事件在概率計(jì)算中的應(yīng)用

孫娜

（集寧師范學(xué)院，內(nèi)蒙古 烏蘭察布 012000）

逆事件在概率計(jì)算中的應(yīng)用

孫娜

（集寧師范學(xué)院，內(nèi)蒙古 烏蘭察布 012000）

本文通過(guò)若干個(gè)有代表性的例題介紹了“逆事件”在概率論中的巧用，該方法有助于簡(jiǎn)化計(jì)算，通常能起到“事半功倍”的效果.

逆事件；古典概率；正態(tài)分布

近幾年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者都致力于古典概率問(wèn)題的研究，對(duì)于從正面入手求解概率問(wèn)題給與了相當(dāng)好的手段。然而，對(duì)于求解古典概率來(lái)說(shuō)，從正面求這兩個(gè)數(shù)相當(dāng)困難且運(yùn)算過(guò)程繁瑣、易錯(cuò)，于是可試著迂回到問(wèn)題的反面逆向思維，尋求解決方案。

1 “逆事件”及其性質(zhì)

1.1 逆事件的概念

我們首先要明確一下關(guān)于逆事件等的基本概念以及什么情況下可以運(yùn)用逆事件的性質(zhì)巧解概率問(wèn)題。若A交B為不可能事件，A并B為必然事件，那么稱A事件與事件B為對(duì)立事件，也是互逆事件，這里就稱事件A為事件B的逆事件，同理，事件B也稱為事件A的逆事件［1］。

1.2 逆事件的性質(zhì)

求解古典概率問(wèn)題時(shí)，要知道在滿足什么樣的條件下可以運(yùn)用逆事件求解此概率問(wèn)題。充分了解并運(yùn)用概率的性質(zhì)，把計(jì)算復(fù)雜事件的概率簡(jiǎn)單化，其中較為重要的就是能夠靈活運(yùn)用逆事件的性質(zhì)。

2 “逆事件”在概率計(jì)算中的應(yīng)用

例1一口袋中裝有 1-N 只黑球和1只白球，每次從袋中隨機(jī)的摸出一球，并換入一只黑球，這樣繼續(xù)下去，問(wèn)第k次摸球時(shí)摸到黑球的概率是多少？

因?yàn)榇兄挥幸恢话浊?，而每次摸出球后總是換入黑球，故為了在第k次摸到白球，則前面的次就一定不能摸到白球。因此等價(jià)于下列事件：在前次摸球時(shí)都摸出黑球而第k次摸出白球，而此事件的概率是，這樣=

我們通過(guò)一個(gè)生活中的例子來(lái)感受一下“逆事件”在生活中的應(yīng)用：

例2（生日問(wèn)題）某班級(jí)50人，問(wèn)至少有兩人的生日在同一天的概率為多大？

解：假定一年按365天計(jì)算，按著上例所敘述的解題方法，可以把365天看作365個(gè)“房間”，這時(shí)“50人的生日全不相同”就相當(dāng)于“50人各住一房”，那么問(wèn)題就可歸結(jié)為例3推廣中的（2）。令人中至少有兩人的生日相同｝，則人的生日全不相同｝，

從這個(gè)答案中，我們發(fā)現(xiàn)“一個(gè)班級(jí)50人中至少有兩人的生日在同一天”這個(gè)事件發(fā)生的概率并不像人們直覺(jué)上想像的那么小，反而很大，竟是0.97，也就是說(shuō)，當(dāng)班級(jí)的人數(shù)達(dá)到50個(gè)的時(shí)侯，竟然有97%的班級(jí)會(huì)發(fā)生這類事件。（注意：這里要要求班級(jí)的數(shù)目是相當(dāng)多）［3］。

例3（德·梅爾問(wèn)題）一顆骰子投四次至少得到一個(gè)六點(diǎn)與兩顆骰子投24次至少得到雙六，這兩次事件中哪一件有更多的機(jī)會(huì)遇到？

解：以A表示一顆骰子投4次至少得到一個(gè)六點(diǎn)這一事件，為求 P（A），在這種場(chǎng)合最方便的方法就是利用逆事件的性質(zhì)，即，先求，這時(shí)表示投一顆骰子4次都沒(méi)有出現(xiàn)六點(diǎn)，因此不難得出從而得到

若以B表示兩顆骰子投24次至少的得到一個(gè)雙六這一事件，則用同樣的方法可以求得

下面我們?cè)倏匆幌玛P(guān)于醫(yī)學(xué)方面的例子。

例4 某地區(qū)居民某癌癥發(fā)病率為0.003，現(xiàn)在用一種甲胎蛋白法來(lái)檢查這種癌癥：患病則成陽(yáng)性，未患病則成陰性。假陽(yáng)性（即本來(lái)沒(méi)有患病結(jié)果卻成陽(yáng)性）和假陰性（即本來(lái)患病了結(jié)果卻成陰性）的概率分別為0.04和0.01，某人檢驗(yàn)后結(jié)果成陽(yáng)性，那么他有多大的概率確實(shí)患了這一癌癥？

解：令A(yù)=｛被檢驗(yàn)人患得這一癌癥｝，B=｛檢驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性｝，則，，由逆概率性質(zhì)及貝葉斯公式得：

這個(gè)例子運(yùn)用了貝葉斯公式并結(jié)合逆事件在概率中的應(yīng)用解決這個(gè)醫(yī)學(xué)方面的問(wèn)題，為醫(yī)學(xué)的準(zhǔn)確發(fā)展方面做出了貢獻(xiàn)。

3 結(jié)論

本文首先就古典概率的求解問(wèn)題給出了從反面求解、利用逆事件進(jìn)行求解的方法。它可使我們?cè)诙喾N解決問(wèn)題的方法中獲得最佳方法和途徑，將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，提高效率.

［1］魏宗舒等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］.北京：高等教育出版社，1983.

［2］陳家鼎等.概率統(tǒng)計(jì)講義［M］.北京：高等教育出版社，1980.

［3］李賢平.概率論基礎(chǔ)［M］.北京：高等教育出版社，2010.

Application of inverse event in probability calculation

SUN Na
（Jining Teachers College，Wulanchabu Inner Mongolia 012000）

By analyzing several typical examples，this paper introduces a skillful method of the"adverse events"in probability theory，this method can simplify calculation and usually get twice the result with half the effort.

adverse event；The classical probability；Normal distribution

O211.9

A

10.3969/j.issn.1672-7304.2015.04.037

1672-7304（2015）04-0077-02

（責(zé)任編輯：吳湘銀）

孫娜（1981-），女，山西呂梁人，講師，研究方向：多目標(biāo)決策，情感計(jì)算。