基于兩種耦合方法的模擬-優(yōu)化模型在地下水污染源識別中的對比

肖傳寧,盧文喜*,安永凱,顧文龍,趙　瑩（1.吉林大學地下水資源與環(huán)境教育部重點實驗室,吉林長春 130012；2.吉林大學環(huán)境與資源學院,吉林 長春 130012）

基于兩種耦合方法的模擬-優(yōu)化模型在地下水污染源識別中的對比

肖傳寧1,2,盧文喜1,2*,安永凱1,2,顧文龍1,2,趙瑩1,2（1.吉林大學地下水資源與環(huán)境教育部重點實驗室,吉林長春 130012；2.吉林大學環(huán)境與資源學院,吉林 長春 130012）

采用一種基于模擬-優(yōu)化模型的方法對地下水污染源進行識別研究.模擬-優(yōu)化模型分別采用響應(yīng)矩陣法和狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程法進行耦合,并利用遺傳算法求解,經(jīng)過多次迭代,使得模擬結(jié)果與觀測數(shù)據(jù)的誤差達到最小.最后,通過一個假想例子評估模擬-優(yōu)化模型的性能,同時比較應(yīng)用不同耦合方法的計算結(jié)果.研究表明：應(yīng)用響應(yīng)矩陣法耦合模擬-優(yōu)化模型所得結(jié)果的絕對誤差范圍為0.1～1.6g/L,應(yīng)用狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程法時,絕對誤差范圍為 0～5.2g/L,因此,采用遺傳算法求解模擬-優(yōu)化模型能夠有效且準確地得到地下水污染源的釋放量,可以應(yīng)用于地下水污染源識別問題,并且采用響應(yīng)矩陣法耦合模擬-優(yōu)化模型優(yōu)于狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程法.

地下水；污染源識別；模擬-優(yōu)化；響應(yīng)矩陣法；狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程法；遺傳算法

由于我國當前水資源短缺、水環(huán)境不斷惡化,地下水污染的治理已經(jīng)成為亟待解決的問題［1］.地下水污染源識別是地下水污染治理的首要步驟,對保護地下水資源有重要意義［2-5］.

針對地下水污染源識別問題,Atmadja等［6］總結(jié)了解決地下水污染源識別的一些數(shù)學方法,并將其分為四類：優(yōu)化方法、解析方法、直接法、隨機理論［7-8］和地質(zhì)統(tǒng)計學方法［9］.在這些方法中,優(yōu)化是使用最為廣泛的解決方法.Gorelick等［10］較早使用優(yōu)化方法研究理想的二維含水層中的污染物識別問題,他們假設(shè)算例含水層參數(shù)不存在不確定性,采用線性規(guī)劃法、多元線性回歸求解優(yōu)化模型.Mahar等［11］利用初步識別的污染源位置優(yōu)化觀測井網(wǎng),應(yīng)用優(yōu)化后的觀測井網(wǎng)得到的監(jiān)測數(shù)據(jù)采用非線性規(guī)劃法得到了更準確的源位置.

由于地下水優(yōu)化模型的非線性,僅僅通過非啟發(fā)式的優(yōu)化算法,如Newton法、單純形法、共軛梯度法、Hooke-Jeeves方法等來解決污染源的識別問題存在較大的困難,這些傳統(tǒng)的優(yōu)化算法都是與初始點有關(guān)的算法，所求解容易陷入局部最優(yōu)，在求解地下水逆問題時可能難以得到滿意的結(jié)果［12］.因此需要運用啟發(fā)式優(yōu)化算法才能解決地下水污染源識別的優(yōu)化問題.如Aral等［13］將進步式遺傳算法應(yīng)用于解決二維含水層中的污染物溯源問題，提高了模型的計算效率.Singh等［14］采用外部連接的形式將遺傳算法和地下水流及溶質(zhì)遷移模型耦合在一起，形成模擬-優(yōu)化模型，并將其應(yīng)用于二維溯源問題.Ayvaz［15］利用和聲搜索算法解決污染源的識別問題，并用兩個復雜程度不同的案例評估了優(yōu)化模型的性能.江思珉等［16-18］分別利用和聲搜索算法、單純形模擬退火算法和Hooke-Jeeves吸引擴散粒子群混合算法求解地下水污染源反演的模擬-優(yōu)化模型.范小平等［19］利用遺傳算法，結(jié)合最佳攝動思想設(shè)計了一種改進遺傳算法，確定了淄博灃水南部地區(qū)的地下水硫酸污染源強度.

上述研究在耦合模擬模型與優(yōu)化模型時,大多數(shù)采用的是外部連接的方式,需要求解的變量多.本文以污染源釋放量為決策變量建立優(yōu)化模型,分別采用響應(yīng)矩陣法和狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程法將地下水水流模型和污染物運移模型與優(yōu)化模型進行耦合.響應(yīng)矩陣法充分考慮污染源釋放量與污染物濃度在時空分布上的數(shù)量關(guān)系,顯著減少了變量個數(shù),提高了模型的計算效率,狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程法利用動態(tài)規(guī)劃的思想,表示出地下水系統(tǒng)從某一時段到下一時段的狀態(tài)轉(zhuǎn)移規(guī)律.最后基于遺傳算法求解模擬-優(yōu)化模型,將其應(yīng)用到地下水污染源識別研究中,并比較應(yīng)用兩種不同耦合方法時的計算所得的結(jié)果.

1　模型及其耦合方法

1.1模擬-優(yōu)化模型

地下水污染源識別問題的模擬-優(yōu)化模型由模擬模型與優(yōu)化模型兩部分組成,模擬模型描述地下水運動的基本規(guī)律,包括水流模型與溶質(zhì)運移模型,優(yōu)化模型則用來將污染源識別問題轉(zhuǎn)化為決策變量為污染物釋放量的最優(yōu)化問題.

1.1.1模擬模型二維含水層系統(tǒng)穩(wěn)定流基本微分方程表示為［20］：

式中：xi和xj為i,j=x,y的直角坐標系,h為水頭值, m；W為單位面積流入（負值）或流出（正值）水的體積通量,m/s；Tij為導水系數(shù)（m2/s）,并且當 Kij為水力傳導系數(shù)（m/s）,b為飽和含水層厚度時,Tij=Kijb.需指出二維水力傳導系數(shù),Kxx和Kyy與x,y軸方向一致并且所有的非主要的量都為零.

描述二維含水層系統(tǒng)中污染物運移的基本微分方程可以表示為［20］：

式中：t為時間,s；C為溶解濃度,mg/L；vi為平均線型滲流速度,m/s；I為源匯項,指單位時間單位液相體積（只包含液相的體積）內(nèi)溶質(zhì)質(zhì)量的增減量,mg/（L·s）；Dij為水動力彌散張量,m2/s,其要素由縱向（αL）與橫向（αT）彌散度（m）、分子擴散系數(shù)（D*）（m2/s）和νi計算可得.

上述兩式可通過達西定律產(chǎn)生聯(lián)系,如下式［20］：

式中： θ為有效孔隙度,無量綱.

1.1.2優(yōu)化模型如前文所述,解決地下水污染源識別問題的方法是建立優(yōu)化模型.優(yōu)化模型一般由決策變量、目標函數(shù)、約束條件三個要素構(gòu)成［21］.在本文的優(yōu)化模型中,決策變量為污染源流量,狀態(tài)變量為研究區(qū)內(nèi)各處污染物濃度,目標函數(shù)是使觀測點濃度的觀測值與模擬值之間的誤差最小,如下式（4）所示.

式中：Nt為觀測的時刻數(shù)；Nd為觀測點的數(shù)目；Ck（t）、分別為第k個觀測點在第t時刻污染物濃度的模擬值和測量值.

約束條件如下式（5）所示：

式中：C為污染物濃度；f為污染物遷移模擬模型；q為污染源流量；CL、CU分別為污染物濃度的上下界；qL、qU分別為源流量的上下界.

1.2耦合方法

在優(yōu)化模型進行尋優(yōu)的過程中,必須要以模擬模型為基礎(chǔ)才能遵循地下水實際系統(tǒng)固有原理和規(guī)律［22］.因此就需要將模擬模型通過某種途徑或方式嵌入到優(yōu)化模型中,使之成為優(yōu)化模型的組成部分,實現(xiàn)模擬模型與優(yōu)化模型的連接耦合.地下水流運動和污染物遷移的模擬模型與優(yōu)化模型耦合方法主要有嵌入法、響應(yīng)矩陣法以及狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程法.

嵌入法是把地下水系統(tǒng)模擬模型的轉(zhuǎn)換形式—代數(shù)方程組作為等式約束條件嵌入到優(yōu)化模型中,連同地下水管理的其他約束條件和目標函數(shù)一起,構(gòu)成地下水系統(tǒng)模擬-優(yōu)化模型.通過嵌入法可以對地下水系統(tǒng)中任一結(jié)點的污染物濃度構(gòu)造約束條件,是一種比較“細”的處理方法,其缺點是沒有考慮狀態(tài)變量與決策變量間的函數(shù)關(guān)系,將兩者同時作為決策變量,使得模型的維數(shù)劇增,對于多時段非穩(wěn)定問題,還會產(chǎn)生所謂的“維數(shù)災難”［22］.

響應(yīng)矩陣法首先運用地下水系統(tǒng)的模擬模型來確定系統(tǒng)的輸出（污染物濃度）對輸入（污染源流量）的響應(yīng)關(guān)系—單位脈沖響應(yīng)函數(shù),并形成其函數(shù)值的集合—響應(yīng)矩陣.這種輸入—輸出的函數(shù)相應(yīng)關(guān)系反映了具體表現(xiàn)為系統(tǒng)的狀態(tài)變量（污染物濃度）和決策變量（污染源流量）間的數(shù)量關(guān)系.當污染源在dj點以釋放量I（dj,t）在0～t之間連續(xù)釋放污染物,那么在di點在t時刻產(chǎn)生的累計濃度變化值為

經(jīng)離散化后,單位脈沖響應(yīng)函數(shù)的離散形式為β（i,j,n-k-1）,表示為第j個結(jié)點在第k個時段以單位釋放量釋放污染物,在第i個結(jié)點在第n個時段末所產(chǎn)生的濃度變化響應(yīng).累計濃度變化響應(yīng)為：

若同時存在m個污染源,則它們產(chǎn)生的綜合累計濃度變化響應(yīng)應(yīng)為

當單位釋放量確定后,單位脈沖響應(yīng)函數(shù)僅與地下水系統(tǒng)本身的特征有關(guān),對于非穩(wěn)定問題,還與時間有關(guān).將上述數(shù)量關(guān)系應(yīng)用在優(yōu)化模型中,用決策變量將需要加以控制的狀態(tài)變量表達出來.在此基礎(chǔ)之上,綜合考慮其他因素,就可以完成模擬-優(yōu)化模型的構(gòu)建.與嵌入法相比,響應(yīng)矩陣法確定了狀態(tài)變量與決策變量間的函數(shù)關(guān)系,可以顯著地減少優(yōu)化模型中決策變量和約束方程的個數(shù),從而提高模型的計算效率［22］.

狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程法運用動態(tài)規(guī)劃的思想將地下水系統(tǒng)在某一時刻隨時間的變化過程劃分為若干個時段,把每一時段的末刻濃度值看成該時段的初始濃度值及可控輸入變量的函數(shù),運用一階泰勒級數(shù)展開式,把末刻濃度用初始濃度和可控輸入近似地表示出來,構(gòu)成狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程,其形式可以表示為

式中：Ik為實際污染物釋放量,為初估值,Ck、分別為由初估值計算所得的k、k+1時刻的濃度值,Ck+1、Ck為 k、k+1時刻的實際濃度值,Fk、Gk為Jacobian矩陣.利用上式并綜合考慮其它因素,就可實現(xiàn)模擬模型與優(yōu)化模型的耦合連接.式中的Jacobian矩陣Fk、Gk由模擬模型離散后所形成的代數(shù)方程組求得,具體表示形式為

在實際計算中,通?？梢詫⒁粋€時段再劃分成若干個小時段,首先給定一組決策變量的初估值,正演模擬模型,得到各時段的初始濃度和末刻濃度,利用求出的Jacobian矩陣,建立每個小時段的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程,進而推導出各大時段的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程,然后將其與優(yōu)化模型進行耦合,這種方法物理意義明確,容易理解.需要說明的是,當?shù)叵滤到y(tǒng)的模擬模型中的偏微分方程是線性偏微分方程時,Jacobian矩陣是不變的,所以只需求解一次 Jacobian矩陣,而當?shù)叵滤到y(tǒng)模擬模型中的偏微分方程為非線性偏微分方程時,在每次迭代中Jacobian矩陣都需要重新計算［22］.

本文分別采用響應(yīng)矩陣法和狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程法將模擬模型嵌入優(yōu)化模型構(gòu)建出反演地下水污染源濃度的模擬-優(yōu)化模型.

2　遺傳算法

遺傳算法是一類隨機優(yōu)化算法,它模擬了自然選擇和遺傳中的復制、交叉和變異現(xiàn)象,從任一初始種群（Population）出發(fā),通過隨機選擇、交叉和變異操作,產(chǎn)生一群更適應(yīng)環(huán)境的個體,使種群進化到搜索空間中越來越好的區(qū)域,這樣一代一代不斷繁衍進化,最后收斂到一群最適應(yīng)環(huán)境的個體（Individual）,求得問題的最優(yōu)解［23］.

完整的遺傳算法流程可以用圖1來描述［24］.

由圖1可以看出,使用上述3種遺傳算子（選擇算子、交叉算子、變異算子）的遺傳算法的主要運算過程如下［24］：

（1）編碼：解空間的解數(shù)據(jù)x,作為遺傳算法的表現(xiàn)型形式.從變現(xiàn)型到基因型的映射稱為編

碼.遺傳算法在進行搜索之前先將解空間的解數(shù)據(jù)表示成遺傳空間的基因型串結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù),這些串結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)的不同組合就構(gòu)成了不同的點.

（2）初始群體的生成：隨機產(chǎn)生N個初始串結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù),每個串結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)稱為一個個體,N個個體構(gòu)成了一個群體.遺傳算法以這N個串結(jié)構(gòu)作為初始點開始迭代.設(shè)置進化代數(shù)計數(shù)器t←0,設(shè)置最大進化代數(shù)T；隨機生成M個個體作為初始種群P（0）.

（3）適應(yīng)度值評價檢測：適應(yīng)度函數(shù)表明個體或解的優(yōu)劣性.對于不同的問題,適應(yīng)度函數(shù)的定義方式不同.根據(jù)具體問題,計算群體 P（t）中各個個體的適應(yīng)度.

圖1　遺傳算法流程Fig.1　Schematic representation of Genetic Algorithm

（4）選擇：將選擇算子作用于群體.

（5）交叉：將交叉算子作用于群體.

（6）變異：將變異算子作用于群體.群體P（t）經(jīng)過選擇、交叉、變異運算后得到下一代群體P（t+1）.

（7）終止條件判斷：若t≤T,則t←t+1,轉(zhuǎn)到步驟（2）；若t＞T,則以進化過程中所得到的具有最大適應(yīng)度的個體作為最優(yōu)解輸出,終止運算.

從遺傳算法運算流程可以看出,進化操作過程簡單,容易理解.

3　案例應(yīng)用

3.1問題概述

如圖2所示,研究區(qū)存在二維均質(zhì)各向同性的矩形承壓含水層（800m×700m）,用邊長為100m的正方形網(wǎng)格將研究區(qū)剖分成7行8列的有限差分網(wǎng)格.假設(shè)含水層水流運動為穩(wěn)定流,左右兩條邊界是線性變化的定水頭邊界,上下邊界為隔水邊界,含水層的各項相關(guān)參數(shù)見表 1 .初始時刻,研究區(qū)內(nèi)無污染物.假定研究區(qū)存在一個污染源,污染源的位置為（4,3）（位置以行、列表示）,污染源流量真值見表 2,污染源的污染物釋放不會影響水流狀態(tài),同時在污染區(qū)布置6個污染物濃度監(jiān)測點,污染物濃度在每個時段末進行測量.

圖2　假想例子含水層模型Fig.2　Hypothetical aquifer model

表 1　含水層相關(guān)參數(shù)Table 1　Related solution parameters

假想案例中監(jiān)測點的污染物濃度監(jiān)測值利用模擬程序GMS 中的 MODFLOW 模塊和MT3DMS模塊正演計算得到［25］,模擬時段為九個月,分三個釋放期.模擬程序正演得到各監(jiān)測點濃度變化曲線見圖3.

表2　污染源流量真值（SP：釋放期）Table 2　Actual values of the source fluxes （SP： stressperiod）

圖3　監(jiān)測點濃度變化曲線Fig.3　Concentration curve of the monitoring location

3.2模型求解

假想例子中,決策變量為污染源釋放量,共有3個（1個污染源×3個釋放期）,其取值范圍的上下邊界分別設(shè)置為qU=100g/L,qL=0g/L. 6個監(jiān)測點（O1～O6）在3個時段末的濃度監(jiān)測值作為已知量代入模擬-優(yōu)化模型中.建立假想例子的模擬-優(yōu)化模型見式（6）：

利用MATLAB軟件中的遺傳算法工具箱求解模擬-優(yōu)化模型,主要參數(shù)設(shè)置為： Population size（種群尺寸）=20,Initial range（初值范圍）=［0；1］, Fitness scaling（適應(yīng)度縮放比例）為Rank（排列算法）,Selection（選擇參數(shù)）為 Stochastic uniform（隨機均勻分布）,Mutation（變異參數(shù)）為 Adaptive feasible（自適應(yīng)約束）,Crossover（交叉參數(shù)）為Scattered（分散交叉）,Migration（遷移參數(shù)）方向為Forward,其他參數(shù)設(shè)置為缺省值.為檢驗遺傳算法穩(wěn)定性,以相同的參數(shù)分別計算5次所得結(jié)果見表3和圖4.表3為應(yīng)用不同耦合方法分別計算5次所得結(jié)果,圖4為計算結(jié)果的絕對誤差柱狀圖.

表3　應(yīng)用不同耦合方法的計算結(jié)果Table 3　The results calculated by different coupling methods

3.3結(jié)果分析

由圖 4計算結(jié)果絕對誤差柱狀圖可以看出應(yīng)用響應(yīng)矩陣法耦合模擬-優(yōu)化模型計算源釋放量得到結(jié)果的絕對誤差范圍為 0.1～1.6g/L,誤差較小,計算值接近真實值,但隨著時段的推移,誤差逐漸增大,分析原因可能在于應(yīng)用該方法時需將地下水溶質(zhì)運移過程假定為線性過程,由此產(chǎn)生的誤差會隨時段的推移累積.應(yīng)用狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程法時,絕對誤差范圍為0～5.2g/L,第一時段和第三時段誤差值較大,第二時段誤差接近 0,在構(gòu)建地下水系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程時需忽略一階以上的高階微量,因此存在截斷誤差.比較兩種耦合方法計算結(jié)果不難看出,響應(yīng)矩陣法耦合模擬-優(yōu)化模型要優(yōu)于狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程法.

同時,由表3和圖4可看出利用遺傳算法多次計算所得結(jié)果都較為相近,且絕對誤差值在可接受范圍內(nèi),說明遺傳算法求解地下水污染源模擬-優(yōu)化模型時精度高、穩(wěn)定性好,具有良好的性能.

圖4　應(yīng)用不同耦合方法計算結(jié)果的絕對誤差Fig.4　Absolute error histogram of the results calculated by different coupling methods

4　結(jié)論

4.1本文將采用不同耦合方法的模擬-優(yōu)化模型應(yīng)用到同一個假想例子,假想例子為一個二維均質(zhì)各向同性的矩形承壓含水層,在已知污染源數(shù)量、位置和釋放歷史的前提下,利用有限的濃度監(jiān)測數(shù)據(jù)反演污染源各時段的釋放量.研究表明基于遺傳算法的模擬-優(yōu)化模型能夠用來求解污染源釋放量,并且計算結(jié)果誤差較小,是一種較為有效的地下水污染源識別方法.

4.2采用響應(yīng)矩陣法耦合模擬模型與優(yōu)化模型可以顯著地減少變量和約束條件的個數(shù),提高模型的計算效率,但其要求邊界條件具備線性齊次條件,實際應(yīng)用中難以滿足,還需采取一定的補救措施；狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程法物理意義明確,但在構(gòu)建地下水系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程時存在截斷誤差,所求結(jié)果差于響應(yīng)矩陣法.

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致謝：文章的英文部分由吉林大學環(huán)境與資源學院楊青春教授修改與指導,在此表示感謝.

Simulation-optimization model of identification of groundwater pollution sources based on two coupling method.

XIAO Chuan-ning1,2, LU Wen-xi1,2*, AN Yong-kai1,2, GU Wen-long1,2, ZHAO Ying1,2（1.Key Laboratory of Groundwater Resources and Environment, Ministry of Education, Jilin University, Changchun 130021, China；2.College of Environment and Resources, Jilin University, Changchun 130021, China）.

China Environmental Science, 2015,35（8）：2393～2399

This paper presents a study of groundwater pollution sources identification using simulation-optimization model based on the Genetic Algorithm. The simulation-optimization model was coupled with response matrix approach and state transition equation method, which was solved with genetic algorithm, and the minimum error between the simulated results and the observed data was obtained after multiple iteration. The performance of the model was evaluated with a hypothetical example. The simulated results indicate that the absolute error of response matrix approach and state transition equation method was 0.1～1.6g/L and was 0～5.2g/L, respectively. It proves that the simulation-optimization model based on the genetic algorithm for identifying single groundwater pollution source was feasible. Also, response matrix approach was superior to the state transition equation method.

groundwater；pollution source identification；simulation-optimization；response matrix approach；state transition equation method；genetic algorithm

X523

A

1000-6923（2015）08-2393-07

2014-11-11

中國地調(diào)局項目（1212011140027,12120114027401）

* 責任作者, 教授, luwenxi@jlu.edu.cn

肖傳寧（1990-）,男,山東濟寧人,主要從事地下水污染源識別方面的研究.