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    巧用“一線三等角” 模型突破幾何壓軸難題

    2022-04-29 00:44:03劉敏
    關(guān)鍵詞:幾何直觀模型

    劉敏

    摘要:《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》中提出,在初中階段核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)包含幾何直觀和模型觀念.這就要求學(xué)生能夠感知各種幾何圖形及其組成元素,依據(jù)圖形的特征進(jìn)行分類,再根據(jù)形與數(shù)的聯(lián)系,構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型.本文中抓住數(shù)學(xué)問題中常見的“一線三等角”進(jìn)行研究分析,探究其在各類型問題中所表現(xiàn)出來的特征,從而更好地為提高學(xué)生解題能力,提升學(xué)生核心素養(yǎng)奠定基礎(chǔ).

    關(guān)鍵詞:一線三等角;模型;幾何直觀

    1 引出問題

    2022年安徽中考試題中有這樣一道試題:如圖1,四邊形ABCD是正方形,點(diǎn)E在邊AD上,△BEF是以E為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,EF,BF分別交CD于點(diǎn)M,N,過點(diǎn)F作AD的垂線交AD的延長線于點(diǎn)G.連接DF,則∠FDG=°.

    根據(jù)題意可以發(fā)現(xiàn),在直線AD上,存在三個(gè)直角,∠A=∠BEF=∠G(或者∠A=∠BEF=∠EDM),出現(xiàn)這種情況,我們往往稱之為“一線三直角”的數(shù)學(xué)模型,從而利用兩個(gè)三角形全等或者相似即可.此題可根據(jù)“AAS”證△ABE≌△GEF,得出EG=AB,GF=AE,進(jìn)而推出DG=GF.即可得出∠FDG的度數(shù).

    若將“一線三直角”模型中的直角改為其他角度,這樣就形成了“一線三等角”的數(shù)學(xué)模型,在解答相關(guān)問題的過程中,很容易考慮到全等三角形或者相似三角形的判定.熟練把握“一線三等角”的相關(guān)特點(diǎn),感悟其在全等或者相似三角形判定中的重要作用,便于引導(dǎo)學(xué)生在解答過程中快速掌握利用基本圖形來描述或者分析、解決問題,從而培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力.

    2 “一線三等角”在全等形問題中的應(yīng)用

    例1閱讀下面的相關(guān)材料,并回答問題.

    模型學(xué)習(xí):如圖2,∠BAD=90°,AB=AD,BC⊥AC于點(diǎn)C,DE⊥AC于點(diǎn)E.由∠1+∠2=∠2+∠D=90°,得∠1=∠D;又∠ACB=∠AED=90°,可以通過推理得到△ABC≌△DAE,進(jìn)而得到AC=,BC=.我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱為“一線三等角”模型.

    模型應(yīng)用:如圖3,△ABC為等邊三角形,BD=CF,∠EDF=60°,求證BE=CD.

    在“模型學(xué)習(xí)”中根據(jù)這種模型的特點(diǎn),可以直接判斷,由“AAS”可證△ABC≌△DAE,可得AC=DE,BC=AE;對(duì)于“模型應(yīng)用”,根據(jù)條件可以發(fā)現(xiàn)∠B=∠C=∠EDF=60°,符合“一線三等角”的特征,故由“AAS”可證△BDE≌△CFD,從而可證明得到BE=CD.

    3 “一線三等角”在相似形問題中的應(yīng)用

    例2如圖4,D為△ABC的內(nèi)心,點(diǎn)E在AC上,且AD⊥DE,若DE=2,AD=CE=3,試求AB的長.

    通過審題發(fā)現(xiàn),題干中有內(nèi)心,還有垂直,問題的目標(biāo)AB與條件AD,CE分屬三條直線.因此可以考慮延長DE看是否可以構(gòu)建“一線三等角”.于是延長ED交AB于點(diǎn)F,連接BD,如圖5,將線段AB分為AF和BF兩部分,分別計(jì)算.顯然,根據(jù)條件很容易證明△ADE≌△ADF,利用勾股定理求得AE的長度,即為AF的長度.再根據(jù)△ADE≌△ADF,可以得到∠AFD=∠AED,故有∠BFD=∠CED.利用三角形內(nèi)角和可推理計(jì)算得到∠ABD=∠CBD=∠CDE,從而可得到△BFD∽△DEC,再利用相似,列比例式求得BF.BF與AF相加即可求得AB.

    4 “一線三等角”在一次函數(shù)中的應(yīng)用

    例3如圖6坐標(biāo)系中,O(0,0),A(3,33),B(6,0),將△OAB沿直線CD折疊,使點(diǎn)A恰好落在線段OB上的點(diǎn)E處,若OE=65,求AC∶AD的值.

    根據(jù)題意可知,例3符合“一線三等角”模型,從而可以考慮使用一線三等角進(jìn)行解題.過點(diǎn)A作AF⊥OB于F,如圖7.根據(jù)已知條件得到AF=33,OF=3,OB=6,求得∠AOB=60°,推出△AOB是等邊三角形,得到∠AOB=∠ABO=60°.根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠CED=∠OAB=60°,求得∠OCE=∠DEB,從而得△CEO∽△EDB,則OEBD=CEED=COBE.設(shè)CE=a,ED=b,CA=a,CO=6-a,AD=b,DB=6-b.又BE=OB-OE=245,于是根據(jù)相似比得到結(jié)論.

    5 “一線三等角”在反比例函數(shù)中的應(yīng)用

    例4如圖8,Rt△OAB的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,∠AOB=90°,AO=2BO.當(dāng)點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=1x(x>0)的圖象上移動(dòng)時(shí),則點(diǎn)B的坐標(biāo)滿足的函數(shù)解析式為.

    分析條件發(fā)現(xiàn),點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=1x上,∠AOB=90°,直角邊OA∶OB= 2∶1.根據(jù)“種瓜得瓜,種豆得豆”的道理,可以“預(yù)感”點(diǎn)B也在反比例函數(shù)上,即點(diǎn)B的軌跡也應(yīng)該是“遺傳”了點(diǎn)A的形狀信息,于是不妨構(gòu)造“一線三等角”,結(jié)合“反比例函數(shù)面積性質(zhì)”來快速解題.

    首先假設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)滿足的函數(shù)解析式是y=kx(k≠0),如圖9,過點(diǎn)A,B分別作x軸的垂線,垂足為C,D.易得△AOC∽△OBD,然后由相似三角形面積比等于相似比的平方,求得S△AOC∶S△BOD=2∶1,進(jìn)而求得答案.當(dāng)然,本題點(diǎn)B只能在第二象限,所以還要寫清楚自變量的取值范圍.

    6 “一線三等角”在二次函數(shù)中的應(yīng)用

    例5如圖10,拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過A(-2,0),B-12,0兩點(diǎn).設(shè)點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn),試判斷拋物線上是否存在點(diǎn)H滿足∠AMH=90°?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)H的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

    根據(jù)題意容易求得該拋物線的解析式,從而得到頂點(diǎn)M的坐標(biāo).判斷∠AMH的存在性,即判斷直角三角形的存在性,就會(huì)用到兩點(diǎn)間的距離公式,再結(jié)合勾股定理對(duì)三邊關(guān)系進(jìn)行計(jì)算判斷,這樣處理,計(jì)算量會(huì)很大.根據(jù)圖示發(fā)現(xiàn)它符合“一線三等角”模型,運(yùn)用此模型來解答問題會(huì)變得簡單,且計(jì)算也簡便.如圖11,作MH⊥AM交x軸于點(diǎn)K(x,0),作MN垂直x軸于點(diǎn)N.根據(jù)余角的性質(zhì),可得∠AMN=∠NKM.根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì),可得ANMN= MNNK,由此求出x,即得k的坐標(biāo).再由直線MK與拋物線方程聯(lián)立,可得點(diǎn)H的坐標(biāo).

    再如:如圖12所示,拋物線y=ax2+bx+4過A(2,0),B(4,0)兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C,過點(diǎn)C作x軸的平行線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D,連接AC,BC.點(diǎn)P是該拋物線上一動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m(m>4).若∠ACP=45°,求m的值.

    對(duì)于此題,我們也是很難快速確定點(diǎn)P的位置,為此可以利用“一線三等角”模型,過點(diǎn)A作AC的垂線AE,并使得AE=AC,如圖13,易得點(diǎn)E的坐標(biāo).連接FC,交拋物線于點(diǎn)P,將直線EC的解析式代入拋物線求得交點(diǎn)坐標(biāo),即可求得除點(diǎn)C外的另一交點(diǎn)P,思路清晰,方法簡單,問題迎刃而解.

    7 “一線三等角”在圖形變換中的應(yīng)用

    例6等邊△ABC邊長為6,P為BC邊上一點(diǎn),∠MPN=60°,且PM,PN分別于邊AB,AC交于點(diǎn)E,F(xiàn).如圖14所示,若點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng),且∠MPN繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn),當(dāng)CF=AE=2時(shí),求PE的長.

    根據(jù)題意,△ABC是等邊三角形,∠MPN=60°,可知∠B=∠C=∠MPN,符合“一線三等角”模型.因此可以考慮使用該模型下的解題基本思路.通過證明△BPE∽△CFP,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等,再設(shè)BP=x,則CP=6-x,即可求得BP的長,進(jìn)而求得PE的長.

    8 “一線三等角”在動(dòng)態(tài)問題中的應(yīng)用

    如圖15和圖16,在△ABC中,AB=AC,BC=8,tan C=34.點(diǎn)K在AC邊上,點(diǎn)M,N分別在AB,BC上,且AM=CN=2.點(diǎn)P從點(diǎn)M出發(fā)沿折線MB-BN勻速移動(dòng),到達(dá)點(diǎn)N時(shí)停止;而點(diǎn)Q在AC邊上隨P移動(dòng),且始終保持∠APQ=∠B.在點(diǎn)P處設(shè)計(jì)并安裝一掃描器,按定角∠APQ掃描△APQ區(qū)域(含邊界),掃描器隨點(diǎn)P從M到B再到N共用時(shí)36 s.若AK=94,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)K被掃描到的總時(shí)長.

    動(dòng)態(tài)問題,往往作為數(shù)學(xué)試卷中的壓軸題,對(duì)學(xué)生來說此類問題難度很大,根據(jù)AB=AC,∠APQ=∠B,可以判斷出該問題所考查的是“一線三等角”模型,從而對(duì)于解題也就心中有數(shù)了,起碼為下一步的解答找到了突破口,抓住這一切入點(diǎn),利用關(guān)聯(lián)三角形的相似,判斷得到△ABP∽△PCQ,則有ABPC= BPCQ,再根據(jù)題干具體要求分析研究,進(jìn)而求解本題答案.

    通過上述問題的研究,可以感受“一線三等角”模型在各個(gè)知識(shí)背景下的應(yīng)用.借助構(gòu)造一線三等角模型解題的基本手段,從復(fù)雜的圖形中分離出基本圖形,具有將問題化繁為簡的效果,同時(shí)可以幫助我們?cè)诮忸}中快速找到解決問題的突破口.當(dāng)然,希望“一線三等角”模型能起到拋磚引玉的作用,更希望學(xué)生能形成比較完善的知識(shí)儲(chǔ)備,從而提高基本圖形的敏銳觀察力,以及不斷提升幾何直觀能力和問題建模思想.

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