洞悉數(shù)學(xué)中兩類題型的規(guī)律

盧麗麗

【內(nèi)容摘要】生活中的規(guī)律無處不在，只要我們能夠發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并且主動(dòng)去運(yùn)用規(guī)律，生活會(huì)變得有條理、簡(jiǎn)單愉快。數(shù)學(xué)也是如此。

【關(guān)鍵詞】規(guī)律 分析問題 創(chuàng)造性思維 題海

以前我總是為了講題而講題，題目一題一題的做，一題一題的講，講完了，學(xué)生也把書中的、練習(xí)冊(cè)中的題目做完了，但是收效甚微，相信很多老師也是這樣做的。我們總是感覺有做不完的題目，并且學(xué)生每天做大量類似的題目，不僅浪費(fèi)時(shí)間、精力，還會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生倦怠感。長(zhǎng)此以往，學(xué)生會(huì)產(chǎn)生厭學(xué)情緒，要是想學(xué)好數(shù)學(xué)，那簡(jiǎn)直是空中樓閣。

隨著對(duì)這些題目的深入研究，我發(fā)現(xiàn)，題目是可以歸類的，有很多規(guī)律可循，如果我們找到了這些規(guī)律，學(xué)生就沒有必要做那么多的重復(fù)勞作，并且見到一個(gè)題目立刻能知道它屬于哪一類，它的解題方法是什么。這樣我們就可以把題海變成題河了。相信這也是每一位數(shù)學(xué)教師的追求。學(xué)生再也不用在題海里掙扎了。這樣既能節(jié)省學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的時(shí)間，又能鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，歸納概括能力等等多種能力。這樣就能起到事倍功半的效果。所以我們當(dāng)老師的要善于總結(jié)規(guī)律。

【規(guī)律一】

蘇教版八年級(jí)數(shù)學(xué)課本第八十頁例題4。已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別相交于點(diǎn)E、F。求證：四邊形AFCE是菱形。

這一個(gè)題目我們可以歸結(jié)為：如果一個(gè)四邊形滿足條件——一組對(duì)邊平行，一條對(duì)角線是另一條對(duì)角線的垂直平分線，那么結(jié)論是——這個(gè)四邊形是菱形。方法——證明對(duì)頂點(diǎn)的一對(duì)三角形全等。

以上這個(gè)規(guī)律記住了，一系列的題目都會(huì)解決了。

如：在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E為AB中點(diǎn)。四邊形BCDE是菱形嗎？為什么？

這一題，由BC=CD，可以得到點(diǎn)C在BD的垂直平分線上，由AD⊥BD，E為AB中點(diǎn)?？梢缘玫紻E=EB，所以點(diǎn)E在BD的垂直平分線上，故CE所在的直線是DB的垂直平分線，有由于AB∥CD，所以這一道題可以轉(zhuǎn)化到上面所說的那種題型，也就容易解決來了。

又如，在△ABC中，AD是角平分線，E是AB上一點(diǎn)，且AE=AC，EG//BC，EG交AD于點(diǎn)G，求證：四邊形EDCG是菱形。

此題由AD是角平分線，AE=AC，可以得到AD所在的直線是EC的垂直平分線，在加上EG//BC，這又符合我們的規(guī)律。

【規(guī)律二】

案例1：蘇教版七年級(jí)數(shù)學(xué)課本第六章《平面圖形的認(rèn)識(shí)》的第一節(jié)課“線段、射線、直線”中，我們數(shù)線段的條數(shù)（要有規(guī)律去數(shù)）：線段上只標(biāo)出2個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段的條數(shù)為1；線段上標(biāo)出3個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段的條數(shù)為1+2；線段上標(biāo)出4個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段的條數(shù)為1+2+3；……所以我們可以推出：線段上標(biāo)出n個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段的條數(shù)為1+2+3+4+…+（n-1）；這個(gè)式子很長(zhǎng)，是高中要學(xué)習(xí)的等差數(shù)列的求和問題，要給學(xué)生講清楚它的答案為什么是n（n-1）/2，現(xiàn)在來說很難，所以我們只能要求學(xué)生牢記這個(gè)答案了。

案例2：在第六章《平面圖形的認(rèn)識(shí)》的第二節(jié)“角”中，認(rèn)識(shí)完角之后，我們要數(shù)角的個(gè)數(shù)（有規(guī)律去數(shù)）：只有有公共端點(diǎn)的2條射線構(gòu)成角時(shí)，角的個(gè)數(shù)為1；只有有公共端點(diǎn)的3條射線構(gòu)成角時(shí)，角的個(gè)數(shù)為1+2； ……，只有有公共端點(diǎn)的n條射線構(gòu)成角時(shí)，角的個(gè)數(shù)為1+2+3+4+…+（n-1 = n（n-1）/2；

案例3：若平面內(nèi)有3個(gè)點(diǎn)，過其中任意兩個(gè)點(diǎn)畫直線，最多可以畫（1+ 2）條直線；……；若平面內(nèi)有n個(gè)點(diǎn)，過其中任意兩個(gè)點(diǎn)畫直線，最多可以畫n（n-1）/2條直線。

案例4：3個(gè)小朋友在一起，每?jī)扇宋找淮问?，他們一共握了多少次手?個(gè)小朋友在一起呢？n個(gè)小朋友在一起呢？

這一題思考方法與案例3相同，結(jié)果也是n（n-1）/2

案例5：平面內(nèi)有n條直線，設(shè)它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為m，請(qǐng)用含n的代數(shù)式表示m的最大值。

分析：（如果沒有要求表示m的最大值，這題就麻煩了）這題先從簡(jiǎn)單情況考慮：如果是2條直線，這時(shí)m的最大值為1；如果是3條直線，為了使m的值最大，就要使第一條直線和第二條直線相交，且第三條直線與前兩條直線都相交，所以此時(shí)m的最大值為（1+2）； ……如果是n條直線，為了使m的值最大，就要使第一條直線和第二條直線相交，第三條直線與前兩條直線都相交，第四條直線與前三條直線都相交，……第n條直線與前（n-1）條直線都相交，所以此時(shí)m的最大值為：n（n-1）/2

只要學(xué)生遇到這類的題目，可以直接把答案填上去。這樣既保證做對(duì)，又節(jié)省時(shí)間。

總之，蘇教版七年級(jí)數(shù)學(xué)書中多次出現(xiàn)這類問題，如果學(xué)生沒有掌握規(guī)律，不會(huì)上面的式子，要想解決這類題目可以說是無從下手。作為一名老師，這就是我們價(jià)值的體現(xiàn)之處了。首先我們應(yīng)該把這類難題理解透徹，總結(jié)規(guī)律，然后再給學(xué)生講解清楚。相信在考試中學(xué)生遇到類似的問題就可以迎刃而解了。難題之所以是難題，是因?yàn)閷W(xué)生平時(shí)很少碰，或是學(xué)生沒有吃透題目的內(nèi)在規(guī)律。很多的難題光是靠學(xué)生自己去領(lǐng)悟是不行的，畢竟學(xué)生的思維能力、創(chuàng)新能力和已有知識(shí)水平是達(dá)不到的。這就需要我們當(dāng)老師的來做領(lǐng)路人了。

（作者單位：江蘇省徐州市經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校）