為何要錯(cuò)，錯(cuò)在哪里

雷國(guó)熙

常言道：“人非圣賢，孰能無(wú)過(guò)?！庇绣e(cuò)是難免的，不過(guò)還是可以避免的。對(duì)于初中生來(lái)說(shuō)，他們正處在生長(zhǎng)發(fā)育的黃金階段，思想波動(dòng)性大，思維不健全，模仿能力強(qiáng)，自主性較差，精力不集中，對(duì)所學(xué)知識(shí)不精心推敲，一知半解。因此，導(dǎo)致在做題時(shí)總要出現(xiàn)錯(cuò)誤。而錯(cuò)誤的原因是、錯(cuò)在哪里卻不清楚。

筆者撰此拙文，以敦促有如此情形的學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中要精益求精，不恥下問(wèn)，多看書，多做多練，多動(dòng)腦思考。首先，認(rèn)真研究數(shù)學(xué)概念的嚴(yán)密性，在做題時(shí)認(rèn)真讀題，細(xì)心揣摸題意，分清諸條件的真正用意以及與結(jié)論之間的直接或間接關(guān)系。其次，認(rèn)清題中的結(jié)論及要求，達(dá)此目的需要什么條件，怎樣達(dá)到，需與條件掛鉤。如果沒(méi)有直接或間接條件者，需挖掘隱含條件。這就是所謂的做題思路。

下面特舉幾例，以便讀者斟酌之。

一、隱含條件有待挖掘

隱含條件，題目中未明確表達(dá)，但客觀存在，需充分挖掘，才能利用。

例1：關(guān)于X的一元二次方程kx2-（2k+1）x+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是______

誤解：∵方程有兩個(gè)實(shí)根，

∴

∴

簡(jiǎn)析：“誤解”中忽視了一個(gè)隱含條件，是二次項(xiàng)系數(shù)非零，。

正解：由題意得且≥0， ?∴k≥﹣且k≠0。

例2：已知a、b為方程x2+5x+2=0的兩根，求+的值。

誤解：∵a+b=﹣5，ab=2。

∴。

簡(jiǎn)析：∵ab=2>0

∴a、b同號(hào)

又∵a+b=﹣5<0

∴a<0，b<0，即為隱含條件，“誤解”中沒(méi)有挖掘，而導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤。

正解：∵a+b=﹣5<0，ab=2>0

∴a<0，b<0

∴

二、謹(jǐn)防“陷阱”，擺脫上鉤

這類題要求學(xué)生平時(shí)養(yǎng)成仔細(xì)審題、周密思考的習(xí)慣，不被題設(shè)“陷進(jìn)”所迷惑。

例3：下面是某學(xué)生在一次考試中解答的填空題：

（1）若x2=a2，則x=a。

（2）方程2x（x-1）=x-1的解為x=0。

（3）若直角三角形有兩邊長(zhǎng)分別為3和4，則第三邊的長(zhǎng)為5。

簡(jiǎn)析：“陷阱”只對(duì)于粗心者而言，謹(jǐn)慎者本來(lái)就不存在“陷阱”，所以“陷阱”是相對(duì)的。（1）求的是平方根，而該學(xué)生把平方根和算術(shù)平方根混淆。正確答案應(yīng)為x=±a。（2）方程兩邊不能簡(jiǎn)單地除以（x-1），因?yàn)椋▁-1）還有是零的可能，應(yīng)采取分解因式法求解，方程的解應(yīng)為x=0或x=1。（3）條件中“兩邊長(zhǎng)分別為3和4”，是直角邊還是斜邊，并不明確。因此，應(yīng)有兩種可能存在;第一種可能是“兩直角邊分別是3和4”，第三邊長(zhǎng)應(yīng)為5;第二種可能是“3和4是一條直角邊和斜邊”，則第三邊應(yīng)為，所以正確答案應(yīng)為5和。

例4：已知abc≠0，并且，則k=____

誤解：∵ abc≠0

∴a、b、c均不為零。

由等比性質(zhì)：

簡(jiǎn)析：此題運(yùn)用等比性質(zhì)，必須有a+b+c≠0，而題中只有abc≠0，因此分a+b+c≠0和a+b+c=0要分別討論。

正解：（1）當(dāng)a+b+c≠0時(shí)，如“誤解”k=。

（2）當(dāng)a+b+c=0時(shí)，a=-（b+c），則k= =-1。

∴k=或k=-1。

三、考慮不周，錯(cuò)誤求解

不少學(xué)生審題不細(xì)，考慮問(wèn)題不周全或因長(zhǎng)期養(yǎng)成的思維定勢(shì)等原因，導(dǎo)致解題出錯(cuò)。

例5。已知二次函數(shù)y=ax2+4x+a-1的最大值為2，求a的值。

誤解：∵函數(shù)y=ax2+4x+a-1的最大值為2

∴ =2，解得a=4或a=-1

簡(jiǎn)析：本題忽視了函數(shù)有最大值的條件a<0。

正解：∵二次函數(shù)y=ax2+4x+a-1有最大值

∴a<0

又∵函數(shù)y=ax2+4x+a-1的最大值為2

∴a=4或a=-1

∴a=-1

例6。已知拋物線y=x2-（k-1）x-3k-2與x軸交于A（m，0），B（n，0）兩點(diǎn)，且m2+n2=17，求k的值。

誤解：∵m+n=k-1，mn=-3k-2

∴m2+n2=（m+n）2-2mn=（k-1）2+2（3k+2）=17

即k2+4k-12=0

∴k=-6，k=2

簡(jiǎn)析：“錯(cuò)解”中忽視了方程

x2-（k-1）x-3k-2=0有兩不等根的條件△>0

正解：∵拋物線y=x2-（k-1）x-3k-2與x軸交于A，B兩點(diǎn)

∴△=（k-1）2+4（3k+2）=k2+10k+9>0，解得k<-9或k>-1

又由題意得m+n=k-1，mn=-3k-2

∴m2+n2=（m+n）2-2mn=（k-1）2+2（3k+2）=17

解得k=-6或k=2

∴k=2