一種新的非奇異積分型Terminal滑?？刂?/h1>

2018-02-08 06:47:19廖怡娜金朝永

佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)訂閱 2018年1期 收藏

關(guān)鍵詞：模面狀態(tài)變量平衡點(diǎn)

廖怡娜，金朝永

（廣東工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東廣州510520）

研究非線性不確定系統(tǒng)時(shí)，滑模變結(jié)構(gòu)控制是一種非常實(shí)用的工具,在通常情況下，滑模面函數(shù)的選取一般都是線性的，這個(gè)線性切換函數(shù)能夠確保系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面，并且進(jìn)入滑模階段后系統(tǒng)會(huì)漸進(jìn)穩(wěn)定到平衡點(diǎn)或者跟蹤誤差收斂到零，但是不能保證收斂到平衡點(diǎn)的時(shí)間有限。為了獲得更好的控制性能，Venkataraman［1］提出了Terminal滑?？刂撇呗?，即在滑模面的設(shè)計(jì)上引入非線性函數(shù)，這樣不但可使系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面，而且可以在有限時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定到平衡點(diǎn)。有限機(jī)理Terminal滑模就是在這種背景下發(fā)展起來的。但是文獻(xiàn)［2］指出，Terminal滑?？刂浦腥菀桩a(chǎn)生奇異問題，目前有兩類方法來解決控制結(jié)構(gòu)中出現(xiàn)的奇異問題，第1類是間接法［3］，即將原來Terminal滑模分為兩部分，并且部分增加為線性或非線性的形式；第2類是直接法［4］，即采用其他非線性函數(shù)來替換原來Terminal滑模函數(shù)的非線性部分，以確?？刂破鞯姆瞧娈愋浴?/p>

滑模變結(jié)構(gòu)控制對(duì)系統(tǒng)內(nèi)部的參數(shù)和外部干擾具有很好的魯棒性，為解決系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)攝動(dòng)和外界干擾引起的穩(wěn)態(tài)誤差和增強(qiáng)魯棒性，Chern［5］在傳統(tǒng)的滑模面設(shè)計(jì)上引入誤差積分項(xiàng)來削弱穩(wěn)態(tài)誤差和提高魯棒性，后來，將這種積分滑模運(yùn)用在永磁同步電機(jī)設(shè)計(jì)控制中，但在比較大的初始誤差值下，較大的超調(diào)及積分飽和效應(yīng)就會(huì)出現(xiàn)了，甚至?xí)斐上到y(tǒng)的不穩(wěn)定［6］。為了防止發(fā)生飽和效應(yīng)，李鵬等［7］通過改進(jìn)積分滑模面函數(shù)，在邊界層外用調(diào)節(jié)因子來衰減積分項(xiàng)，以避免初始誤差較大的情況下飽和效應(yīng)的產(chǎn)生引起的超調(diào)較大，在邊界層內(nèi)的穩(wěn)態(tài)誤差采用傳統(tǒng)積分來減少。之后，李鵬等［8］提出一類具有“小誤差擴(kuò)大，大誤差飽和”無窮可導(dǎo)的非線性飽和函數(shù)來完善傳統(tǒng)的積分滑?？刂啤?/p>

本文在文獻(xiàn)［7-11］的基礎(chǔ)上改進(jìn)全局快速Terminal滑?？刂频幕Ｃ?，避免了變結(jié)構(gòu)控制奇異問題的產(chǎn)生，另一方面，各誤差項(xiàng)用各狀態(tài)量代替，所設(shè)計(jì)變結(jié)構(gòu)控制器只需被跟蹤信號(hào)已知即可，并不需要連續(xù)信號(hào)的可導(dǎo)條件。

1 問題提出

首先，研究一類二階不確定非線性系統(tǒng)

其中，x=［x1，x2］T為系統(tǒng)的狀態(tài)變量；f（x）和b（x）≠0且為x的光滑非線性函數(shù)；g（x）為不確定性干擾且滿足為控制輸入。

考慮全局快速Terminal滑模（GFTSM）的切換函數(shù)

其中，α，β為正實(shí)數(shù)，p 和 q 為正奇數(shù)，且 p＞q。

當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑模面（2）上時(shí)，狀態(tài)x1（t）≠0收斂到平衡點(diǎn)的時(shí)間為

控制器設(shè)計(jì)為

從滑模面（2）可以看出，在遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)時(shí)系統(tǒng)收斂到滑模面的速度由決定，在趨近于平衡點(diǎn)時(shí)系統(tǒng)收斂到滑模面的速度由αx1決定，在線性滑模面上引入吸引子雖然加快了滑模控制的收斂速度，但是引入的吸引子卻容易產(chǎn)生奇異問題。分析如下：對(duì)于Terminal滑模（2）所設(shè)計(jì)的控制器（3）中含有 x1q/p-1x2項(xiàng)，因?yàn)?p，q 為正奇數(shù)，且 p＞q，所以 q/p-1＜0，在 x1=0，x2≠0 時(shí)會(huì)產(chǎn)生奇異問題。當(dāng) s=0 時(shí)，即在理想的滑模面上，有 x2=-αx1-βx1q/p，x1q/p-1x2=-αx1q/p-βx12q/p-1，如果規(guī)定 1＜p/q＜2，就可避免奇異問題發(fā)生。但當(dāng)s≠0時(shí)，即在到達(dá)終端滑模面的階段，當(dāng)x1=0時(shí)，x2=s≠0。在上述控制律U下，系統(tǒng)（1）到達(dá)Terminal滑模面之前，并不能保證x1=0和x2≠0的狀態(tài)不出現(xiàn)，否則，便會(huì)有奇異問題產(chǎn)生，此外，由于計(jì)算誤差等不確定因素，在到達(dá)Terminal滑模面之后也可能產(chǎn)生奇異問題，尤其是在x1=0，x2=0平衡點(diǎn)附近，會(huì)不定時(shí)地產(chǎn)生奇異問題。若考慮奇異問題，采用間接法或直接法所得到的狀態(tài)在滑動(dòng)模態(tài)上的收斂時(shí)間就會(huì)增長，為了避免奇異問題，縮短系統(tǒng)到達(dá)滑模面上的時(shí)間，本文將設(shè)計(jì)一種新的滑模切換函數(shù)。

2 Terminal滑動(dòng)模態(tài)控制的設(shè)計(jì)

在滑模變結(jié)構(gòu)控制中，控制分兩步進(jìn)行：一是保證滑模階段的存在，系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定收斂到滑模面s=0上；二是使得系統(tǒng)在滑模面上收斂到期望動(dòng)態(tài)或者誤差零點(diǎn)［12］。

為了克服GFTSM存在的奇異問題［13］，本文提出一種新的Terminal滑?？刂破鳎O(shè)計(jì)一個(gè)新的如下Terminal滑模函數(shù)（簡稱GFITSM）

其中，α＞0，β＞0，p 和 q 為正奇數(shù)，且 p＞q。

s沿解的時(shí)間導(dǎo)數(shù)為

取指數(shù)趨近律，即

則

化簡后，設(shè)計(jì)新的控制律為

定理1 對(duì)非線性系統(tǒng)（1），取滑模面函數(shù)（4），在控制律（6）的作用下，則系統(tǒng)狀態(tài)能夠在有限時(shí)間內(nèi)漸進(jìn)穩(wěn)定到達(dá)滑模面s=0上。

證明 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析：選取Lyapunov函數(shù)，即

對(duì)Lyapunov函數(shù)求導(dǎo)，則

由于 ε＞0，k＞0，于是V觶≤0，證明系統(tǒng)滑動(dòng)模態(tài)的存在。

設(shè)s（0）≠0到s=0時(shí)間為tr，當(dāng)t=tr時(shí)，s（tr）=0。

由

當(dāng) s≥0 時(shí)，有

注1為了系統(tǒng)抖振能更好地削弱，一般采用sat（s）飽和函數(shù)來替代sgn（s）平滑控制量，即

這里的sat（s）為飽和函數(shù)，定義為

其中，φ為很小的正數(shù)。替換后的控制量（7）使得滑動(dòng)模態(tài)存在并依然可到達(dá)。

定理2 對(duì)于非線性系統(tǒng)式（1）和控制策略式（6），系統(tǒng)狀態(tài)在滑模面式（4）上是全局漸進(jìn)穩(wěn)定到平衡原點(diǎn)。

證明 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析：當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)變量進(jìn)入滑模面s=0，此時(shí)也有觶=0，即取Lyapunov函數(shù)，即

V1是正定的，而

3 設(shè)計(jì)改進(jìn)的滑動(dòng)模態(tài)控制器

令y=x1，ym=xm為跟蹤期望信號(hào)，定義跟蹤誤差為

對(duì)于系統(tǒng)（1），為了減少穩(wěn)態(tài)誤差和提高系統(tǒng)的魯棒性［14］，在傳統(tǒng)的滑模面表達(dá)式上加入誤差的積分項(xiàng)其滑模面設(shè)計(jì)如下［7］

其中，kp＞0，k1＞0。對(duì)于滑模面（8），使得在初始狀態(tài)系統(tǒng)就處于滑動(dòng)模態(tài)上，消除了到達(dá)過程。然而在比較大的初始誤差值下，較大的超調(diào)及積分飽和效應(yīng)就會(huì)出現(xiàn)了，甚至?xí)斐上到y(tǒng)的不穩(wěn)定。李鵬等［8］提出一類具有“小誤差擴(kuò)大，大誤差飽和”無窮可導(dǎo)的非線性飽和函數(shù)來完善傳統(tǒng)的積分滑模面控制。文獻(xiàn)［11］各誤差項(xiàng)用各狀態(tài)量代替，所設(shè)計(jì)變結(jié)構(gòu)控制器只需被跟蹤信號(hào)已知即可，并不需要連續(xù)信號(hào)的可導(dǎo)條件。

因此，設(shè)計(jì)新的滑模面為

其中，α＞0，β＞0，p 和 q 為正奇數(shù)，且 p＞q。

定理3 對(duì)于非線性不確定系統(tǒng)式（1），取式（9）定義的滑模面，若控制律為

其中，d為邊層厚度，則滑動(dòng)模態(tài)變量σ能在有限時(shí)間內(nèi)進(jìn)入邊界層。證明 當(dāng)滑動(dòng)模態(tài)變量σ不在邊界層內(nèi)時(shí)，式（10）可以寫成

選取Lyapunov函數(shù)，即

對(duì)Lyapunov函數(shù)求導(dǎo)，則

由于 ε＞0，k＞0，于是V觶≤0，說明系統(tǒng)滑動(dòng)模態(tài)存在。

所以，σ能夠在有限時(shí)間tr內(nèi)到達(dá)邊界層內(nèi)，tr為

注2在控制器U的表達(dá)式中可以看出，只需要期望輸出值ym，并不需要各階的導(dǎo)數(shù)。邊層法可以讓系統(tǒng)狀態(tài)收斂到以滑模面為中心的邊層內(nèi)。

定理4 對(duì)于系統(tǒng)（1）和控制策略式（10），假設(shè)輸入的期望信號(hào)具有一階可導(dǎo)且β滿足

則系統(tǒng)在滑模面上的跟蹤誤差e收斂趨近于0。證明 取Lyapunov函數(shù)，即

V1是正定的，而

4 仿真結(jié)果及分析

為了驗(yàn)證本文提出的全局快速非奇異積分型Terminal滑模控制方法的有效性，這里的simulink仿真將與全局快速Terminal滑模控制（2）進(jìn)行比較。

考慮一個(gè)簡單的二階非線性不確定動(dòng)態(tài)系統(tǒng)

其中，f=0.1sin（20t），g=0.12sint；參數(shù)選擇為 p=5，q=3，α=1，控制律中的參數(shù) lg=0.015，ε=0.20，k=5。

選取全局快速Terminal滑動(dòng)模態(tài)的控制方法，這種滑模對(duì)應(yīng)的切換函數(shù)記為GFTSM，則滑模函數(shù)為

選取全局快速非奇異積分型Terminal滑模的控制方法，對(duì)應(yīng)的切換函數(shù)為GFITSM，則滑模切換函數(shù)為

結(jié)合以上兩種Terminal滑模的控制方法，所設(shè)計(jì)的控制器形式如下：

（1）GFTSM控制器為

（2）GFITSM控制器為

結(jié)論1本文提出的GFITSM控制器可以保證全局快速Terminal滑模在非奇異的前提下，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的快速收斂。為了與全局快速終端滑模GFTSM控制器作比較，選取系統(tǒng)的初始狀態(tài)為x1（0）=0.5，x2（0）=0，β=4，如圖1~3所示，GFTSM控制器的狀態(tài)變量x2和控制u都產(chǎn)生很大的抖振，而本文設(shè)計(jì)的控制器卻能達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，并且狀態(tài)變量越趨近于平衡點(diǎn)（x1（0）=0，x2（0）=0），參數(shù)β選取越大，GFTSM的狀態(tài)變量x2（t）及控制u抖振得越厲害。

圖1 2種滑?？刂破飨聽顟B(tài)x1（t）的抖振研究曲線

圖2 2種滑模控制器下狀態(tài)x2（t）的抖振研究曲線

圖3 2種滑?？刂破飨驴刂戚斎氲亩墩裱芯壳€

結(jié)論2觀察圖4~6的仿真結(jié)果，在兩種控制器的作用下，兩種滑模面都可以在有限時(shí)間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn)，而本文提出的全局快速非奇異積分型Terminal滑?？刂票菺FTSM具有更快的速度收斂到平衡點(diǎn)。這里初始狀態(tài)x1（0）=1，x2（0）=5，參數(shù)其余參數(shù)保持不變，系統(tǒng)從初始值分別進(jìn)入?yún)^(qū)域的收斂時(shí)間如表1所示，從表1可看出，與控制器GFTSM相比，本文提出的GFITSM控制器的狀態(tài)變量x1（t）收斂速度快約20.2%，而狀態(tài)變量x2（t）的收斂速度快約13.3%。因此，本文提出的新的控制器是最有效的。

圖4 2種滑?？刂破飨聽顟B(tài)x1（t）的收斂速度曲線

圖5 2種滑?？刂破飨聽顟B(tài)x2（t）的收斂速度曲線

圖6 2種滑?？刂破飨驴刂戚斎氲氖諗克俣惹€

表1 2種滑?？刂破飨孪到y(tǒng)狀態(tài)變量的收斂時(shí)間

5 結(jié)論

針對(duì)一類SISO二階不確定非線性系統(tǒng)，本文設(shè)計(jì)了一種新的非奇異Terminal滑?？刂疲⒑驮械娜挚焖賂erminal滑?？刂葡啾?，可以避免奇異問題，削弱狀態(tài)變量及控制器的抖振。根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性定理，證明了系統(tǒng)在有限時(shí)間達(dá)到滑模面且在有限時(shí)間收斂到平衡點(diǎn)。仿真結(jié)果表明［15］，本文提出的非奇異積分型Terminal滑?？刂瓶梢栽诟痰臅r(shí)間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn)。

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