一類新節(jié)點(diǎn)集上的Newman有理插值逼近

詹倩++許樹(shù)聲

摘 要：為了得到在[-1，1]上對(duì)非光滑函數(shù)|x|逼近誤差的上界，構(gòu)造了一組全新的節(jié)點(diǎn)集，并證明了基于該節(jié)點(diǎn)集的Newman型有理插值算子逼近函數(shù)|x|的誤差上界為e-21+εn 其中ε為僅依賴n的小正數(shù)，可隨著n增大任意減小乃至趨于零。該誤差上界優(yōu)于利用Newman節(jié)點(diǎn)集所得到的結(jié)果。同時(shí)通過(guò)合理分配節(jié)點(diǎn)集在區(qū)間上的分布及改進(jìn)不等式的證明方法，逼近的誤差階可進(jìn)一步提高。

關(guān)鍵詞：函數(shù)逼近；非光滑函數(shù)；Newman有理插值算子

中圖分類號(hào)：O17441 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1672-1098（2015）02-0083-04

The Newman Rational Interpolating Approximation Based on a New Set of Nodes

ZHAN Qian1， XU Shu-sheng2

（1. School of Science， Anhui University of Science and Technology， Huainan Anhui 232001， China； 2. School of Science， East China University of Science and Technology， Shanghai 200237， China）

Abstract：In order to get the upper bound of the error of approximating the non-smooth function |x| in [-1，1]， a new set of interpolating nodes was constructed. And the order of approximation is e-21+εn ， where ε only depends on n and ε→0+（n→∞） .This upper bound of error is sharper than the results obtained with Newman nodes. Furthermore， it can be sharpened by improving the method of the inequality proving and the distribution of nodes.

Key words：function approximation； non-smooth function； Newman rational interpolating operators

眾所周知，早在1913年，文獻(xiàn)[1]就證明了在[-1，1]上對(duì)|x|的最佳多項(xiàng)式逼近的階為O（1n），且不能改進(jìn)。1964年，文獻(xiàn)[2]證明了|x|在[-1，1]上的最佳有理逼近效果更好，遠(yuǎn)優(yōu)于其多項(xiàng)式最佳逼近。他構(gòu)造的節(jié)點(diǎn)集是

X={-a，-a2，…，-an-1，0，an-1，…，a2，a}，

其中a=exp（-n-1/2），n=1，2，…，取 p（X；x）=∏n-1k=1（x+ak），并構(gòu)造有理插值函數(shù)rn（X；x）如下：

rn（X；x）=xp（X；x）-p（X；-x）p（X；x）+p（X；-x）

（1）

利用以上有理插值函數(shù)得到著名的定理。

定 理 對(duì)x∈[-1，1]，n≥5，有下式成立。

12e-9n≤max|x|≤1||x|-rn（X；x）|≤3e-n

（2）

顯然文獻(xiàn)[2]在證明中構(gòu)造的函數(shù)rn（X；x）是在節(jié)點(diǎn)集X上對(duì)|x|的插值函數(shù)，后來(lái)節(jié)點(diǎn)集X以及插值函數(shù)rn（X；x）分別被稱為Newman節(jié)點(diǎn)集和Newman插值函數(shù)。

在隨后的幾十年里，國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者考慮了Newman插值函數(shù)基于各種常見(jiàn)節(jié)點(diǎn)集對(duì)非光滑函數(shù)|x|的有理插值逼近，遺憾的是逼近的效果都不如Newman節(jié)點(diǎn)集。比如文獻(xiàn)[3]～文獻(xiàn)[5]分別考慮了等距節(jié)點(diǎn)、Chebyshev多項(xiàng)式零點(diǎn)以及修正的Chebyshev多項(xiàng)式零點(diǎn)上對(duì)|x|的Newman有理插值逼近，雖然逼近的誤差階較之多項(xiàng)式逼近有了較大提高，但都遠(yuǎn)遠(yuǎn)劣于Newman的結(jié)果。

2004年，文獻(xiàn)[6]仍然利用Newman節(jié)點(diǎn)集改進(jìn)了式（2），并得到了逼近的漸近公式：endprint