飽和非飽和滲流基本微分方程的推導(dǎo)

□楊 昱（鄭州市水利建筑勘測(cè)設(shè)計(jì)院）

0 引言

水在巖土體中沿著空隙流動(dòng)的現(xiàn)象稱之為滲流，按照水在巖土體中的流動(dòng)方式，滲流可以分為飽和流與非飽和流兩種類型。飽和滲流是指，水在巖土體流動(dòng)過(guò)程中，任意一點(diǎn)的水頭及滲透系數(shù)不隨時(shí)間的改變。非飽和滲流是指，水在巖土體流動(dòng)過(guò)程中，任意一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)要素隨時(shí)間而改變[1]。巖土體飽和-非飽和滲流的基本微分方程是解決巖土體滲流問(wèn)題的理論基礎(chǔ)及計(jì)算依據(jù)。

達(dá)西定律是巖土體滲流理論的基礎(chǔ)，質(zhì)量守恒定律及能量守能定律是一切流體運(yùn)動(dòng)普遍遵循的基本定律。文章首先從理論上推導(dǎo)了達(dá)西定律，然后根據(jù)質(zhì)量守恒定律推導(dǎo)了連續(xù)性方程，以二者為基礎(chǔ)推導(dǎo)巖土體飽和滲流的基本微分方程，根據(jù)能量守恒定律推導(dǎo)了非飽和滲流的基本微分方程。

1 達(dá)西定律

達(dá)西定律是滲流理論的基本定律，最早通過(guò)實(shí)驗(yàn)證實(shí)，它也可以從多孔介質(zhì)中層流運(yùn)動(dòng)所遇到的阻力關(guān)系推導(dǎo)出來(lái)[2]。圖1為沿流線方向s 取得單元微分體,長(zhǎng)為ds,斷面積為dA;作用在單元柱體上的力有:兩端的孔隙水壓力,孔隙水流的自重及水流受到顆?？紫兜赖哪ψ枇。

圖1 滲透水體的受力圖

沿土柱方向列出滲流的受力方程(略去水流的慣性力)：

將其代入（1）式，有：

根據(jù)斯托克斯阻力公式，單個(gè)土體顆粒所受阻力為：

式中，d 為土體顆粒直徑，v'為顆粒周圍沿滲流方向的局部平均流速；μ；λ 為一個(gè)系數(shù)，取決于臨近顆粒的影響，對(duì)于無(wú)限水體中的圓球，λ=3π。

對(duì)于總數(shù)為N 的土顆粒，引用一個(gè)球體系數(shù)β，則總阻力為：

將（4）式代入（1）并考慮到斷面上的平均流速v=nv│及滲流坡降，則有：

該式即為達(dá)西定律的理論表達(dá)式。

一維飽和滲流，有：

三維飽和滲流況，有：

在直角坐標(biāo)系中，以vx,vy,vz表示沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的滲透速度分量，則有：

滲透速度矢量v 為：

非飽和滲流也遵循達(dá)西定律[3]。滲透系數(shù)K 是土壤含水率θ 和飽和度S 的函數(shù)K（θ）,K（S）。

在非飽和巖土體中，基質(zhì)吸力表達(dá)式：

總水頭表達(dá)式：

將公式（11），(12)代入達(dá)西定律，得：

當(dāng)巖土體只在x 一個(gè)方向產(chǎn)生非飽和滲流時(shí)，由式（13）可得：

由式（14）得：

2 連續(xù)性方程

如圖2所示，在巖土體中水分流動(dòng)的空間內(nèi)建立一微小的平行六面體，邊長(zhǎng)分別為△x,△y,△z，與相應(yīng)的坐標(biāo)軸平行，六面體中心坐標(biāo)（x，y，z）。

沿坐標(biāo)軸方向的速度分量和液體密度分別用νx、νy、νz和ρ 來(lái)表示。

圖2 直角坐標(biāo)系中的單元體圖

在△t 時(shí)間內(nèi)，流入六面體左邊界面abcd 的液體質(zhì)量為：

其中，Qx表示沿x 軸方向進(jìn)入六面體的流量。而從六面體右邊界a'b'c'd'流出的液體質(zhì)量為：

沿x 軸方向流入和流出六面體的質(zhì)量差二者之差：

同理，沿y 軸和z 軸方向流入和流出六面體的質(zhì)量差分別為：

在△t 時(shí)間內(nèi)流入和流出六面體單元的總的質(zhì)量差為：

在△t 時(shí)間內(nèi)，單元體內(nèi)液體質(zhì)量的變化量為：

根據(jù)質(zhì)量守恒定律，它應(yīng)等于單元體內(nèi)液體質(zhì)量隨時(shí)間的變化量，即：

式（24）即為滲流的連續(xù)性方程。

對(duì)于不可壓縮的均質(zhì)液體，密度為常數(shù)，如果含水層骨架不被壓縮，n 和△x、△y、△z 都保持不變，則有：

式（25）即為穩(wěn)定滲流情況下的連續(xù)性方程。

3 Jacob 假定

為計(jì)算式（24）的右端項(xiàng)，1950年JacobBear 提出了著名的Jacob 假定[4]。假設(shè)巖土體只在垂直方向上有壓縮（或膨脹），△x、△y 視為常量，只有水的密度ρ、孔隙度n 和單元體高度△z 三個(gè)量隨壓力而變化，式（24）的右端項(xiàng)可以改寫為：

式（26）右端三項(xiàng)分別代表單元體骨架顆粒和孔隙體積以及流體的密度的改變速率，前兩項(xiàng)可表示為顆粒之間的有效應(yīng)力，第三項(xiàng)可表示為流體壓力；就是說(shuō)有效應(yīng)力σ'作用于單元體，孔隙水壓力p 壓縮水體。

在多孔介質(zhì)壓縮過(guò)程中，固體顆粒體積的壓縮可以略不計(jì)，即（1-n）νb=常數(shù)，則有：

若含水層側(cè)向受限制，只在垂直方向上壓縮，即只有單元體垂直方向上長(zhǎng)度△z 的變化，有

得到：

所以：

所以

將（33）、（34）和（36）帶入（26）得：

于是連續(xù)性方程（24）可化為：

將式（39）代入上式得：

由于水的壓縮系數(shù)很小1-βp≈1，，從而有：

將式（42）代入式（38），并展開(kāi)式（38）左端，得：

上式中，左端后一項(xiàng)比前一項(xiàng)要小得多，可以略去，故上式變?yōu)椋?/p>

略去相同項(xiàng)得：

上式表示水流在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中滲透速度與水頭的關(guān)系。

4 基本微分方程

根據(jù)達(dá)西定律，x、y、z 方向的滲流速度可表示為：

將式（46）代入式（45），并由μs=ρg（α+nβ)得：

考慮抽水、注水、降雨及蒸發(fā)等情況，在基本微分方程中加入源匯項(xiàng)W，可得完整形式的飽和滲流微分方程[5]：

式中，W 稱為源匯項(xiàng)，為位置和時(shí)間的函數(shù)。

對(duì)于不考慮源匯項(xiàng)的均質(zhì)各向同性的穩(wěn)定流，有：

上式即為均質(zhì)各向同性穩(wěn)定流的Laplace 方程。

根據(jù)能量守恒定律[6]，在連續(xù)性方程（24）中，只要把等式右邊的孔隙度n 換成含水率θ，即可得到非飽和滲流的基本微分方程。假定非飽和介質(zhì)不變形，△x△y△z 為微量，在方程兩端相同，可以約去；且在非飽和流中，水的密度ρ 變化很小，可看作常量，從而有：

將達(dá)西定律代入可得：

式（52）即為非飽和流的基本微分方程，稱為Richards 方程。

5 結(jié)論

針對(duì)飽和-非飽和滲流基本微分方程，以達(dá)西定律為基礎(chǔ)，從理論上進(jìn)行了較為嚴(yán)密的，系統(tǒng)的推導(dǎo)，主要推導(dǎo)了以下幾個(gè)方程：

滲流的連續(xù)性方程：

飽和流水頭與速度關(guān)系：

飽和滲流微分方程：

不考慮源匯項(xiàng)的穩(wěn)定飽和滲流微分方程：

不考慮源匯項(xiàng)的均質(zhì)各向同性的穩(wěn)定飽和滲流微分方程：

非飽和流的基本微分方程：

[1]曾鈴.降雨條件下邊坡滲流特性及穩(wěn)定性研究[D].長(zhǎng)沙理工大學(xué),2011.

[2]苑寶軍,張玉文,姜袁.達(dá)西定律推導(dǎo)中的啟示在實(shí)際工程中的應(yīng)用[J].常州工學(xué)院學(xué)報(bào),2005,05:11-13+30.

[3]冉興龍,曹海東,夏斌,郭春華.Jacob 假定下含水層的儲(chǔ)水率及其地面沉降機(jī)理意義[J].水動(dòng)力學(xué)研究與進(jìn)展(A 輯),2005,03:393-399.

[4]楊永恒.滲流場(chǎng)與應(yīng)力場(chǎng)耦合分析及其在尾礦壩工程中的應(yīng)用[D].西安理工大學(xué),2006.