幾何畫板在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究

孫喜宗

【摘 要】蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)家A.H.柯爾莫戈洛夫指出：“只要有可能，數(shù)學(xué)家總是盡力把他們正在研究的問題從幾何上視覺化?！睌?shù)學(xué)科學(xué)最重要的是抽象思維和形象思維的結(jié)合，但從人類數(shù)學(xué)思維系統(tǒng)的發(fā)展來說，形象思維是最早出現(xiàn)的，并在數(shù)學(xué)研究和教學(xué)中都起著重要的作用。很難想象，一個(gè)沒有得到形象思維培養(yǎng)的人會(huì)有很高的抽象思維、理論思維的能力，同樣，一個(gè)學(xué)生如果根本不具備數(shù)學(xué)想象力，要把數(shù)學(xué)學(xué)好那也是不可能的?；诖?，從國(guó)外引進(jìn)的教育軟件幾何畫板以其學(xué)習(xí)入門容易和操作簡(jiǎn)單的優(yōu)點(diǎn)及其強(qiáng)大的圖形和圖象功能、方便的動(dòng)畫功能被國(guó)內(nèi)許多數(shù)學(xué)教師看好，并已成為制作中學(xué)數(shù)學(xué)課件的主要?jiǎng)?chuàng)作平臺(tái)之一。那么，幾何畫板在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有哪些應(yīng)用呢？本文從它在高中代數(shù)、解析幾何、立體幾何中的應(yīng)用等方面加以研究。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) ? ? 幾何面板 ? ? 應(yīng)用

一、幾何面板在高中代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

華羅庚說：“數(shù)缺形少直觀，形缺數(shù)難入微?！睘榱私鉀Q數(shù)形結(jié)合的問題，在有關(guān)函數(shù)的傳統(tǒng)教學(xué)中多以教師手工繪圖為主，但手工繪圖有不精確、速度慢的弊端;應(yīng)用幾何畫板快速直觀地顯示及變化功能則可以克服上述弊端，大大提高課堂效率，起到事半功倍的教學(xué)效果。

具體說來，可以用幾何畫板根據(jù)函數(shù)的解析式快速作出函數(shù)的圖象。并可以在同一個(gè)坐標(biāo)系中做出多個(gè)函數(shù)的圖象，如在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=x2. y=x3和y=x1/2的圖象，比較各圖象的形狀和位置，歸納冪函數(shù)的性質(zhì)。還可以做出含有若干參數(shù)的函數(shù)圖象，當(dāng)參數(shù)變化時(shí)函數(shù)圖象也相應(yīng)地變化，如在講函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象時(shí)，傳統(tǒng)教學(xué)只能將A、ω、φ代入有限個(gè)值，觀察各種情況時(shí)的函數(shù)圖象之間的關(guān)系;利用幾何畫板則可以以線段b、T的長(zhǎng)度和A點(diǎn)到x軸的距離為參數(shù)作圖（如圖1），當(dāng)拖動(dòng)兩條線段的某一端點(diǎn)（即改變兩條線段的長(zhǎng)度）時(shí)分別改變?nèi)呛瘮?shù)的相位和周期，拖動(dòng)點(diǎn)A則改變其振幅 ，這樣在教學(xué)時(shí)既快速靈活，又不失一般性。

二、幾何面板在高中解析幾何教學(xué)中的應(yīng)用

平面解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何問題的一門數(shù)學(xué)學(xué)科，它研究的主要問題，即它的基本思想和基本方法是：根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，借助形和數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，求出表示平面曲線的方程，把形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)來研究;再通過方程，研究平面曲線的性質(zhì)，把數(shù)的研究轉(zhuǎn)化為形來討論。而曲線中各幾何量受各種因素的影響而變化，導(dǎo)致點(diǎn)、線按不同的方式作運(yùn)動(dòng)，曲線和方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系比較抽象，學(xué)生不易理解，顯而易見，展示幾何圖形變形與運(yùn)動(dòng)的整體過程在解析幾何教學(xué)中是非常重要的。這樣，幾何畫板又以其極強(qiáng)的運(yùn)算功能和圖形圖象功能在解析幾何的教與學(xué)中大顯身手。如它能做出各種形式的方程（普通方程、參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程）的曲線;能對(duì)動(dòng)態(tài)的對(duì)象進(jìn)行“追蹤”，并顯示該對(duì)象的“軌跡”;能通過拖動(dòng)某一對(duì)象（如點(diǎn)、線）觀察整個(gè)圖形的變化來研究?jī)蓚€(gè)或兩個(gè)以上曲線的位置關(guān)系。

具體地說，比如在講平行直線系y=x+b或中心直線系y=kx+2時(shí)，如圖2所示，分別拖動(dòng)圖（1）中的點(diǎn)A和圖（2）中的點(diǎn)B時(shí)，可以相應(yīng)地看到一組斜率為1的平行直線和過定點(diǎn)（0，2）的一組直線（不包括y軸）。

三、幾何面板在高中立體幾何教學(xué)中的應(yīng)用

初學(xué)立體幾何時(shí)，大多數(shù)學(xué)生不具備豐富的空間想象能力及較強(qiáng)的平面與空間圖形的轉(zhuǎn)化能力，主要原因在于人們是依靠對(duì)二維平面圖形的直觀來感知和想象三維空間圖形的，而二維平面圖形不可能成為三維空間圖形的真實(shí)寫照，平面上繪出的立體圖形受其視角的影響，難于綜觀全局，其空間形式具有很大的抽象性。如兩條互相垂直的直線不一定畫成交角為直角的兩條直線;正方體的各面不能都畫成正方形等。這樣一來，學(xué)生不得不根據(jù)歪曲真象的圖形去想象真實(shí)情況，這便給學(xué)生認(rèn)識(shí)立體幾何圖形增加了困難。而應(yīng)用幾何畫板將圖形動(dòng)起來，就可以使圖形中各元素之間的位置關(guān)系和度量關(guān)系惟妙惟肖，使學(xué)生從各個(gè)不同的角度去觀察圖形。這樣，不僅可以幫助學(xué)生理解和接受立體幾何知識(shí)，還可以讓學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力得到充分發(fā)揮。

如在講《錐體的體積》時(shí)，可以演示將三棱柱分割成三個(gè)體積相等的三棱錐，這樣既避免了學(xué)生空洞的想象而難以理解，又鍛煉了學(xué)生用分割幾何體的方法解決問題的能力;在用祖恒原理推導(dǎo)球的體積時(shí)，運(yùn)用動(dòng)畫和軌跡功能當(dāng)拖動(dòng)點(diǎn)O時(shí)，平行于桌面的平面截球和柱錐所得截面也相應(yīng)地變動(dòng)，直觀美麗的畫面使學(xué)生在學(xué)得知識(shí)的同時(shí)，給人以美的感受，創(chuàng)建了一個(gè)輕松、樂學(xué)的氛圍。

綜上所述，使用幾何畫板進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，通過具體的感性的信息呈現(xiàn)，能給學(xué)生留下更為深刻的印象，使學(xué)生不是把數(shù)學(xué)作為單純的知識(shí)去理解，而是能夠更有實(shí)感地去把握它。這樣，既能激發(fā)學(xué)生的情感、培養(yǎng)學(xué)生的興趣，又能大大地提高課堂效率。endprint