例談方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用

邱明武

（江西省信豐縣第七中學(xué)）

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)非常重要的內(nèi)容，也是每年高考必考的知識點，所以如何學(xué)好數(shù)列是每個學(xué)生迫切需要解決的問題． 眾所周知，方程思想是高中數(shù)學(xué)一種重要的數(shù)學(xué)思想，函數(shù)與方程可以相互轉(zhuǎn)化，即函數(shù)的一些問題可以用方程思想來解決，而數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，所以數(shù)列的一些問題也可以利用方程思想來處理．

一、求數(shù)列的項

例1.設(shè)｛an｝是遞增等差數(shù)列，前三項的和為12，前三項的積為48，求數(shù)列｛an｝的首項．

解：設(shè)數(shù)列｛an｝的首項為a1，由題設(shè)可知：a1+a2+a3=12，因為｛an｝是等差數(shù)列，所以a1+a3=2a2，代入上式可得：a2=4，則，a1+a3=8， ①

又由題設(shè)可知：a1a2a3=48，則a1a3=12， ②

則①②知，可把a(bǔ)1、a3看作方程x2+8x+12=0 的兩個實根．

解得x1=2，x2=6．或x1=6，x2=2．

又｛an｝是遞增等差數(shù)列，則a1＜a3，所以a1=2．

點評：根據(jù)韋達(dá)定理來構(gòu)造一元二次方程要注意根與系之間的關(guān)系，特別是符號的正負(fù)問題．

例2.數(shù)列｛an｝中，相鄰兩項an，an+1是方程x2+3nx+bn=0 的兩根，若a10，=-17，求b51．

所以a11+a10=-30，又a10=-17，則a11=-13．

點評：已知數(shù)列相鄰兩項與項數(shù)的關(guān)系可以由階差法來構(gòu)造一個高一階或低一階的方程，進(jìn)而作差可求出該數(shù)列或部分?jǐn)?shù)列的通項，最后所求問題就迎刃而解了。

二、求數(shù)列的通項

例3.已知數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，且a1=0，an+1+Sn=n2+2n（n∈N+），求數(shù)列｛an｝的通項公式．

解：因為an+1+Sn=n2+2n（n∈N+） ①

用n-1 替換①式中的n，可得：an+1+Sn+1=（n-1）2+2（n-1）（n≥2） ②

①-②得：an+1-an+Sn-Sn-1=n2-（n-1）2+2n-2（n-1）

即an+1=2n+1，進(jìn)而可得：an=2（n-1）+1=2n-1（n≥2）

當(dāng)n=1 時，a1=1，而S1=0，則a1≠S1，所以

點評：給出數(shù)列的an與Sn的遞推關(guān)系來求數(shù)列的通項，通常用n-1（或n+1）替換遞推式中的n而得到另一個等式，此方法稱為構(gòu)造方程組法，又叫階差法．

例4.設(shè)｛an｝是首項為1 的正項數(shù)列，且（n+1求an．

解：由已知條件因式分解可得：［（n+1）an+1-nan］（an+1+an）=0

因為數(shù)列｛an｝是正項數(shù)列，所以an+1+an≠0，則（n+1）an+1-nan=0，即

點評：若給出數(shù)列中任意相鄰兩項的齊二次式方程時，因式分解是首先的方法．

三、求數(shù)列的前n 項和

例5.求數(shù)列1，3a，5a2，7a3，…，（2n-1）an-1的前n項和．

解：當(dāng)a=0 時，Sn=1.

當(dāng)a=1 時，Sn=1+3+5+7+…+（2n-1）

當(dāng)a≠1 時，Sn=1+3a+5a2+7a3+…+（2n-1）an-1①

由①式兩邊同乘以a，得aSn=a+3a2+5a3+7a4+…+（2n-3）an-1+（2n-1）an②

①-②：得（1-a）Sn=1-（2n-1）an+2a+2a2+2a3+…+2an-1

=1-（2n-1

點評：對于含字母的此類問題，首先要討論字母為0 或1 的情況；當(dāng)字母不為1 時，數(shù)列較復(fù)雜，利用乘公比錯位相減法求．

例6.數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，以an，Sn為系數(shù)的二次方程x2-4Snx+an+4=0 都有根α，β，且滿足求an與Sn．

解：由韋達(dá)定理知：α+β=4Sn，又αβ=an+4，又=1，即α+β=αβ，所以4Sn=an+4 ①

用n-1 替換n可得：4Sn-1=an-1+4（n≥2） ②

①-②：得：4an=an-an-1（n≥2），即，

可知數(shù)列｛an｝是以為首項為公比的等比數(shù)列，

點評：上述求數(shù)列通項用了階差法，這里要注意的是求數(shù)列的前n項和，其過程是利用①式的等價關(guān)系進(jìn)行代入而求得，另外也可以利用等比數(shù)列的前n項和公式去求得．