Landau-Lifschitz方程的反散射變換微擾理論

李 存，宋宣玉, 王林生，劉墨林

(1.信陽(yáng)師范學(xué)院 物理電子工程學(xué)院，河南 信陽(yáng) 464000；2.河南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 電子工程系，河南 南陽(yáng) 473000)

0 引言

完全各向同性Landau-Lifschitz方程的孤子解已經(jīng)通過(guò)反散射變換理論建立了相應(yīng)的求解方法[1-4].完全各向同性的情況畢竟是一種理想化的模型，在實(shí)際問(wèn)題中因?yàn)槟承?shí)際因素使得方程往往含有修正項(xiàng)，這時(shí)嚴(yán)格的求解一般是不可能的.當(dāng)實(shí)際系統(tǒng)與理想化模型之間存在的差異比較細(xì)微，修正項(xiàng)可以視作一小量時(shí)，建立相應(yīng)的適用的微擾方法就成為解決此類問(wèn)題必要的、可行的方法，具有更為實(shí)際的意義.對(duì)于非線性方程系統(tǒng)的微擾方法，目前已經(jīng)建立了多種研究方法，例如：Keener、Mclaughlin等在處理Sine-Gordon方程的微擾問(wèn)題時(shí)建立的直接微擾理論[5-6]，這種方法意在強(qiáng)調(diào)直接微擾方法與基于反散射變換方法的理論的不同，刻意避免使用反散射變換理論所得出的結(jié)果.雖然這種方法的建立解決了非線性方程系統(tǒng)的一系列微擾問(wèn)題，但是所得到的基本解的完備性無(wú)法得到完整的證明.后來(lái)，Mann等人通過(guò)線性微分方程中的格林函數(shù)方法證明了單孤子情況下的完備性[7]，使得直接微擾方法更加完善，從而解決了非線性方程系統(tǒng)的諸多微擾問(wèn)題[8-11].對(duì)于Landau-Lifschitz方程的微擾理論，我們也曾嘗試直接微擾的方法，由于Landau-Lifschitz方程存在3個(gè)自旋分量，導(dǎo)致方程在展開(kāi)過(guò)程過(guò)于煩瑣而達(dá)不到預(yù)期的效果.本文是建立在反散射方法為基礎(chǔ)上的微擾方法[12]，這種方法最大的優(yōu)點(diǎn)是在建立過(guò)程中保留了反散射變換方法所得到的基本解，不需要通過(guò)其他方法再去求解齊次線性化方程的解，在非線性系統(tǒng)中是比較普遍使用的.

含修正項(xiàng)的Landau-Lifschitz方程可以表述為

St+S×Sxx=εP(S).

(1)

其中:ε是一個(gè)比較小的實(shí)參量，P(S)為修正項(xiàng).當(dāng)ε為零時(shí)，式(1)即為完全各向同性Landau-Lifschitz方程.而相應(yīng)的由微擾理論得出的解在ε為零時(shí)即為不含修正項(xiàng)也即完全各向同性Landau-Lifschitz方程的解.

反散射變換方法解法要點(diǎn)是首先引入一對(duì)Lax方程，利用它們的相容性條件給出當(dāng)且僅當(dāng)譜參數(shù)獨(dú)立于時(shí)間t時(shí)方程的Jost解.在建立反散射變換方法時(shí)，首先從第一個(gè)Lax方程出發(fā)求得滿足方程的解，通過(guò)求解過(guò)程中所引入Jost解的解析性、漸進(jìn)行為建立反散射方程.而在確定散射數(shù)據(jù)隨時(shí)間的演化方程時(shí)，基于譜參數(shù)λ獨(dú)立于時(shí)間t的條件利用第二個(gè)Lax方程求解[1，12].

在利用反散射方法建立含修正項(xiàng)的Landau-Lifschitz方程的微擾理論時(shí)，依然基于譜參數(shù)λ獨(dú)立于時(shí)間t的條件從而保留第一個(gè)Lax方程，暫時(shí)不考慮第二個(gè)Lax方程，否則所得的含修正項(xiàng)的結(jié)果無(wú)法與完全各向同性時(shí)的反散射變換方法的結(jié)果保持一致.這樣就使得在建立Landau-Lifschitz方程的微擾理論時(shí)所引入的Jost解及其漸進(jìn)行為與完全各向同性時(shí)的結(jié)果一致，反散射方程也保留了完全各向同性時(shí)的形式.

1 與時(shí)間相關(guān)的Jost解

不含微擾項(xiàng)的Landau-Lifschitz方程的兩個(gè)Lax方程為

?xψ(x,λ)=L(x,λ)ψ(x,λ)，

(2)

?tψ(x,λ)=M(x,λ)ψ(x,λ).

(3)

其中：式(2)中L=-iλS·σ；式(3)中M=-i2λ2(S·σ)+λ(S·σ)(SX·σ).完全各向同性Landau-Lifschitz方程與Nonlinear Schrodinger方程具有規(guī)范等價(jià)性[12]，故而Landau-Lifschitz方程含時(shí)間的Jost解如同Nonlinear Schrodinger的Jost解一樣[4,12]，可以表示為

(4)

其中，h(t,λ)=e-i2λ2t.在含微擾情況下，確定了譜參量以及散射數(shù)據(jù)隨時(shí)間的演化關(guān)系，由反散射方程得到的解才能表示為含時(shí)間t的確切函數(shù).這時(shí)的散射數(shù)據(jù)的結(jié)果與完全各向同性的結(jié)果只差ε階的小量，定義

(?t-M(x,t,λ))h(t,λ)φ(t,λ)≠0，

(5)

算子?x-L(x,λ)作用于式(5)得到

(?x?t-M?x-Mx-L?t+

LM)h(t,λ)φ(x,λ).

(6)

因?yàn)?x?t=?t?x, 式(6)的等式右側(cè)即

(Lt-Mx+[L，M])h(t,λ)φ(x,λ).

(7)

其中

Lt=-iλ(S·σ)t-iλt(S·σ)，

(8)

式(8)代入式(7)可得

(Lt-Mx+[L,M])h(t,λ)φ(x,λ)=

(-iλ(S·σ)t-Mx+

[L,M])h(t,λ)φ(x,λ)-

iλt(S·σ)h(t,λ)φ(x,λ)=

(-iλ(S·σ)t-Mx+[L,M]-

εQ(S)h(t,λ)φ(x,λ)+(-iλt(S·σ)+

εQ(S))h(t,λ)φ(x,λ).

(9)

基于反散射變換方法，在式(9)中引入了Q(S)=-iλσ·P，而式(9)等式右側(cè)第一項(xiàng)因?yàn)槭?1)而只保留后一項(xiàng).式(6)即為

G(x,λ)h(t,λ)φ(x,λ).

(10)

其中

G(x,λ)=-iλt(S·σ)+εQ(S).

(11)

這樣就確定了含有修正項(xiàng)的Landau-Lifschitz方程含時(shí)間t的Jost解所滿足的Lax方程.

2 以反散射變換為基礎(chǔ)的微擾方法

為了確定散射數(shù)據(jù)隨時(shí)間的演化，考慮邊界情況,當(dāng)x→-∞時(shí)，

?t-M(x,t,λ)=?t-i2λ2(S·σ)，

(12)

(13)

x→-∞時(shí)，S·σ→σ3，在此極限下

(14)

并且,x→-∞時(shí)，

(15)

代入到式(14)得到

(16)

也即

(17)

另外，式(10)是非齊次方程，它的解可以表示為相應(yīng)的齊次方程的線性組合

β(x,λ)φ(x,λ)，

(18)

將式(18)代入到式(10)，且左乘iφ(x,λ)Tσ2并考慮到a(λ)=det(φ(x,λ),ψ(x,λ))即可得到

ax(x,λ)=

ia(λ)-1φ(x,λ)Tσ2G(x,λ)·

h(λ)φ(x,λ).

(19)

同樣，左乘iψ(x,λ)Tσ2得到

βx(x,λ)=

-ia(λ)-1ψ(x,λ)Tσ2G(x,λ)·

h(λ)φ(x,λ).

(20)

分別對(duì)式(19)和式(20)對(duì)x從-∞→x積分，考慮到邊值問(wèn)題得到

a(x,λ)=

φ(y,λ)dy，

(21)

β(x,λ)=

φ(y,λ)dy，

(22)

于是，當(dāng)x→-∞時(shí)，

(23)

與式(17)比較得到

h(λ)at(λ)=β(∞,λ)a(λ)，

(24)

h(λ)(bt(λ)-i4λ2b(λ))=

a(∞,λ)+β(x,λ)b(λ).

(25)

結(jié)合式(24)和式(25)得到

at(λ)=

(26)

bt(λ)-i4λ2b(λ)=

b(λ)ψ(λ))Tσ2G(x,λ)φ(x,λ)dx.

(27)

式(27)即含修正項(xiàng)Landau-Lifschitz方程以反散射方法為基礎(chǔ)的微擾方法的基本方程，也是確定譜參量以及散射數(shù)據(jù)隨時(shí)間演化關(guān)系的關(guān)鍵.對(duì)于λ連續(xù)譜的情況，入射波和散射波有相同的波數(shù)，λ是不依賴于時(shí)間t的，故而λt=0，G(x,λ)=εQ(x).

3 分離譜λn隨時(shí)間的演化

對(duì)于束縛態(tài)，盡管譜參數(shù)λn的值將隨時(shí)間發(fā)生變化，但仍然滿足a(λn)=0，于是φ(x,λn)=bn(t)ψ(x,λn)并且對(duì)于任意的時(shí)間t都是成立的，所以at(λn)=0.這些條件說(shuō)明了微擾項(xiàng)的存在并不改變散射問(wèn)題的束縛態(tài)解，也就是不改變非線性方程的孤子解的形式.式(26)和式(27)的函數(shù)可以解析延拓到復(fù)平面的上半平面，所以在λ→λn時(shí)的極限成立.于是可得

(28)

由于G(x,λn)=-iλnt(S·σ)+εQ(x)是在束縛態(tài)下成立的，連續(xù)譜的情況應(yīng)該滿足G(x,λ)=εQ(x)，代入式(26)可得

(29)

由第一個(gè)Lax方程得到

?xφ(x,λ)=-iλ(S·σ)φ(x,λ)，

(30)

(31)

(32)

將第一個(gè)Lax方程在λ和λn式相減，對(duì)λ取微商，再取λ=λn積分得到

φ(x,λn)dx.

(33)

結(jié)合式(29)得到

(34)

式(34)表明了當(dāng)存在修正項(xiàng)時(shí)譜參數(shù)λn隨時(shí)間的變化規(guī)律.而在ε→0的極限時(shí)，顯然有λnt=0，正是完全各向同性Landau-Lifschitz方程的譜參量隨時(shí)間演化的結(jié)果.

4 bn(t)隨時(shí)間的演化

關(guān)于bn(t)隨時(shí)間的演化問(wèn)題，出發(fā)點(diǎn)是式(25)，Jost解φ(x,t,λ)和ψ(x,t,λ)隨時(shí)間的演化關(guān)系是確定的，因此，它們的比例關(guān)系bn(t)隨時(shí)間的演化關(guān)系也是確定的，類似于式(5)，定義

(?t-M(x,λn))h(λn)-1ψ(x,λn).

(35)

式(25)變換為

h(λn)φ(x,λn)=

h(λn)2bn(t)h(λn)-1ψ(x,λn).

(36)

以算子?t-M(x,λn)作用于式(36)得到

(37)

(38)

因此

βx(x,λn)φ(x,λn)=

G(x,λn)h(λn)φ(x,λn).

(39)

另因a(λn)=φ1(λn)ψ2(λ2)-φ2(λn)ψ1(λn)，

于是

(40)

(41)

將式(41)積分得到

φ(y,λn)dy.

(42)

G(x,λn)h(λn)-1ψ(x,λn).

(43)

如同式(38)的處理方法,

(44)

可得到

γx(x,λn)ψ(x,λn)=

G(x,λn)h(λn)-1ψ(x,λn).

(45)

(46)

積分式(46)得到

ψ(y,λn)dy

(47)

(48)

式(48)即反散射變換方法為基礎(chǔ)的微擾理論的bn(t)隨時(shí)間演化的基本方程.由于，

G(x,λn)=-iλnt(S·σ)+εQ(x)，

且當(dāng)x→∞時(shí)，S·σ=σ3，因此

(49)

由第一個(gè)Lax方程可得

(50)

和

(51)

(52)

對(duì)式(52)從-∞→∞積分，在束縛態(tài)情況下，顯然結(jié)果為零.于是得到

φ(x,λn)dx=0.

(53)

式(48)即可簡(jiǎn)化為

(54)

式(54)當(dāng)ε→0時(shí)不含修正項(xiàng)，也就是完全各向同性時(shí)的結(jié)果.

5 結(jié)論

本文在完全各向同性方程反散射變換所得到的Jost解的基礎(chǔ)上，在建立含修正項(xiàng)的Landau-Lifschitz方程的微擾理論時(shí)，除了推導(dǎo)過(guò)程盡可能的詳盡外，在不引入任何超出通常反散射變換方法的前提假定下，關(guān)于散射數(shù)據(jù)bn(t)對(duì)時(shí)間的演化方程也作了合理的改進(jìn)，并導(dǎo)出了譜參量以及bn(t)隨時(shí)間的具體演化公式.這個(gè)結(jié)論對(duì)于今后利用反散射變換方法處理含修正項(xiàng)的Landau-Lifschitz方程奠定了基礎(chǔ).若代入相應(yīng)的Jost解則可以從Zakharov-Shabat反散射變換方程得到相應(yīng)非線性方程的一級(jí)近似解以及譜參量λ隨時(shí)間的緩慢變化規(guī)律和非線性方程孤子解的形狀變化，也為研究復(fù)雜的非線性方程提供了新的思路.