正交對稱復(fù)合伸縮小波緊框架的構(gòu)造

馮 巖, 薛 瑞，周世璇

(1.信陽師范學(xué)院 計算機(jī)與信息技術(shù)學(xué)院, 河南 信陽 464000;2.對外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué) 金融學(xué)院，北京 100029)

0 引言

小波分析是20世紀(jì)80年代中期發(fā)展起來的用于分析非平穩(wěn)信號的強(qiáng)有力工具，是對傅立葉分析的繼承、總結(jié)和發(fā)展.小波變換不僅能很好地非線性稀疏逼近一維信號,而且能高效地捕捉一維信號的點(diǎn)狀奇異性[1-2].然而在表示高維信號時，它卻不能很好地捕捉高維信號的線狀奇異性[3-5].針對這一不足,眾多研究人員提出了一些新的分析工具,如脊波(ridgelets)[6]、曲波(curvelets)[7]、輪廓波(contourlets)[8]、復(fù)合伸縮小波(composite dilation wavelets)[9]等等.這些變換工具的基本思想是在能最優(yōu)稀疏逼近高維信號的同時，能更好地捕捉高維信號的幾何特征，即它們能有效分析高維信號的局部、尺度、形狀和方向信息.其中，復(fù)合伸縮小波因具有一致處理連續(xù)和離散情形的特點(diǎn)而受到人們青睞.

復(fù)合伸縮小波的概念是由Guo等人引入的[9-11],并發(fā)展了相關(guān)理論.與經(jīng)典小波不同的是復(fù)合伸縮小波變換由兩個不同的變換矩陣來實(shí)現(xiàn)：一個是類似經(jīng)典小波中的尺度矩陣，也稱為拋物矩陣；另一個是方向矩陣,它能描述不同尺度不同方向上的信息.因此,在表示高維信號時,復(fù)合伸縮小波能更準(zhǔn)確地描述高維信號的尺度、方向和位置信息.另一方面，由復(fù)合伸縮小波構(gòu)成的系統(tǒng)也是一種仿射系統(tǒng)，且具有多分辨率(MRA)的性質(zhì)[9].因此，可以設(shè)計出快速分析重構(gòu)算法.

在現(xiàn)實(shí)中存在有大量向量值數(shù)據(jù),如彩色圖像、無線多用戶通訊、數(shù)字化視頻等.為了更有效地處理向量值數(shù)據(jù),Weber在文獻(xiàn)[12]中提出了正交框架的概念.隨后,Bhatt等人在文獻(xiàn)[13]中根據(jù)酉擴(kuò)充原理,由已知的正交加細(xì)函數(shù)及小波,構(gòu)造出了L2(R2)中的正交小波框架，研究了向量值的離散小波變換,并把這種變換應(yīng)用到彩色圖像數(shù)據(jù)處理,取得了較好效果.正交小波框架在函數(shù)空間的刻畫和多通道通信系統(tǒng)等多方面都有著重要的應(yīng)用[12-14].正交小波框架的提出使得對一類向量值數(shù)據(jù)的處理更為簡單[15-16],即可以用一個通道同時處理兩個信號.具有對稱性的小波、小波框架在圖像和信息處理中具有重要作用,使用具有線性相位的濾波器可有效避免圖像失真[2].

Wu等人[17]由已知的復(fù)合伸縮小波構(gòu)造了對稱-反對稱復(fù)合伸縮多小波，Li等人[18]基于仿酉對稱矩陣，由已知的緊小波框架構(gòu)造出了正交對稱的小波緊框架.受文獻(xiàn)[17]和[18]的啟發(fā)，本文將研究L2(Rn)空間中正交對稱復(fù)合伸縮小波緊框架的構(gòu)造.

1 基本知識和相關(guān)結(jié)論

本節(jié)介紹一些基本符號、概念和相關(guān)結(jié)論.R表示實(shí)數(shù)集合，Z表示整數(shù)集合，C表示復(fù)數(shù)集合.L2(Rn)表示Rn上所有平方可積函數(shù)集合.

伸縮矩陣是其特征值的絕對值大于1的矩陣，AT表示矩陣A的共軛轉(zhuǎn)置，矩陣A(z)稱為是仿酉對稱矩陣，如果A(z)AT(z)=I.GLd(C)表示復(fù)數(shù)域上的一般線性群，即行列式不為零的d階矩陣按照矩陣乘法構(gòu)成群，SLd(C)是GLd(C)的子群，且其行列式為1.函數(shù)f∈L2(Rn)的Fourier變換定義為：

這里·表示向量的點(diǎn)乘.

(1)

這里‖f‖2=〈f,f〉,ψl;j,k(·)=dj/2ψl(Mj·-k),d=

復(fù)合伸縮小波系統(tǒng)是一個復(fù)合伸縮仿射系統(tǒng)，具有多分辨率的性質(zhì)，其形式為

AAB(Ψ)={DaDbTkΨ:a∈A,b∈B,k∈Zn},

(2)

基于已知的復(fù)合伸縮小波框架和式(2)定義的對稱-反對稱的函數(shù)，Wu[17]等人構(gòu)造了具有對稱性的復(fù)合伸縮多小波框架.

文獻(xiàn)[9]給出了復(fù)合伸縮小波緊框架的特征.

對所有的函數(shù)f∈D,假設(shè)

文獻(xiàn)[14]和[12]研究了正交框架的一些性質(zhì),并討論了它們在諸如多通道通信系統(tǒng)中的一些應(yīng)用.下面介紹正交框架的概念和性質(zhì).

幾乎處處ξ∈Rn.

和

下面的引理給出了復(fù)合伸縮因子小波緊框架的正交性特征,它可由文獻(xiàn)[12]中定理1.5得到.

2 具有對稱正交復(fù)合伸縮小波框架的構(gòu)造

證明由簡單計算可得

這里,在最后一個等號中用了公式M(e-iξ)M*(e-iξ)=IQ.對幾乎所有的ξ∈R2和γ∈Z2(Z2A),有

在證明過程中,用了條件M(e-iξ)×M*(e-iξ)=IQ.當(dāng)γ∈Z2(Z2A)時,有

證畢.

下面的推論給出了一個由對稱復(fù)合伸縮因子小波緊框架來構(gòu)造對稱正交復(fù)合伸縮因子小波緊框架的方法.

推論1 假設(shè)復(fù)合伸縮系統(tǒng)

3 例子

且令

例2 根據(jù)式(2)定義

這里ψ是經(jīng)典剪切波[3],c是一常數(shù).令

4 結(jié)論

復(fù)合伸縮因子小波不僅能更好地表示高維信號的線狀奇異性，而且是一仿射系統(tǒng)，具有多分辨率的性質(zhì).近年來，具有復(fù)合伸縮因子的小波在圖像壓縮、去噪、邊緣分析與檢測等實(shí)際中得到了廣泛應(yīng)用.正交小波在處理彩色圖像、數(shù)字化視頻、多用戶通道通信系統(tǒng)等應(yīng)用中非常方便.本文研究了具有復(fù)合伸縮因子的正交對稱小波緊框架的構(gòu)造方法，最后給出兩個構(gòu)造算例.