解析Besov型空間

韓金樁，瑛 瑛

(呼倫貝爾學院 數(shù)學科學學院，內(nèi)蒙古 呼倫貝爾 021008)

0 引言

設(shè)D={z∈C:|z|<1}表示單位圓盤，?D={z∈C:|z|=1}表示單位圓盤D的邊界.令H(D)表示D中所有解析函數(shù)組成的集合.

定義1[1]設(shè)0

則稱f屬于Hardy空間Hp，簡記作f∈Hp，其中

定義2 令p>1和ρ:[0,1)→[0,+∞)是一權(quán)函數(shù).若f∈H(D)滿足

則稱f∈Bp(ρ)，其中dA(z)=π-1dxdy是D上規(guī)范化的勒貝格測度.

解析函數(shù)空間Bp(ρ)是Arcozzi、Rochberg和Sawyer引進的[2]，它包含了很多重要的函數(shù)空間.設(shè)ρ(t)=ts,0≤s<∞，則空間Bp(ρ)和Besov型空間Bp(s)是相同的；特別地，如果s=0，則空間Bp(ρ)恰是經(jīng)典的Besov空間Bp.當p=2時，則Bp(ρ)=Ds.關(guān)于Bp(s)空間可參閱文獻[3-5].若權(quán)函數(shù)ρ滿足某些條件，Arcozzi,Rochberg 和Sawyer 利用Carleson測度給出了Bp(ρ)空間的很多結(jié)論[2].Aleman證明了Dρ中每個元素是兩個有界函數(shù)的商[6].參照文獻[7]的考慮，設(shè)ρ:[0,∞)→[0,∞)是右連續(xù)的增函數(shù)且ρ滿足

(1)

和

(2)

若條件(1)和(2)成立，由文獻[7]的引理2.1和2.2，可得ρ有很多優(yōu)美的估計，例如ρ是二階可導的．根據(jù)文獻[7]，本文設(shè)ρ(0)=0，否則Bp(ρ)總是Besov空間Bp.

本文中符號A≈B意味著ABA，其中AB意味著存在一個常數(shù)C使得A≤CB.

1 BMO-型特征

性質(zhì)1 設(shè)不等式(2)成立和1

證明給定一個f∈Bp(ρ)，令0

因為不等式(2)成立，由文獻[7]的引理2.2得，存在一個充分小的c使得t1-c≤ρ(t)，所以

因此得

Mp(r,f-f(0))

故有

證畢．

定義3 若f∈Lp(?D)滿足，

則稱f∈Bp(ρ)(?D).

令

(3)

為f的泊松積分．

引理1[9]設(shè)不等式(1)和(2)成立，則對任意的eit,eiu∈?D，有

定理1 設(shè)不等式(1)和(2)成立，1

定理1的證明類似于文獻[9]中引理3的證明方法，在此省略證明.

推論1 設(shè)不等式(1)和(2)成立，1

受Dyakonov在文獻[10]中所做工作的啟發(fā),給出以下結(jié)論.

定理2 設(shè)不等式(1)和(2)成立，1

(1)f∈Bp(ρ)；

(2)

(3)

證明(1)?(2).令

L1(r)

利用泊松積分公式，

因此，結(jié)合引理1，可得

利用同樣的方法，可得

從而有

這就證明了(1)?(2).

(1)?(3).令

同理，可得

L2(r)

這樣，證明就類似于(1)?(2).

(2)?(1). 由式(3)，經(jīng)簡單計算得

|▽feit)|

因此，

(3)?(1).該證明類似于(2)?(1).證畢.

推論2 設(shè)不等式(1)和(2)成立.令1

(1)f∈Bp(ρ)；

(2)

(3)

推論2的證明方法類似推論1的證明，在此省略證明．

定義4 若I∈H(D)且滿足

|I(eiθ)|=1,a.e.θ∈[0,2π],

則稱I為內(nèi)函數(shù).設(shè)ln|g|∈L1(?D),則稱

為一個外函數(shù)，其中η∈?D．

若函數(shù)f∈Hp,則f可分解成一個內(nèi)函數(shù)和外函數(shù)的乘積.利用文獻[4]的證明方法，易得下面的結(jié)論，在此省略證明.

定理3 設(shè)不等式(1)和(2)成立.令1

(1)f∈Bp(ρ);

(2)I2(|f|)<∞且

2 因式分解

設(shè)X?H1，I是一內(nèi)函數(shù)．若對任意的h∈X，恒有h/I∈X，則稱X具有f-性質(zhì)．

推論3 設(shè)不等式(1)和(2)成立，1

證明結(jié)合定理3和

|f(z)|+f(z)(1-|I(z)|)，

又因為|fI|∈Bp(ρ)(?D)等價于I2(|fI|)<∞，利用基本的不等式，易得結(jié)論.證畢.

利用定理3可以證明，任意一個Bp(ρ)中的函數(shù)可以表示成Bp(ρ)中兩個有界函數(shù)的商.下面的引理可見文獻[6]的引理2.7.

引理2 令(X,μ)是一個概率測度空間，φ∈L1(X,μ)是一個非負函數(shù)且滿足lnφ∈L1(X,μ).令

則E(min(1,φ))≤E(φ),E(max(1,φ))≤E(φ)．

定理4 設(shè)不等式(1)和(2)成立，1

證明設(shè)f∈Bp(ρ)且f≠0(否則定理是顯然的).由于Bp(ρ)?Hp，可以令f=IO，其中I和O分別是內(nèi)函數(shù)和外函數(shù).令

和

容易得到1/O+和O-位于H∞中．顯然O=O+O-.注意到f=IO+O-=IO-/1/O+.設(shè)A=IO-且B=1/O+．下證A,B∈Bp(ρ).令

結(jié)合引理2，得到

E(|O+|,z)≤E(|O|,z),

E(|O-|,z)≤E(|O|,z)．

因此

E(|O|,z)≤

|O(z)|(1-|I(z)|)=

E(|O-|,z)+|O-(z)|(1-I(z))≤

|O(z)|(1-|I(z)|)=

結(jié)合定理3，即可得證．證畢.

3 結(jié)論

運用分析技巧和函數(shù)空間的若干知識，獲得了解析型Besov型空間Bp(ρ)的兩個解析特征，第一是函數(shù)在單位圓周上的積分特征；第二是Bp(ρ)中的函數(shù)可以分解為兩個有界解析函數(shù)的商.