離散p-Laplace系統(tǒng)周期解的存在性

薛艷昉，廖家鋒

(1.信陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 河南 信陽 464000;2.遵義師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院, 貴州 遵義 563002)

0 引言

隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)的應(yīng)用和發(fā)展，差分方程和離散系統(tǒng)的理論研究也越來越受到重視，特別是對(duì)差分方程周期解的研究成果較為豐富(參見文獻(xiàn)[1-9]等).研究的方法主要是不動(dòng)點(diǎn)定理、臨界點(diǎn)理論等，其中文獻(xiàn)[1]在次二次條件下，討論了離散Hamilton系統(tǒng)周期解的存在性；文獻(xiàn)[10]運(yùn)用鞍點(diǎn)定理討論了p-Laplace系統(tǒng)解的存在性；文獻(xiàn)[11]在非線性項(xiàng)有一部分是次線性的條件下，得到了二階Hamilton系統(tǒng)周期解的存在.受文獻(xiàn)[1,10-11]的啟發(fā)，本文考慮離散p-Laplace系統(tǒng)周期解的存在性，所得結(jié)果推廣了文獻(xiàn)[1]中的相關(guān)結(jié)論.

1 預(yù)備知識(shí)

考慮下面的離散p-Laplace系統(tǒng)(差分方程組)：

Δ(φp(Δu(t-1)))+▽F(t,u(t))=0,?t∈Z,

(1)

其中:Δu(t)=u(t+1)-u(t);φp(s)=|s|p-2s,p>1;F:R×RN→R,Z是正整數(shù)集，F(xiàn)(t,x)關(guān)于x是連續(xù)可微的,關(guān)于t是T周期的(T>0);▽F(t,x)表示F(t,x)關(guān)于x的梯度.

定義HT={u:Z→RN,u(t+T)=u(t),t∈Z},則HT為Banach空間，其上的范數(shù)為

及

此處|·|表示RN中通常的范數(shù).對(duì)u∈HT，令

眾所周知，系統(tǒng)(1)的周期解等價(jià)于泛函φ(u)的臨界點(diǎn),下面的定理就是通過臨界點(diǎn)理論,尋找φ(u)的臨界點(diǎn)，從而得到系統(tǒng)(1)的周期解.

2 主要結(jié)果及證明

定理1 假設(shè)F(t,x)滿足

(F1)F(t+T,x)=F(t,x);

(F2) 對(duì)所有t∈Z[1,T],當(dāng)|x|→∞時(shí),有

(F3) 對(duì)所有t∈Z[1,T],當(dāng)|x|→∞時(shí),有

(▽F(t,x),x)-pF(t,x)→-∞,

則系統(tǒng)(1)至少有一個(gè)T周期解.

證明首先說明φ滿足(C)條件,即對(duì)任意序列{uk}?HT,若φ(uk)有界,并且當(dāng)k→∞時(shí),

(1+‖uk‖)·‖φ′(uk)‖→0,

則{uk}有一個(gè)收斂的子列.

假設(shè){uk}?HT,φ(uk)有界,并且當(dāng)k→∞時(shí),

(1+‖uk‖)·‖φ′(uk)‖→0,

則存在M0>0使得

|φ(uk)|≤M0,(1+‖uk‖)·‖φ′(uk)‖≤M0,

從而有

-(p+1)M0≤pφ(uk)-‖uk‖·‖φ′(uk)‖≤

pφ(uk)-〈φ′(uk),uk〉=

則{uk}有界.事實(shí)上,如果{uk}無界,則存在M1>0及{uk}的子序列(仍然用{uk}表示),使得當(dāng)t∈E0時(shí),

|uk(t)|→∞(k→∞)，

其中E0是Z[1,T]的非空子集,Z[1,T]=Z∩[1,T],Z是整數(shù)集.

當(dāng)t∈Z[1,T]-E0時(shí),|uk(t)|≤M1;當(dāng)t∈E0時(shí),由(F3)知，當(dāng)k→∞時(shí),有

(▽F(t,uk(t)),uk(t))-pF(t,uk(t))→-∞.

因?yàn)镕連續(xù)可微,所以當(dāng)t∈Z[1,T]-E0時(shí),存在M2>0,使得

(▽F(t,uk(t)),uk(t))-pF(t,uk(t))≤M2.

綜上可知,當(dāng)k→∞時(shí),對(duì)任意t∈Z[1,T],有

此極限式與已得到的不等式

pF(t,uk(t))),

矛盾.故{uk}有界,作為有限維空間HT中的一個(gè)有界的序列，{uk}有收斂的子列,從而函數(shù)φ滿足(C)條件.由文獻(xiàn)[12]中的鞍點(diǎn)定理,我們只需要驗(yàn)證下面兩個(gè)條件成立:

(I1) 對(duì)任意x∈RN,當(dāng)|x|→∞時(shí),有

φ(x+e(t))→-∞,

φ(u)→+∞.

由條件(F2)和(F3)可得,對(duì)任意t∈Z[1,T],當(dāng)|x|→∞時(shí),有F(t,x)→+∞.

事實(shí)上,由條件(F3)知,對(duì)任意M>0,存在M3>0,使得對(duì)任意t∈Z[1,T],當(dāng)|x|>M3時(shí),

(▽F(t,x),x)-pF(t,x)<-M,

也就是對(duì)任意|sx|>M3,有

(▽F(t,sx),sx)-pF(t,sx)<-M,

從而有

令s>1,對(duì)上述不等式兩端從1到s積分得

在上面的不等式中令s→+∞,再結(jié)合條件(F2)可得,對(duì)任意|x|>M3,有

(2)

由M的任意性即得,當(dāng)|x|→∞時(shí),有

F(t,x)→+∞.

由式(2)得,當(dāng)x∈RN,且|x|>M3+1時(shí),有

由M的任意性即得,對(duì)任意x∈RN,當(dāng)|x|→∞時(shí),有

φ(x+e(t))→-∞.

最后,證φ滿足條件(I2).

由條件(F2)得,對(duì)任意δ>0,存在M4>0,使得對(duì)任意t∈Z[1,T],當(dāng)|x|>M4時(shí),有

F(t,x)≤δ|x|p.

因?yàn)閷?duì)任意t∈Z,F(t,x)關(guān)于x是連續(xù)可微的,所以存在M5>0,使得當(dāng)|x|>M4時(shí),有

|F(t,x)|≤M5,

從而對(duì)任意x∈RN及t∈Z[1,T],有

F(t,x)≤δ|x|p+M5.

(3)

(4)

綜上,由鞍點(diǎn)定理,φ存在臨界點(diǎn)u∈HT,使得

證畢.

定理2 假設(shè)F(t,x)滿足(F1)以及

(F4) 存在常數(shù)C>0,0<μ

(▽F(t,x),x)≤μF(t,x);

(F5) 存在常數(shù)β及t0∈Z[1,T],使得對(duì)任意(t,x)∈Z[1,T]×RN,有F(t,x)≥β,并且當(dāng)|x|→∞時(shí),有F(t0,x)→+∞,則系統(tǒng)(1)至少有一個(gè)T周期解.

證明第一步,說明φ滿足(C)條件.

假設(shè){uk}?HT,φ(uk)有界,并且當(dāng)k→∞時(shí),

(1+‖uk‖)·‖φ′(uk)‖→0,

則存在C1>0使得

|φ(uk)|≤C1,(1+‖uk‖)·‖φ′(uk)‖≤C1.

(5)

由條件(F1),(F4)可得,存在常數(shù)C2,使得

從而

(p+1)C1≥(1+‖uk‖)·‖φ′(uk)‖-pφ(uk)≥

〈φ′(uk),uk〉-pφ(uk)=

因?yàn)?<μ

(6)

由不等式(5)和(6)得

從而存在常數(shù)C4,使得對(duì)任意k∈N,有

|uk(t)|→+∞.

由條件(F5)得

F(t0,uk(t0))+Tβ→+∞(k→∞).

綜上可知,{uk}有界,從而有收斂的子序列,即φ滿足(C)條件.

第二步,證φ滿足(I1).對(duì)任意x∈RN,有

由條件(F5)知,當(dāng)|x|→∞時(shí),有φ(x+e(t))→-∞.

第三步,證φ滿足(I2).

由條件(F4)得,存在C6>0,C7>0,使得

|F(t,x)|≤C6|x|μ+C7.

綜上,由鞍點(diǎn)定理,φ存在臨界點(diǎn)u∈HT,使得

證畢.

3 討論

本文的定理1和定理2分別推廣了文獻(xiàn)[1]中的定理2和定理3.事實(shí)上,令p=2即得文獻(xiàn)[1]中的相關(guān)定理,并且我們的條件(F5)比文獻(xiàn)[1]里面定理3中的條件(F7)要弱.