一類(lèi)病毒動(dòng)力學(xué)模型的全局穩(wěn)定性

鄭麗麗,王 娟

(信陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 河南 信陽(yáng) 464000)

0 引言

近年來(lái)，有關(guān)1型人類(lèi)免疫缺陷病毒(HIV-1)和丙型肝炎病毒(HCV)動(dòng)態(tài)模型的建立與研究備受關(guān)注,并得到了許多很好的結(jié)果[1-3].1型人類(lèi)免疫缺陷病毒感染過(guò)程可以通過(guò)如下簡(jiǎn)單微分方程模型描述[3]:

(1)

其中:T(t),I(t)和V(t)分別表示t時(shí)刻未受感染的靶細(xì)胞、感染HIV病毒的靶細(xì)胞及HIV-1病毒數(shù);s表示新靶細(xì)胞的生成率;d表示未感染的靶細(xì)胞的自然死亡率;δ是受感染的靶細(xì)胞的死亡率;受感染的靶細(xì)胞以比率q生成自由病毒;參數(shù)c表示HIV-1病毒被體內(nèi)免疫系統(tǒng)吞噬的比例.假設(shè)HIV-1感染靶細(xì)胞服從雙線性發(fā)生率,即kT(t)V(t).所有的參數(shù)都是正常數(shù).文獻(xiàn)[4]已證明模型的全局動(dòng)力學(xué)性態(tài)完全由基本再生數(shù)決定.基于系統(tǒng)(1),一些作者研究了具有非線性發(fā)生率的病毒動(dòng)力學(xué)模型[5-7].

文獻(xiàn)[8]討論了以下具有比率依賴接觸率的HIV-1動(dòng)力學(xué)模型：

(2)

文獻(xiàn)[8]中討論了模型(2)解的有界性、平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性及系統(tǒng)的持續(xù)性等，給出了病毒消失或持續(xù)的閾值條件，但沒(méi)有討論感染性平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性.研究免疫系統(tǒng)感染平衡點(diǎn)或傳染病系統(tǒng)的地方病平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性是很有意義的問(wèn)題.本文將討論模型(2)的全局穩(wěn)定性問(wèn)題，給出了系統(tǒng)感染平衡點(diǎn)全局穩(wěn)定的充分條件.

1 系統(tǒng)(2)的全局性分析

直接計(jì)算可得系統(tǒng)(2)的基本再生數(shù)表達(dá)式為

(3)

下面兩個(gè)定理見(jiàn)文獻(xiàn)[8].

定理1 系統(tǒng)(2)的解(T(t),I(t),V(t))是非負(fù)有界的.

定理2 如果R0>1，則系統(tǒng)(2)是持續(xù)的.

本文主要目的是依據(jù)文獻(xiàn)[9-11]中的方法，證明系統(tǒng)感染平衡點(diǎn)E2是全局漸近穩(wěn)定的.特別地，我們將論證系統(tǒng)(2)的全局穩(wěn)定性.

通過(guò)計(jì)算系統(tǒng)(2)的雅可比矩陣，取矩陣H為H=diag(1,-1,1),容易看出系統(tǒng)(2)在凸區(qū)域Ω中,關(guān)于定義在象限{(T,I,V)∈R3:T≥0,I≤0,V≥0}中的偏序是競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng).為了證明我們的結(jié)果，需要以下引理.

引理1[10-11]假設(shè)D是凸有界的且系統(tǒng)

(4)

由引理1和文獻(xiàn)[8]中的定理4,可以得到下面主要結(jié)果.

定理3 假設(shè)：

(H1)R0>1,

和下列兩個(gè)條件中的一個(gè)成立：

則系統(tǒng)(2)的正平衡點(diǎn)E2是全局漸近穩(wěn)定的.

證明假設(shè)ρ(t)=(T(t),I(t),V(t))是系統(tǒng)(2)的周期解,且其軌道γ包含在Ω內(nèi).顯然，由定理1和定理2，對(duì)所有的t≥0,T(t),I(t)和V(t)都是具有下界的有界函數(shù).系統(tǒng)(2)關(guān)于周期軌道γ的雅可比矩陣為：

(5)

這里，

與系統(tǒng)(2)的周期解ρ(t)=(T(t),I(t),V(t))相關(guān)第二個(gè)加性復(fù)合系統(tǒng)為：

(6)

根據(jù)文獻(xiàn)[10]中的定理6.3,定義以下Lyapunov函數(shù)：

L(t)=L(Y1(t),Y2(t),Y3(t),T(t),I(t),V(t))=

(7)

L(Y1,Y2,Y3;T,I,V)≥c1sup{|Y1|,|Y2|+|Y3|}.

(8)

L(t)的右導(dǎo)數(shù)存在，直接計(jì)算得：

D+|Y1(t)|≤-(δ-Q11)|Y1(t)|+

D+|Y2(t)|≤q|Y1(t)|-(c-Q11)|Y2(t)|,

D+|Y3(t)|≤mQ13|Y2(t)|-(δ+c)|Y3(t)|.

因此,我們得到

D+L(t)≤sup{h1(t),h2(t)}L(t),

(9)

其中

重寫(xiě)系統(tǒng)(2)中的后兩個(gè)方程：

從而

(10)

(11)

令ω=min{μ,δ}，由式(10)和(11)得

由式(9)和Gronwall不等式，得L(t)≤L(0)I(t)e-ωt≤L(0)Me-ωt.這意味著L(t)→0，t→+∞.通過(guò)式(8)得

L(Y1(t),Y2(t),Y3(t))→0,t→+∞.

這意味著線性系統(tǒng)(6)是漸近穩(wěn)定的，因此周期解是漸近軌道穩(wěn)定的.根據(jù)引理1，知系統(tǒng)(2)的正平衡點(diǎn)E2是全局漸近穩(wěn)定的.證畢.

定理4 假設(shè)(H1)和(H2)成立.若(H3)不成立，則系統(tǒng)(2)存在軌道漸近穩(wěn)定的周期解.

這里，

2 結(jié)論

進(jìn)一步研究了具有比率依賴接觸率的病毒動(dòng)力學(xué)模型的全局穩(wěn)定性.運(yùn)用競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)的結(jié)果，證明了當(dāng)系統(tǒng)是持久的，而正平衡點(diǎn)不穩(wěn)定時(shí)，存在一個(gè)軌道漸近穩(wěn)定的周期軌道.利用復(fù)合矩陣和周期軌道的穩(wěn)定性,得到了正平衡點(diǎn)全局穩(wěn)定性的充分條件.