一類比例依賴的捕食系統(tǒng)局部能控性及最優(yōu)控制

向會立，王 剛

(1.湖北民族學(xué)院 數(shù)學(xué)系，湖北 恩施 445000；2.河南城建學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，河南 平頂山 467036)

0 引言

為了刻畫生物種群及其之間相互作用的各種動力學(xué)行為，學(xué)者們建立了各種各樣的數(shù)學(xué)模型[1-8].過去幾十年來，動力學(xué)模型的漸近行為始終是生態(tài)學(xué)家們普遍關(guān)注的問題，與此相關(guān)的結(jié)果也比較豐富[2-3,5,7].近年來，關(guān)于生態(tài)模型的控制問題[4]，越來越受到研究者們的關(guān)注，尤其是有限時間內(nèi)的最優(yōu)控制問題.本文基于如下一類比例依賴的捕食模型[2]：

(1)

由于食餌種群的增長率在一定程度上依賴于食物源，這里不妨將食餌投放量作為控制輸入.為此將方程(1)中的a用a+u來替換,從而得到如下控制系統(tǒng)：

(2)

下面將著重討論系統(tǒng)(2)正平衡態(tài)的局部能控性、在給定的優(yōu)化性能指標(biāo)泛函下最優(yōu)控制的存在性及最優(yōu)控制的具體形式.

1 系統(tǒng)正平衡態(tài)的局部能控性

下面研究系統(tǒng)(2)正平衡態(tài)的局部能控性，并給出其局部能控的充分條件.

由文獻(xiàn)[2]，有如下結(jié)論：

證明記

則系統(tǒng)(2)可以簡化為：

(3)

(4)

式(4)可寫為

(5)

其中

進(jìn)而有

rank(BAB)=

顯然，由條件f>d及cd>f(c-ma),易得

rank(BAB)=2,

例1 在系統(tǒng)(2)中取a=0.02，k=50，c=0.03，d=0.01，f=0.05，m=2，得到如下系統(tǒng)：

(6)

直接計算得

cd=0.000 3，f(c-ma)=-0.000 5，

顯然滿足定理1的條件.現(xiàn)將上述系統(tǒng)在平衡點(diǎn)(20,2)及u(t)=0處線性化得：

從而由Kalman 秩條件易知系統(tǒng)(6)在平衡點(diǎn)(20,2)局部能控.

2 系統(tǒng)最優(yōu)控制的存在性及最優(yōu)控制

本節(jié)主要討論系統(tǒng)(2)的最優(yōu)控制問題，根據(jù)現(xiàn)實情形，給定容許控制集

Φ={u∈L1[0,T],0≤u(t)≤b}.

(7)

我們的主要目的是最大化捕食者和食餌種群的密度，同時最小化食餌投放量，為此設(shè)定如下性能指標(biāo)泛

(8)

(9)

引理2[2]系統(tǒng)(2)的非負(fù)解(x(t),y(t))在[0,T]上一致有界.

基于上述結(jié)論，給出本文的第二個主要結(jié)論如下：

證明因為x(t)，y(t)，u(t)均有下界，故

有下界，從而必有下確界，不妨記其為

(10)

由下確界的定義，必存在一個最小化序列(xn,yn,un)使得對于任意的n∈N+有

(11)

而且序列(xn,yn,un)同時滿足方程

(12)

即

且同時成立

從而定理2得證.證畢.

下面我們給出本文的第三個主要結(jié)論：

(13)

終值條件為:

λ1(T)=0,λ2(T)=0.

證明構(gòu)造哈密爾頓泛函如下

H(x,y,u,t)=u(t)-x(t)-y(t)+

由龐德里亞金最小值原理有

注意到

3 結(jié)論

將食餌投放量作為系統(tǒng)的控制量，討論了一類具有比例依賴的食餌-捕食系統(tǒng)的局部能控性及最優(yōu)控制問題.利用Kalman秩條件，得到了系統(tǒng)正平衡態(tài)局部能控性的充分條件，并證明了相應(yīng)的最優(yōu)控制為Bang-Bang 控制.結(jié)果表明系統(tǒng)在平衡態(tài)附近能夠較好地控制和調(diào)節(jié)，而且開關(guān)形式的最優(yōu)控制具有較強(qiáng)的可操作性.