在高中數(shù)學(xué)作業(yè)訂正中“生成”智慧

王維維

作業(yè)是教學(xué)過(guò)程中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，它完成的好壞直接關(guān)系到學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握情況，關(guān)系到教學(xué)質(zhì)量的好壞。同時(shí)作業(yè)與批改是課堂教學(xué)的延續(xù)，是學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)、反饋教與學(xué)的效果、改進(jìn)教與學(xué)的重要手段，更是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和培養(yǎng)學(xué)生良好習(xí)慣的重要平臺(tái)。在我們數(shù)學(xué)教學(xué)中，一部分老師和學(xué)生沒(méi)有對(duì)作業(yè)的批改及訂正引起足夠的重視或停流于形式，沒(méi)有有效的監(jiān)控措施和操作策略，導(dǎo)致訂正效果低效甚至無(wú)效。因此細(xì)化作業(yè)批改，優(yōu)化作業(yè)訂正，在作業(yè)訂正中“生成”智慧，從而發(fā)揮它的最大價(jià)值是老師必須要認(rèn)真研究的課題，筆者從作業(yè)的診斷、強(qiáng)化、激勵(lì)示范3個(gè)方面的功能進(jìn)行實(shí)踐研究。

1.有效發(fā)揮數(shù)學(xué)作業(yè)的診斷功能 ， 能加強(qiáng)教學(xué)的針對(duì)性和實(shí)效性

現(xiàn)代系統(tǒng)科學(xué)的反饋原理指出：任何系統(tǒng)只有通過(guò)反饋信息，才能實(shí)現(xiàn)控制。數(shù)學(xué)教育系統(tǒng)也是如此，診斷方式可從兩方面進(jìn)行研究：

1.1教師批改診斷——析錯(cuò)卡的制作

老師與學(xué)生交流和溝通，除了上課學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的反饋情況外，我覺(jué)得很好的途徑是及時(shí)批改作業(yè)，收集錯(cuò)誤信息。老師在作業(yè)批改過(guò)程中對(duì)于錯(cuò)誤的步驟位置要明確定位，做好記號(hào)，因?yàn)槎ㄎ挥欣诠?jié)省學(xué)生作業(yè)訂正的時(shí)間。我們還要通過(guò)必要的文字語(yǔ)言給學(xué)生以鼓勵(lì)、建議、督促等點(diǎn)評(píng)信息，因?yàn)辄c(diǎn)評(píng)有利于學(xué)生快速的明白錯(cuò)誤的原因。有時(shí)間允許的情況下，還可以選擇性的面批。教師通過(guò)對(duì)學(xué)生錯(cuò)題的分析，可以充分了解學(xué)生原有真實(shí)的想法和他們的知識(shí)基礎(chǔ)與能力水平，可以發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生共通性的典型錯(cuò)誤，總結(jié)學(xué)生答題錯(cuò)誤的規(guī)律，從而制作出“作業(yè)析錯(cuò)卡”。在析錯(cuò)卡中教師將作業(yè)錯(cuò)誤概括為四大類：表征性錯(cuò)誤、知識(shí)性錯(cuò)誤、思維性錯(cuò)誤、習(xí)慣性錯(cuò)誤，然后對(duì)于每大類都結(jié)合實(shí)際案例進(jìn)行了深入、細(xì)仔地分析。如把思維性錯(cuò)誤分為思維品質(zhì)不佳、消極的思維定勢(shì)和負(fù)遷移效應(yīng)，再把思維品質(zhì)不佳又分成思維深刻性、思維的廣闊性、思維的靈活性、思維的嚴(yán)密性、思維的批判性進(jìn)行深入研究。

【案例1】作業(yè)析錯(cuò)卡簡(jiǎn)例

內(nèi)容：高一等差等比期末復(fù)習(xí)作業(yè)

記錄時(shí)間：2014年6月13日

題目：設(shè)Sn和Tn分別為兩個(gè)等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和，若對(duì)任意n∈N，都有，

則 = 。

錯(cuò)例1： —————錯(cuò)因：數(shù)列的項(xiàng)與數(shù)列的和混淆不清，屬知識(shí)性錯(cuò)誤。

針對(duì)性正解： ，即 ，但 。

錯(cuò)例2： ——————錯(cuò)因：把和與和之比直接當(dāng)成了和的通項(xiàng)式，忽略了等差數(shù)列和為關(guān)于n的二次函數(shù)，直接拿n是一次式代入，思維性錯(cuò)誤。

針對(duì)性正解：

因?yàn)椋?/p>

所以=

另解：記 ，

同理 ，

針對(duì)拓展：設(shè)Sn和Tn分別為兩個(gè)等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和，若對(duì)任意n∈N，都有 ，

則 = 。

教師通過(guò)收集學(xué)生的作業(yè)錯(cuò)誤，分析錯(cuò)誤，形成針對(duì)正確解析，同時(shí)還列舉其它解法，且將題目進(jìn)行相應(yīng)的變式拓展，形成一張完整的析錯(cuò)卡，長(zhǎng)期積累將是一筆不小的教學(xué)財(cái)富。所以作業(yè)批改中錯(cuò)題“生成”智慧第一步是教師的工作，即教師批改診斷，要求教師批改一定要認(rèn)真詳細(xì)，肯花時(shí)間。教師只有掌握了關(guān)于錯(cuò)誤的第一手資料，才能對(duì)自己的教學(xué)進(jìn)行有效設(shè)計(jì)，實(shí)際教學(xué)才能切中要害，事半功倍。

1.2學(xué)生自我診斷——糾錯(cuò)本的記載

學(xué)生在作業(yè)訂正之前，腦海中并非一無(wú)所知，對(duì)題目所需的知識(shí)、解題方法已有一定的了解，為此我們需要準(zhǔn)確獲取作業(yè)訂正之前的“最近發(fā)展區(qū)”，來(lái)增強(qiáng)作業(yè)訂正的針對(duì)性、有效性。所以作業(yè)訂正應(yīng)建立在第一次做題的基礎(chǔ)之上，第一次作業(yè)有錯(cuò)誤，并不是所有的都是錯(cuò)的，錯(cuò)誤可能只是一小部分，即使錯(cuò)誤面很大，一定也會(huì)有可取的地方，有價(jià)值的地方，關(guān)鍵在于取其精華。不能孤立的去訂正，訂正一定要吸取前面的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)。

學(xué)生拿到作業(yè)后首先要查看老師的批改記號(hào)與點(diǎn)評(píng)，結(jié)合老師的點(diǎn)評(píng)分析自己所掌握的知識(shí)是否正確、完整。如概念的理解是否準(zhǔn)確，定理的表述是否規(guī)范、公式的記憶是否清楚等，解題方法、技能掌握是否到位。如配方法的要領(lǐng)是什么？分離參數(shù)要注意什么？用向量法處理立體幾何問(wèn)題應(yīng)怎樣建坐標(biāo)系？怎樣求點(diǎn)的坐標(biāo)？怎樣設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)等等。然后根據(jù)具體情況再次回顧第一次解題的過(guò)程，應(yīng)根據(jù)出現(xiàn)的錯(cuò)誤，重新審題列出的條件、問(wèn)題清單，重新評(píng)估自己的解題思路、選擇的解題方法，再次形成最合理的算法與算理。在訂正過(guò)程中，學(xué)生要認(rèn)真地總結(jié)錯(cuò)誤原因，確保以后不再犯同樣的錯(cuò)誤，所以在訂正過(guò)程中對(duì)錯(cuò)誤的原因要進(jìn)行分析，明確錯(cuò)誤之所在，同時(shí)對(duì)于一些錯(cuò)誤的、不完整的知識(shí)、方法、技能要進(jìn)行再次的學(xué)習(xí)。

【案例2】對(duì)“函數(shù)的值域與函數(shù)值變化范圍”的概念混淆不清

題目：函數(shù)y=2x2+（2m-3）x+3-2m（x∈R）的值域?yàn)閇0，+∞]，求m的取值范圍.

典型錯(cuò)解：∵函數(shù)的值域?yàn)閇0，+∞]，定義域x∈R

∴y≥0對(duì)于x∈R恒成立，

故△=（2m-3）2-8（3-2m）≤0

即（2m-3）（2m-5）≤0 ∴

所以的取值范圍為 。

（學(xué)生）錯(cuò)因分析：將函數(shù)的值域與函數(shù)值的變化范圍混淆。故辨析下列兩題進(jìn)行比較：

（1）函數(shù)y=2x2+（2m-3）x+3-2m（x∈R）的值域?yàn)閇0，+∞]，求m的取值范圍.

（2）函數(shù)y=2x2+（2m-3）x+3-2m（x∈R）的取值為非負(fù)，求m的取值范圍.

學(xué)生在完成錯(cuò)題自我剖析后，進(jìn)行作業(yè)的書面訂正，并能對(duì)照以前出現(xiàn)過(guò)的相對(duì)或相似題進(jìn)行辨析， 做到真正的自我診斷。日積月累，學(xué)生的糾錯(cuò)集中的錯(cuò)題資源就越豐富，這是作業(yè)訂正中生成“美麗”的第二步。

2.有效發(fā)揮數(shù)學(xué)作業(yè)的強(qiáng)化功能，能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力與解題能力

學(xué)生的有些錯(cuò)誤往往具有頑固性和反復(fù)性，因?yàn)樗鼈兩钌钭ジ趯W(xué)生豐富的生活經(jīng)驗(yàn)和習(xí)慣系統(tǒng)中。學(xué)生經(jīng)學(xué)習(xí)理解了一些數(shù)學(xué)概念和規(guī)律，過(guò)了一段時(shí)間再遇到類似的問(wèn)題時(shí)，受到先入錯(cuò)誤的影響又會(huì)對(duì)該概念產(chǎn)生糊涂的認(rèn)識(shí)。因此，在教學(xué)中教師要做好對(duì)一些典型的、根系發(fā)達(dá)的錯(cuò)誤的跟蹤，對(duì)錯(cuò)誤類型進(jìn)行歸納和整理，加強(qiáng)對(duì)易錯(cuò)題的作業(yè)再布置或強(qiáng)化。

【案例3】找到根源，絕地反擊

題目：若正實(shí)數(shù)x，y滿足x+3y=5xy，求3x+4y的最小值。

典型錯(cuò)解：∵x+3y=5xy≥2√3xy 即√xy≥

∴3x+3y≥4√3xy ∴（3x+4y）min=

忽略等號(hào)成立的條件，更有甚者，不等號(hào)成立的條件都可能發(fā)生改變。筆者在課堂教學(xué)中專門就此題設(shè)置了一堂習(xí)題課來(lái)解決此類問(wèn)題。首先老師對(duì)上題學(xué)生的幾種做法作了詳細(xì)講解：

方法一：變成和為定值，因?yàn)閤+3y=5xy，所以 =5（x>0，y>0）

（基本不等式）

或者也可用柯西不等式。

方法二：消元，使目標(biāo)變?yōu)橐辉瘮?shù)。

設(shè) ，轉(zhuǎn)化成函數(shù)之后，再求最值。要求最值采用常見(jiàn)的導(dǎo)數(shù)法，當(dāng)然也可用于基本不等式法，判別式法，給足學(xué)生充分的思考時(shí)間和做題時(shí)間。

【鞏固拓展】

1.若正數(shù)x，y滿足2x+y-3=0，求 的最小值。

2.在扇形OAB中，∠AOB=60°，C為弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若 ，求x+3y的取值范圍？

其中，拓展1采用解法一的形式較快可以解出，而拓展2看似和上題沒(méi)啥聯(lián)系，但稍加分析：C為弧AB上的動(dòng)點(diǎn)， 顯然x，y∈[0，1]。

兩邊平方：得x2+xy+y2=1

（此式難用解法一完成，考慮方法二）

消元y，∵x2+xy+y2-1=0，顯然△=4-3x2>0

∵x2+xy+y2-1=0，顯然△=4-3x2>0

得：

接下來(lái)此題適合用導(dǎo)數(shù)來(lái)求最值，判別式法和基本不等式法較困難。

老師通過(guò)一道作業(yè)題，根據(jù)條件和結(jié)論間的關(guān)系，多角度聯(lián)系，全方位探究，就可以得到多種解法，從而將整個(gè)最值問(wèn)題鏈接起來(lái)，訓(xùn)練了學(xué)生思維的廣闊性、靈活性和深刻性，能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力與解題能力，這是作業(yè)訂正，生成“智慧”的升華。

3.有效發(fā)揮數(shù)學(xué)作業(yè)的示范激勵(lì)功能， 能提高學(xué)生解題的準(zhǔn)確性和規(guī)范性

在行為科學(xué)中所謂激勵(lì)的含義，主要是指激發(fā)人的動(dòng)機(jī)，使人有一般內(nèi)在的動(dòng)力，朝所期望的目標(biāo)前進(jìn)的心理活動(dòng)過(guò)程。心理學(xué)的研究指出，學(xué)生學(xué)習(xí)主要是為了成就而不是為了某種報(bào)酬，因此成就動(dòng)機(jī)在學(xué)習(xí)中有重要的作用。成就動(dòng)機(jī)主要由三方面的需要組成：認(rèn)知的需要，自我提高的需要，附屬的需要。對(duì)學(xué)生而言，自我需要占據(jù)重要地位。作業(yè)評(píng)價(jià)給予學(xué)生的表?yè)P(yáng)、等次，能滿足自我提高的需要。批改作業(yè)時(shí)教師如果只是單純的錯(cuò)誤打叉或給個(gè)大大的問(wèn)號(hào)，或只寫個(gè)“閱”字，會(huì)讓學(xué)生感覺(jué)信心倍受打擊，尤其是一些復(fù)雜難度系數(shù)較高的題目，學(xué)生花了很長(zhǎng)時(shí)間思考的，只看結(jié)果正確與否而打叉打鉤的很有可能引起學(xué)生的反感。教師在批改時(shí)最好仔細(xì)看清學(xué)生作業(yè)的過(guò)程，對(duì)正確的步驟給予肯定，錯(cuò)誤的作出記號(hào)，并根據(jù)作業(yè)整體情況給出等級(jí)評(píng)定，或給予個(gè)性化的批語(yǔ)，激勵(lì)他們形成積極向上的學(xué)習(xí)態(tài)勢(shì)，保持學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望和進(jìn)取心。同時(shí)老師將一些優(yōu)秀的作業(yè)展示給學(xué)生，這些作業(yè)往往字跡清楚，格式規(guī)范，步驟清晰準(zhǔn)確或有一些獨(dú)特的見(jiàn)解和想法，能給學(xué)生一種很好的示范作用。學(xué)生不僅可以參看正確的解題答案，還可以規(guī)范自己的作業(yè)步驟和格式，或拓寬思維，吸收其它方法思路。同時(shí)也可以提高學(xué)生的積極性，作業(yè)展示也是個(gè)人被其他學(xué)生和教師肯定的一種途徑。

著名教育家葉圣陶曾經(jīng)說(shuō)過(guò)一句話作為本文的結(jié)尾：“什么是教育？簡(jiǎn)單一句話，就是養(yǎng)成習(xí)慣。好的習(xí)慣一旦養(yǎng)成，不但學(xué)習(xí)效率會(huì)提高，而且會(huì)使他們終身受益?！?學(xué)生通過(guò)作業(yè)訂正能認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)錯(cuò)題對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響，降低做題的重錯(cuò)率，切實(shí)提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，對(duì)知識(shí)、題目真正做到舉一反三、融會(huì)貫通。教師細(xì)化作業(yè)的批改，探索作業(yè)評(píng)價(jià)的多樣性，摸索出科學(xué)有效的數(shù)學(xué)作業(yè)有效訂正的方法，搜集、合理地利用學(xué)生的錯(cuò)誤資源，切實(shí)提高數(shù)學(xué)作業(yè)訂正的有效性。同時(shí)教師收集并研究學(xué)生作業(yè)的信息，客觀評(píng)價(jià)自己教學(xué)的信息，判斷自己教學(xué)中的薄弱環(huán)節(jié)。教師根據(jù)析錯(cuò)卡，及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略，實(shí)現(xiàn)自我提升，快速提高自己的教學(xué)水平。