行程問題大解析

宋元山

行程問題是指與路程、速度、時間這三個量有關(guān)的問題.解決行程問題的核心思路是找出題目中的等量關(guān)系，從而列出方程或方程組進(jìn)行解答.因為行程問題可以融入多種知識的練習(xí)，熟悉了這類問題，在其他類型的應(yīng)用題面前也會得心應(yīng)手.下面我們將行程問題歸類，由易到難，逐步剖析.

首先必須明確的是，行程問題的基本公式有：

路程=速度×?xí)r間；

速度=路程÷時間；

時間=路程÷速度.

無論是列方程還是方程組，根本上都要從這三個公式中去尋找等量關(guān)系.

一、單人單程

例1：甲，乙兩城市間的鐵路經(jīng)過技術(shù)改造后，列車在兩城市間的運行速度從80km/h提高到100km/h，運行時間縮短了3h.甲，乙兩城市間的路程是多少？

【分析】如果設(shè)甲，乙兩城市間的路程為xkm，那么列車在兩城市間提速前的運行時間為[x ]h，提速后的運行時間為[x ]h.

【等量關(guān)系式】提速前的運行時間-提速后的運行時間=縮短的時間.

【列出方程】 [x ]-[x ]=3

例2：某鐵路橋長1000m，現(xiàn)有一列火車從橋上通過，測得該火車從開始上橋到完全過橋共用了1min，整列火車完全在橋上的時間共40s.求這列火車的速度和長度.

【分析】如果設(shè)火車的速度為xm/s，火車的長度為ym，用線段表示大橋和火車的長度，根據(jù)題意可畫出如下示意圖：

【等量關(guān)系式】火車1min（60s）行駛的路程=橋長+火車長

火車40s行駛的路程=橋長-火車長

【列出方程組】 60x=1000+y

40x=1000-y

【舉一反三①】

1.徐州至上海的鐵路里程為650km，從徐州乘列車A，列車B都可直達(dá)上海，已知列車A的速度為列車B的2倍，且行駛的時間比列車B少2.5h.求列車A的速度及其從徐州到上海的行駛時間.

（提示：同學(xué)們可能會認(rèn)為這道題是雙人行程問題，其實這道題的類型可歸結(jié)為例1的類型，即把列車B的速度看成是列車A提速后的速度，是不是就可看成單人單程的問題？）

2.一列勻速前進(jìn)的火車用15秒的時間通過了一個長300米的隧道（即從車頭進(jìn)入隧道到車尾離開隧道）.又知在隧道頂部有一盞固定的燈，發(fā)出一束光垂直照射火車時間為2.5秒（光速=3×108m/s）.

（1）求這列火車的長度；

（2）如果這列火車用25秒的時間通過了另一個隧道，求這個隧道的長.

二、單人雙程

單人雙程問題的解題關(guān)鍵是弄清楚等量關(guān)系式：來時的路程=回時的路程.

例3：某校組織學(xué)生乘汽車去自然保護(hù)區(qū)野營，汽車先以60km/h的速度走平路，后又以30km/h的速度爬坡，到達(dá)目的地總共用了5.6h；返回時汽車以40km/h的速度下坡，又以50km/h的速度走平路，到達(dá)目的地總共用了6h.請問學(xué)校距自然保護(hù)區(qū)有多遠(yuǎn)？

【分析】如果設(shè)學(xué)校距自然保護(hù)區(qū)為xkm，由題目條件“去時用了5.6h”有些同學(xué)會認(rèn)為總的速度為[x ]km/h，然后用去時走平路的速度+去時爬坡的速度=總的速度，得出方程60+30=[x ].這種解法是錯誤的，因為速度是不能相加的.而時間是可以相加的，所以應(yīng)該設(shè)平路的長度為xkm，坡路的長度為ykm，則去時走平路用了[x ]h，去時爬坡用了[y ]h，去時總共用了5.6h；回來時汽車下坡用了[y ]h，回來時走平路用了[x ]h，回來時總共用了6h.解出x和y后，學(xué)校到自然保護(hù)區(qū)的距離為（x+y）km

【等量關(guān)系式】去時走平路用的時間+去時爬坡用的時間=去時用的總時間

回來時走平路用的時間+回來時爬坡用的時間=回來時用的總時間

【列出方程組】 [x ]+[y ]=6.5

[x ]+[y ]=6

三、雙人行程

1.單獨應(yīng)用：只應(yīng)用同向而行、背向而行、相向而行、追擊問題中的一種類型.

1.1同時同地同向而行：A，B兩事物同時同地沿同一個方向行進(jìn).

例4：甲車的速度為60km/h，乙車的速度為80km/h，兩車同時同地出發(fā)，同向而行.經(jīng)過多少時間后兩車相距280km.

【分析】如果設(shè)經(jīng)過xh后兩車相距280km，則甲車走的路程為60xkm，乙車走的路程為80xkm，根據(jù)題意可畫出如下示意圖：

【等量關(guān)系式】甲車行駛的距離+280=乙車行駛的距離

【列出方程】60x+280=80x

1.2同時同地背向而行：A，B兩事物同時同地沿相反方向行進(jìn).

例5：甲車的速度為60km/h，乙車的速度為80km/h，兩車同時同地出發(fā)，背向而行.經(jīng)過多少時間兩車相距280km？

【分析】如果設(shè)經(jīng)過xh后兩車相距280km，則甲車走的路程為60xkm，乙車走的路程為80xkm，根據(jù)題意可畫出如下示意圖：

【等量關(guān)系式】甲車行駛的距離+乙車行駛的距離=280

【列出方程】60x+80x=280

1.3同時相向而行（相遇問題）.

例6：甲，乙兩人從相距10km的A，B兩地同時出發(fā)，相向而行，乙的速度是甲的速度的2倍，兩人出發(fā)1.5h后相遇，求甲，乙兩人的速度。

【分析】如果設(shè)甲的速度為xkm/h，則乙的速度為2xkm/h，甲走過的路程為1.5xkm，乙走過的路程為2×1.5xkm，根據(jù)題意可畫出如下示意圖：

【等量關(guān)系式】甲行走的距離+乙行走的距離=10

【列出方程】1.5x+2×1.5x=10

1.4追及問題.

例7：一隊學(xué)生從學(xué)校步行去博物館，他們以5km/h的速度行進(jìn)24min后，一名教師騎自行車以15km/h的速度按同樣的路線追趕學(xué)生隊伍.這名教師從出發(fā)到追上學(xué)生隊伍共用了多少時間？

【分析】如果設(shè)這名教師從出發(fā)到追上學(xué)生隊伍共用了xh，則該教師走過的路程為15xkm，學(xué)生走過的路程為教師出發(fā)前走過的路程加上教師出發(fā)后走過的路程，而學(xué)生在教師出發(fā)前走過的路程為5xkm，學(xué)生在教師出發(fā)后走過的路程為5xkm，又由于教師走過的路程等于學(xué)生走過的路程.根據(jù)題意可畫出如下示意圖：

【等量關(guān)系式】教師走過的路程=學(xué)生在教師出發(fā)前走過的路程+學(xué)生在教師出發(fā)后走過的路程

【列出方程】15x=5×[ ]+5x

1.5同地同向不同時而行（與追擊問題相似）.

例8：甲，乙兩人都從A地出發(fā)到B地，甲出發(fā)1h后乙才從A地出發(fā)；乙出發(fā)3h后，甲，乙兩人同時到達(dá)B地.已知乙的速度為50km/h，甲的速度為多少？

【分析】如果設(shè)甲的速度為xkm/h，則乙出發(fā)前甲走過的路程為xkm，乙出發(fā)后甲走過的路程為3xkm，甲走過的路程等于乙出發(fā)前甲走過的路程加上乙出發(fā)后甲走過的路程，而乙走過的路程為50×3km，甲走過的路程等于乙走過的路程.根據(jù)題意可畫出如下示意圖：

【等量關(guān)系式】乙走過的路程=乙出發(fā)前甲走過的路程+乙出發(fā)后甲走過的路程

【列出方程】50×3=x+3x

1.6不同時相向而行

例9：甲，乙兩站相距448km，一列慢車從甲站出發(fā)，速度為60km/h；一列快車從乙站出發(fā)，速度為100km/h。兩車相向而行，慢車先出發(fā)32min，快車開出后多少時間兩車相遇？

【分析】如果設(shè)快車開出后xh兩車相遇，則慢車走過的路程為60×[ ]+60xkm，快車走過的路程為100xkm.根據(jù)題意可畫出如下示意圖：

【等量關(guān)系式】總路程=快車出發(fā)前慢車走過的路程+快車出發(fā)后慢車走過的路程+快車走過的路程

【列出方程】448=60x+60x+100x

注：涉及此類問題的還有同時同向不同地而行、不同時不同地背向而行、不同時不同地同向而行等情況，與例9的解法類似，只要畫出示意圖問題就會迎刃而解.

2.結(jié)合應(yīng)用：把同向而行、背向而行、相向而行、追及問題兩兩結(jié)合起來應(yīng)用.

2.1相向而行+背向而行

例10：A，B兩地相距36km，小明從A地騎自行車到B地，小麗從B地騎自行車到A地，兩人同時出發(fā)相向而行，經(jīng)過1h后兩人相遇；再過0.5h，小明余下的路程是小麗余下的路程的2倍。小明和小麗騎車的速度各是多少？

【分析】如果設(shè)小明騎車的速度為x，小麗騎車的速度為y，則相遇前小明走過的路程為x，小麗走過的路程為y；相遇后兩人背向而行，小明走過的路程為0.5x，小麗走過的路程為0.5y。根據(jù)題意可畫出如下示意圖：

【等量關(guān)系式】相遇前小明走過的路程+相遇前小麗走過的路程=總路程

相遇后小明余下的路程=2×相遇后小麗余下的路程

【列出方程組】 x+y=36

y-0.5x=2×（x-0.5y）

2.2同向而行+相向而行

例11：一個自行車隊進(jìn)行訓(xùn)練，訓(xùn)練時所有隊員都以35千米/時的速度前進(jìn)，突然，1號隊員以45千米/時的速度獨自行進(jìn)，行進(jìn)10千米后掉轉(zhuǎn)車頭，仍以45千米/時的速度往回騎，直到與其他隊員會合.1號隊員從離隊開始到與其他隊員重新會合，經(jīng)過了多長時間？

【分析】由題意“1號隊員以45千米/時的速度獨自行進(jìn)，行進(jìn)10千米后掉轉(zhuǎn)車頭”可知1號隊員從離隊到調(diào)轉(zhuǎn)車頭前的時間為[ ]h，不妨設(shè)1號隊員從調(diào)轉(zhuǎn)車頭到與其他隊員重新會合的時間為xh.根據(jù)題意可畫出如下示意圖：

【等量關(guān)系式】1號隊員從離隊到調(diào)轉(zhuǎn)車頭這段時間其他隊員走的路程+1號隊員從調(diào)轉(zhuǎn)車頭到與其他隊員重新會合這段時間內(nèi)其他隊員走的路程+1號隊員從調(diào)轉(zhuǎn)車頭到與其他隊員重新會合這段時間內(nèi)1號隊員走的路程=10.

【列出方程】35×[ ]+35x+45x=10

【舉一反三②】

1.甲，乙兩人從樓底爬樓梯到樓頂，甲平均每分鐘爬樓梯40級，乙平均每分鐘爬樓梯50級，甲先出發(fā)2min，結(jié)果兩人同時到達(dá)樓頂.問從樓底到樓頂共有樓梯多少級？

2.小彬和小明每天早晨堅持跑步，小彬每秒跑4米，小明每秒跑6米，

（1）如果他們站在百米跑道的兩端同時相向起跑，那么幾秒后兩人相遇？

（2）如果小明站在百米跑道的起點處，小彬站在他前面10米處，兩人同時同向起跑，幾秒后小明能追上小彬？

四、行程問題中的工程問題

這類問題乍一看，條件中只有時間已知，速度、路程都未知，做起來覺得無從下手，但其實只要把路程看做單位“1”，把行程問題轉(zhuǎn)化為工程問題，就可以解決了.

例12：甲開汽車從B地到B地需要6h，乙開汽車從A地到B地需要4h，如果甲，乙兩人分別從A，B兩地出發(fā)，相向而行，經(jīng)過多少小時后兩車相遇.

【分析】題目中只有時間已知，速度、路程都未知，有些同學(xué)會想如果知道A地與B地的距離就好了，就可以得出甲與乙的速度，那么問題就能迎刃而解了，可是路程未知，怎么辦呢？如果不是題目有錯，那么是不是無論路程取什么值，經(jīng)過相同的時間兩車總會相遇呢？我們來試算看看。設(shè)A地與B地的距離為a，經(jīng)過xh后兩車相遇，立刻得出關(guān)系式：[a ]×x+[a ]×x=a，可以把方程兩邊的a消去，得到方程[x ]+[x ]=1，解得x=[ ].說明路程無論取什么值，兩車經(jīng)過相同的時間總會相遇.因此遇到類似問題，我們往往把路程看做單位“1”來進(jìn)行解答.

【舉一反三③】

1.甲從A地到B地需要3h，乙從A地到B地需要4h，甲，乙兩人同時從A地出發(fā)，甲先到達(dá)B地后掉頭向A方向行駛。問：甲，乙兩人從A地同時出發(fā)到兩人相遇需要多長時間？

2.甲開汽車從A地到B地需2h，乙騎摩托車從B地到A地需3h.如果乙騎摩托車從B地出發(fā)往A地，1h后甲開汽車從A地往B地，那么甲出發(fā)多少時間后與乙相遇？

五、環(huán)形跑道問題

環(huán)形跑道問題也是行程問題的一種，這類問題其實就是閉合路線上的追及問題.這類問題的特殊性在于，速度慢的人也有可能“追”上速度快的人.在這類問題中，若兩人同時同地出發(fā)，同向而行，第一次相遇時，兩人所走路程差為跑道一周長（若兩人不同地出發(fā)，速度快的人在前，速度慢的人在后，兩人第一次相遇時所走路程差，為跑道一周長減去兩人最初的距離；若速度慢的人在前，解法同一般追及問題）；若兩人相向而行，第一次相遇時，兩人所走路程和為跑道一周長.

例13：運動場跑道周長400m，小紅跑步的速度是爺爺?shù)腫 ]倍，他們從同一地點沿跑道的同一方向同時出發(fā)，5min后小紅第一次與爺爺相遇.你知道他們的跑步速度嗎？再過5min兩人會第二次相遇嗎？如果不會，請說明理由；如果會，也請說明理由。

【分析】設(shè)爺爺?shù)呐懿剿俣葹閤m/min，則小紅的跑步速度為[ ]xm/min，

【等量關(guān)系式】小紅跑的路程-爺爺跑的路程=400m

【列出方程】5×[ ]x-5x=400

小紅和爺爺?shù)谝淮蜗嘤龊笤俪霭l(fā)，問題又回到了最開始兩人同時同地同向出發(fā)的情況，在速度不變的情況下，5min后兩人還會再次相遇.

例14：甲，乙兩車分別用均勻的速度在周長為600m的圓形軌道上運動，甲車的速度較快.當(dāng)兩車反向運動時，每15s相遇一次.當(dāng)兩車同向運動時，每1min相遇一次.求兩車的速度.

【分析】設(shè)甲，乙兩車的速度分別為xm/s和ym/s.

【等量關(guān)系式】同向而行甲所走的路程-同向而行乙所走的路程=軌道一周長

反向而行甲所走的路程+反向而行乙所走的路程=軌道一周長

【列出方程組】 15x+15y=600

60x-60y=600

【舉一反三④】

甲，乙兩人在周長400m長的環(huán)形跑道上競走，已知乙的速度是80m/min，甲的速度是乙的1.25倍，甲在乙前100m.問多少分鐘后，兩人第一次相遇？

六、水流問題

一般是研究船在流水中航行的問題.這是行程問題中比較特殊的一種類型，特點主要是考慮水速在逆行和順行中的不同作用.這類問題的基本概念和公式如下.

船速：船在靜水中航行的速度 水速：水流動的速度

順?biāo)俣龋捍樍骱叫械乃俣?逆水速度：船逆流航行的速度

順?biāo)?船速+水速 逆速=船速-水速

船速=（順?biāo)俣?逆流速度）÷2 水速=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2

路程=順流速度×順流航行所需時間 路程=逆流速度×逆流航行所需時間

例15：某船在長80km的航道上航行，順流航行需1.6h，逆流航行需2h.求船在靜水中航行的速度和水流的速度.

【分析】設(shè)船在靜水中航行的速度和水流的速度分別為x和y，順流的速度為[ ]km/h，逆流的速度為[ ]km/h，再利用上面的公式找出等量關(guān)系.

【等量關(guān)系式】順?biāo)?船速+水速

逆速=船速-水速

【列出方程組】 x+y=[ ]

x-y=[ ]

例16：甲，乙兩艘貨船，甲船在前30千米處逆水而行，乙船在后追趕.甲乙兩船的靜水速度分別是36千米/小時和42千米/小時，水流速度是4千米/小時，求：甲船行多少時間被乙船追上？

【分析】已知甲乙兩船的靜水速度和水流速度，可以分別求出甲乙兩船的逆水速度，分別為32千米/小時和38千米/小時.設(shè)甲船行x小時后被乙船追上，再根據(jù)公式“路程=逆流速度×逆流航行所需時間”，則甲行駛的路程為32x千米，乙行駛的路程為38x千米，就可以把此問題轉(zhuǎn)化為追擊問題.

【等量關(guān)系式】甲行駛的路程+30=乙行駛的路程

【列出方程】32x+30=38x

參考答案：

【舉一反三①】1.A車的速度是260km/h，時間為2.5h 2.（1）火車長60米 （2）隧道長540米（注：此題條件中的光速為干擾條件） 【舉一反三②】1.400級 2.（1）10秒 （2）5秒

【舉一反三③】1.[ ]h 2.0.8h 【舉一反三④】15分鐘