灰色-權(quán)馬爾可夫的地區(qū)航空貨運量預(yù)測

潘開靈，尤佳瀅，賈向南

（武漢科技大學(xué) 管理學(xué)院，湖北 武漢 430080）

灰色-權(quán)馬爾可夫的地區(qū)航空貨運量預(yù)測

潘開靈，尤佳瀅，賈向南

（武漢科技大學(xué) 管理學(xué)院，湖北 武漢 430080）

建立了航空貨運量的灰色-權(quán)馬爾可夫預(yù)測模型，以灰色GM（1，1）對航空貨運量進行預(yù)測，并根據(jù)歷史數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果劃分出馬爾可夫狀態(tài)，再以權(quán)馬爾可夫鏈進行短期狀態(tài)預(yù)測，進一步修正灰色預(yù)測結(jié)果。實例結(jié)果顯示，該模型較灰色GM（1，1）預(yù)測準確性更高，能反映出航空貨運量的隨機波動，適合于地區(qū)航空貨運量的預(yù)測。

灰色預(yù)測；馬爾可夫；航空貨運量；預(yù)測

1 引言

航空運輸系統(tǒng)是社會經(jīng)濟系統(tǒng)的子系統(tǒng)，不僅受到外部經(jīng)濟因素的影響，亦對經(jīng)濟社會起促進作用。影響航空運輸?shù)囊蛩胤倍?，取決于經(jīng)濟發(fā)展水平、對外經(jīng)貿(mào)聯(lián)系程度以及旅游業(yè)的發(fā)展等眾多條件，且受地區(qū)經(jīng)濟的影響明顯[1]。表現(xiàn)在地區(qū)航空貨運量上，呈現(xiàn)出明顯的波動特征（如圖1所示），進行預(yù)測時有顯著的不確定性。但就全國范圍的預(yù)測而言，航空貨運量與國家整體經(jīng)濟運行有關(guān)，其時間序列表現(xiàn)出明顯的趨勢性，不確定性較小。

圖1 武漢市航空貨運量

目前，貨運量的定量預(yù)測方法有時間序列分析法、回歸預(yù)測法及灰色預(yù)測法等[2]。時間序列分析根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，以時間作為自變量進行預(yù)測，割裂了航空貨運量與經(jīng)濟社會因素的內(nèi)在作用；回歸預(yù)測需要大量的歷史數(shù)據(jù)，而地區(qū)航空貨運量數(shù)據(jù)量較少且呈現(xiàn)出某種趨勢性的非平穩(wěn)序列，因此，回歸預(yù)測多用于全國貨運量的預(yù)測；影響航空貨運量的因素其中很多滿足灰色系統(tǒng)要求，且數(shù)據(jù)多為時間序列，只需收集較少的歷史數(shù)據(jù)，就能預(yù)測出精度較高的短期數(shù)據(jù)，但由于灰色預(yù)測采用了累加生成列，對長期預(yù)測呈現(xiàn)一定的指數(shù)規(guī)律且對隨機波動性較大的數(shù)據(jù)數(shù)列擬合結(jié)果較差。采用灰色-馬爾可夫模型進行預(yù)測，雖然結(jié)合了灰色預(yù)測和馬爾可夫預(yù)測的優(yōu)點，但通常都只考慮了單步距的概率轉(zhuǎn)移矩陣，忽視了前面若干年與預(yù)測期之間的相互關(guān)系[3-4]。

因此，本文以灰色預(yù)測對航空貨運量進行短期預(yù)測，并針對地區(qū)航空貨運量可能出現(xiàn)的波動狀態(tài)，運用多步距的加權(quán)馬爾可夫鏈對狀態(tài)間的轉(zhuǎn)移規(guī)律進行預(yù)測，對灰色預(yù)測結(jié)果做出修正。

2 灰色-權(quán)馬爾可夫預(yù)測模型

2.1 灰色-權(quán)馬爾可夫預(yù)測思路

灰色-權(quán)馬爾可夫預(yù)測思路如圖2所示。

圖2 灰色-權(quán)馬爾可夫預(yù)測思路

我國地區(qū)航空貨運市場起步較晚，歷史數(shù)據(jù)樣本較少，加之其波動性較大、深受地區(qū)經(jīng)濟發(fā)展等多因素影響，使用數(shù)理統(tǒng)計方法建模預(yù)測比較困難?；疑獹M（1，1）預(yù)測具有所需歷史數(shù)據(jù)較少、計算簡便、短期預(yù)測精度高等優(yōu)點，不必考慮眾多的復(fù)雜因素，從自身時間序列中尋找其內(nèi)在規(guī)律，可以對地區(qū)航空貨運量進行較為理想的初步預(yù)測。

灰色GM（1，1）預(yù)測對平穩(wěn)序列進行有效擬合，而地區(qū)航空貨運量是一個非平穩(wěn)時間序列，存在較強的隨機波動性。以灰色擬合精度（擬合值/原始數(shù)據(jù)）刻畫其隨機波動性，其結(jié)果具有非平穩(wěn)隨機過程的特征。因此，可以根據(jù)偏離程度劃分出馬爾可夫狀態(tài)，結(jié)合馬爾可夫鏈的無后效性特征，得出灰色擬合精度的波動規(guī)律，對預(yù)測期的馬爾可夫狀態(tài)做出判斷。

文獻[3]和[4]在灰色預(yù)測的基礎(chǔ)上，對預(yù)測期的馬爾可夫狀態(tài)做出了預(yù)測。但其均采用單步距概率轉(zhuǎn)移矩陣進行狀態(tài)預(yù)測。地區(qū)航空貨運量這一隨機變量具有相依性[1]，僅使用單步距概率轉(zhuǎn)移矩陣考察最近一年對預(yù)測期的影響缺乏嚴謹性。灰色擬合精度的各自階相關(guān)系數(shù)能夠描述各步距之間的相關(guān)關(guān)系及其強弱，因此，本文在進行預(yù)測期的狀態(tài)預(yù)測時，考察多個年份對預(yù)測期的影響，將其馬爾可夫概率轉(zhuǎn)移矩陣作為權(quán)值，各步距的自相關(guān)系數(shù)的強弱關(guān)系作為權(quán)重，進行加權(quán)求和，以加權(quán)和的最大值所對應(yīng)的狀態(tài)為預(yù)測年份的權(quán)馬爾可夫狀態(tài)。

地區(qū)航空貨運量的原始序列中，某個馬爾可夫狀態(tài)的殘差平均值反映了該狀態(tài)下灰色擬合值對原始數(shù)據(jù)的偏離情況。根據(jù)預(yù)測期馬爾可夫狀態(tài)所對應(yīng)歷史狀態(tài)的殘差平均值，就可以對預(yù)測期的GM（1，1）結(jié)果做出有效修正。

2.2 建立GM（1，1）模型，進行灰色預(yù)測[5]

考慮地區(qū)航空貨運量的連續(xù)歷史數(shù)據(jù)作為原始生成序列X(0)：

對X(0)進行一次累加生成變化（1-AGO）得X(1)：

上標“0”表示原始序列，上標“1”表示一次累加生成序列。其中：

令Z(1)為X(1)的緊鄰值生成（MEAN）序列，那么:

2.3 權(quán)馬爾可夫預(yù)測的步驟

（1）馬爾可夫狀態(tài)的劃分。各年航空貨運量隨時間變化呈增長趨勢，且具有明顯的隨機波動性，不同年份的狀態(tài)邊界與內(nèi)涵均是變化的?；疑珨M合精度Y（k）反映了預(yù)測值和原始數(shù)據(jù)之間的動態(tài)變化，具有非平穩(wěn)隨機過程的特征。因此根據(jù)灰色擬合精度Y（k）劃分出n個馬爾可夫狀態(tài)。

其中Ei為第i種狀態(tài)⊕1i，⊕2i分別為第i種狀態(tài)的上下界。

進行狀態(tài)劃分時，可以根據(jù)歷史數(shù)據(jù)的多寡來決定狀態(tài)數(shù)量。歷史數(shù)據(jù)少時，用較少的狀態(tài)數(shù)量來客觀反映狀態(tài)間的轉(zhuǎn)移規(guī)律；歷史數(shù)據(jù)多時，可以多劃分些狀態(tài)數(shù)目，以便挖掘出更多的信息，預(yù)測精度也會更準。狀態(tài)劃分的方法有樣本均方差和聚類分析[6]，本文選擇聚類分析中的K均值聚類進行狀態(tài)劃分。

（2）構(gòu)建多步距轉(zhuǎn)移概率矩陣。設(shè)由狀態(tài)Ei經(jīng)過步距m到達狀態(tài)Ej的概率為 pijm。

mijm為狀態(tài)Ei經(jīng)過m步轉(zhuǎn)移達到Ej的次數(shù)；Mi為狀態(tài)Ei出現(xiàn)的次數(shù)。鑒于歷史數(shù)據(jù)狀態(tài)列變化趨勢的不穩(wěn)定，在計算步距為m的轉(zhuǎn)移概率矩陣時，需要去掉數(shù)據(jù)序列中最末的m-1年。

則步距為m的轉(zhuǎn)移概率矩陣為：

（3）計算各步距轉(zhuǎn)移概率矩陣的自相關(guān)系數(shù)rk和權(quán)重Wk。為準確反映各步距（滯后期）轉(zhuǎn)移矩陣對馬爾可夫鏈預(yù)測的權(quán)重影響，用灰色擬合精度Y(k)的各階自相關(guān)系數(shù)rm反映。

對各步距權(quán)值進行歸一化處理，得各步距權(quán)重。

（4）預(yù)測期的馬爾可夫狀態(tài)預(yù)測，權(quán)馬爾可夫鏈預(yù)測是對預(yù)測年份的馬爾可夫狀態(tài)做出預(yù)測。采用多步距的轉(zhuǎn)移概率矩陣加權(quán)的方式進行。設(shè)某年灰預(yù)測精度指標的馬爾可夫狀態(tài)為Ei，距預(yù)測年份k年，轉(zhuǎn)移概率矩陣為Pik，可以預(yù)測出該年份預(yù)測精度指標的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率向量。考慮距預(yù)測年份的步距為小于m的所有年份，即得預(yù)測年份馬爾可夫狀態(tài)的概率向量。

取max{Pi}所對應(yīng)的狀態(tài)為預(yù)測年份灰色擬合精度的權(quán)馬爾可夫狀態(tài)。

2.4 灰色預(yù)測結(jié)果的進一步修正

確定了預(yù)測年份的權(quán)馬爾可夫狀態(tài)Ei后，對灰色GM（1，1）預(yù)測結(jié)果做出進一步修正。

ii

取能見度為1 km，平流霧和輻射霧的譜分布如圖1所示.由圖1可知，當(dāng)能見度為1 km時，隨著粒子半徑的增加，兩種霧的譜分布曲線均先增加后減小，且兩種霧的濃度在半徑較小一側(cè)迅速增大，在半徑大的一側(cè)則緩慢減小.其中平流霧的霧滴粒子半徑較集中在2～5 μm，輻射霧的霧滴粒子半徑較集中在0.1～2 μm，且輻射霧粒子濃度約大于平流霧粒子濃度兩個數(shù)量級.

3 實例研究

本文以武漢市航空貨運量為例進行預(yù)測。首先基于1995-2010年歷史數(shù)據(jù)對2011年航空貨運量進行預(yù)測，以灰色GM（1，1）擬合歷史數(shù)據(jù)進行初步預(yù)測，然后用權(quán)馬爾可夫?qū)︻A(yù)測年份的狀態(tài)進行預(yù)測，最后修正初步預(yù)測值，與實際觀測值進行對照。對2012年和2013年用同樣的方法進行遞推預(yù)測。

3.1 武漢市航空貨運量的灰色預(yù)測

根據(jù)2013年武漢市統(tǒng)計年鑒中1995-2011年航空貨運量觀測值，建立灰色GM（1，1）預(yù)測模型（見式（1）-（3）），使用matlab編程計算出1995-2011年航空貨運量預(yù)測值（見表1）。依據(jù)預(yù)測值與觀測值的比值及差求得1995-2010年的灰色擬合精度和各年度的殘差值（見表1）。

表1 武漢市1995-2013年航空貨運量觀測值及GM（1，1）預(yù)測值

注：數(shù)據(jù)來自《武漢市統(tǒng)計年鑒2013》。

從歷史數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果看出，由于武漢航空貨運量的實際波動較大，需進一步使用權(quán)馬爾可夫鏈對2011年的馬爾可夫狀態(tài)進行預(yù)測，在此基礎(chǔ)上對預(yù)測結(jié)果做出修正。

3.2 武漢市航空貨運量的權(quán)馬爾可夫預(yù)測

3.2.1 馬爾可夫狀態(tài)的劃分。對1995-2010年擬合精度指標使用K均值聚類方法，將擬合精度值均分化為四類，從而劃分為四種馬爾可夫狀態(tài)，各預(yù)測期擬合精度的狀態(tài)見表2。

表2 武漢市1995-2010年航空貨運量預(yù)測期擬合精度的狀態(tài)

（1）E1強高估年份，Y(k)＞109.30%，表示預(yù)測值遠大于實際值，實際貨運量可能出現(xiàn)了負增長或增長遠低預(yù)期，該狀態(tài)出現(xiàn)了4次。

（2）E2高估年份，100%＜Y(k)≤109.30%，表示航空貨運量一定程度被低估，實際增長幅度低于預(yù)期，該狀態(tài)出現(xiàn)了5次。

（3）E3低估年份，87.12%＜Y(k)≤100%，表示航空貨運量一定程度被高估，實際增長高于預(yù)期，該狀態(tài)出現(xiàn)了6次。

（4）E4強低估年份，Y(k)≤87.12%，表示預(yù)測值遠小于實際值，實際貨運量增長遠超預(yù)期，該狀態(tài)出現(xiàn)了1次。

3.2.2 多步距馬爾可夫轉(zhuǎn)移矩陣的獲取。根據(jù)表2中航空貨運量預(yù)測期擬合精度的狀態(tài)，統(tǒng)計出1995-2010年依次年份順序每個狀態(tài)到另一狀態(tài)的次數(shù)，依據(jù)式（4），計算一步矩陣P1時，統(tǒng)計得出狀態(tài)1到1,2,3,4的狀態(tài)次數(shù)分別為1,2,1,0次，由此得出矩陣第一行，依次類推出狀態(tài)2,3,4分別到各狀態(tài)的概率，最終得出一步矩陣P1。依次類推，得出P2，P3，P4，P5，需注意的是，多步矩陣的計算中，應(yīng)統(tǒng)計跨m步的年份的各狀態(tài)轉(zhuǎn)換的對應(yīng)值。

因此計算得出，步距為1，2，3，4，5的一步馬爾可夫概率轉(zhuǎn)移矩陣，分別為：

3.2.3 自相關(guān)系數(shù)及權(quán)重。根據(jù)表1中得出的精度擬合指標，結(jié)合式（5）和式（6）可以計算精度擬合指標的各階自相關(guān)系數(shù)和權(quán)重（對于貨運量序列，通常只考慮前5階）。自相關(guān)系數(shù)為r1=0.152,r2=-0.428,r3=-0.091,r4=0.105,r5=-0.058，權(quán)重為 w1= 0.182 3，w2=0.513 2，w3=0.109 1，w4=0.125 9，w5=0.069 5。

3.2.4 航空貨運量預(yù)測。根據(jù)以上概率轉(zhuǎn)移矩陣和權(quán)重可以預(yù)測2011年的擬合精度狀態(tài)?？疾?006-2010年的擬合精度狀態(tài)，分別為E3，E1，E3，E4，E3，確定對應(yīng)的概率轉(zhuǎn)移向量、步距和權(quán)重，由式（7）得表3。

表3 2011年擬合精度狀態(tài)預(yù)測

因此，根據(jù)表3的數(shù)據(jù)顯示2011年航空貨運量的擬合精度最有可能處于E3。由灰色GM（1，1）計算的2011年預(yù)測值為9.312 2，訓(xùn)練樣本中擬合精度為E3的平均殘差 -δ3= -0.392 5，由式（8）得到2011年的航空貨運量有可能為：

同理可以預(yù)測2012-2013年武漢市航空貨運量，結(jié)果見表4。

3.3 兩種方法預(yù)測結(jié)果的比較

將灰色GM（1，1）預(yù)測模型與灰色-權(quán)馬爾可夫預(yù)測得到的2011-2013年結(jié)果進行比較，結(jié)果見表4。

表4 兩種方法預(yù)測結(jié)果比較

從表4兩種預(yù)測方法結(jié)果比較中可以看出，灰色-權(quán)馬爾可夫模型的各項預(yù)測誤差均小于灰色預(yù)測，其主要原因是對各預(yù)測期的灰色擬合精度的權(quán)馬爾可夫狀態(tài)做出了預(yù)測，并根據(jù)歷史狀態(tài)的殘差平均值對灰色預(yù)測結(jié)果做出了修正，較單獨運用GM（1，1）模型精度有了進一步提高，說明該模型的預(yù)測結(jié)果是有效可靠的。

4 結(jié)論

影響航空貨運量的因素非常多，較之全國性預(yù)測，地區(qū)航空貨運量受地區(qū)經(jīng)濟影響更大，具有明顯的趨勢性，且隨機波動性更強、歷史數(shù)據(jù)更少。對于這類對象的預(yù)測，目前主流預(yù)測方法的預(yù)測精度都有待提高?；疑獹M（1，1）預(yù)測對歷史數(shù)據(jù)進行較好的擬合后再進行預(yù)測，但在對地區(qū)航空貨運量這類隨機波動性較強數(shù)據(jù)進行預(yù)測時，直接預(yù)測結(jié)果準確性不高。針對這一特點，本文結(jié)合灰色理論和馬爾可夫預(yù)測方法，以灰色擬合精度劃分馬爾可夫狀態(tài)，采用多步距狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣加權(quán)求和的方式對預(yù)測期的馬爾可夫狀態(tài)做出了預(yù)測，并根據(jù)歷史狀態(tài)的殘差平均值對灰色預(yù)測結(jié)果進行修正。實證分析結(jié)果表明：

灰色GM（1，1）預(yù)測與馬爾可夫預(yù)測方法相結(jié)合，能充分利用歷史數(shù)據(jù)給予的信息。在考慮多步距狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣的基礎(chǔ)上，加權(quán)求和來判斷預(yù)測期馬爾可夫狀態(tài)可以更合理地捕捉地區(qū)航空貨運量的隨機波動性，提高了預(yù)測精度并增強了預(yù)測結(jié)果的可靠性，擬合和預(yù)測結(jié)果具有明顯優(yōu)勢。此外，本預(yù)測方法不僅適用于地區(qū)航空貨運量，稍加推理也可應(yīng)用于其他具有明顯趨勢性和波動性對象的預(yù)測研究。

值得指出的是，在進行馬爾可夫狀態(tài)劃分時，至少應(yīng)劃分出4個馬爾可夫狀態(tài)，以提高預(yù)測的準確性。同時也要注意應(yīng)避免狀態(tài)劃分導(dǎo)致多步距狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣中出現(xiàn)某狀態(tài)概率過高的情況，影響預(yù)測期馬爾可夫狀態(tài)的判斷。因此，如何更加合理的、科學(xué)的劃分馬爾可夫狀態(tài)需要進一步研究。

[1]管馳明.50多年來中國空港布局演變及其影響因素—基于空間分析和數(shù)理統(tǒng)計的方法[J].經(jīng)濟地理,2008,28(3):445-449.

[2]陳實.貨運量預(yù)測方法及應(yīng)用研究[D].武漢:武漢理工大學(xué),2008.

[3]文軍.基于灰色馬爾可夫鏈模型的航空貨運量預(yù)測研究[J].武漢理工大學(xué)學(xué)報:交通科學(xué)與工程版,2010,34(4):695-698.

[4]蓋春英,裴玉龍.公路貨運量灰色模型-馬爾可夫鏈預(yù)測方法研究[J].中國公路學(xué)報,2003,16(3):113-116.

[5]陳綿云.趨勢關(guān)聯(lián)度及其在灰色建模中的應(yīng)用[J].華中理工大學(xué)學(xué)報,1994,22(8):66-68.

[6]趙欣,鄒良超,倪林.基于有序聚類的模糊加權(quán)馬爾可夫模型在降雨預(yù)測中的應(yīng)用[J].江西農(nóng)業(yè)學(xué)報,2009,21(2):110-113.

[7]鄧聚龍.灰色預(yù)測與灰決策[M].武漢:華中科技大學(xué)出版社,2002.

[8]林小平,袁捷.基于灰色模型的成都雙流機場物流預(yù)測[J].武漢理工大學(xué)學(xué)報:交通科學(xué)與工程版,2007,31(3):457-459.

[9]劉思峰,謝乃明.灰色系統(tǒng)理論及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社,2008.

[10]熊崗,陳章潮.灰色預(yù)測模型的缺陷及改進方法[J].系統(tǒng)工程,1992, 10(6):32-36.

Forecasting of Regional Airway Freight Transportation Volume Based on Grey Weighted Markov Model

Pan Kailing,You Jiaying,Jia Xiangnan
(School of Management,Wuhan University of Science&Technology,Wuhan 430080,China)

In this paper,we established the grey weighted Markov model to forecast the airway freight transportation volume:first we forecast the airway freight transportation volume using the GM(1,1),then further modified the result using the weighted Markov chain,and at the end,through an empirical case,proved the accuracy of the model over the GM(1,1).

grey forecasting;Markov;airway freight transportation volume;forecasting

F562；F224

A

1005-152X(2015)10-0127-04

2015-08-25

潘開靈（1961-），男，湖北武漢人，教授，博士生導(dǎo)師，博士，研究方向：管理協(xié)同理論及其應(yīng)用、企業(yè)戰(zhàn)略管理、生產(chǎn)組織管理；尤佳瀅（1989-），女，湖北武漢人，武漢科技大學(xué)研究生，研究方向：物流技術(shù)與管理。

10.3969/j.issn.1005-152X.2015.10.035