帶p-Laplaian算子的四階微分方程邊值問題正解的存在性

黃明輝

（廣州華夏職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)部，廣東廣州510935）

帶p-Laplaian算子的四階微分方程邊值問題正解的存在性

黃明輝

（廣州華夏職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)部，廣東廣州510935）

摘要：研究一類帶p-Laplacian的四階微分方程，運(yùn)用范數(shù)形式的錐拉伸與錐壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理方法證明了該方程解的存在性.在允許a(t)在端點(diǎn)處存在奇異的情況下，給出了該方程在特定區(qū)間內(nèi)存在至少一個(gè)或兩個(gè)正解的充分條件，其中正解的存在區(qū)間依賴于參數(shù) λ＞0.

關(guān)鍵詞：不動(dòng)點(diǎn)定理；存在區(qū)間；正解；p-Laplacian算子

考慮如下邊值問題：

其中?p(s)＝s|s|p-2，p＞1，s∈R，λ＞0是一個(gè)參數(shù)［1-3］.對(duì)于邊值問題(1)，令?p(u″(t))=v(t)，t∈(0,1)，u(0)=u(1)=0，作積分算子S∶C(I)→C(I)，則有：

于是，邊值問題(1)可變?yōu)椋?/p>

其中，g(t,v(t))=f(t,(sv)(t),?q(v(t))).

若邊值問題(3)存在一個(gè)解，由u(t)=(sv)(t)=(t,s)?q(v(s))ds知，邊值問題(1)也存在一個(gè)解.

對(duì)Banach空間X=C+［0，1］，定義其中的范數(shù)為.對(duì)于自然數(shù)m≥3，記：

對(duì)于r＞0，記Ωr={u∈Km‖v(t)‖＜r}，?Ωr={v∈Km‖v(t)‖=r}.顯然，Km為非負(fù)連續(xù)泛函C+［0,1］的子錐［7-10］.

1　相關(guān)引理

本文使用以下條件：

(H1)g(s,v(s))∈C+［0,+∞)并且存在tn→0，使得g(tn,v(tn)))＞0，n=1,2,….

(H2)a(t)∈C+(0,1)，使得t(1-t)a(t)dt＜+∞成立，并且存在自然數(shù)m≥3及正數(shù)，滿足a(c)＞0.記：

顯然，在條件(H2)下A＞0且Bm＞0，在條件(H1)-(H2)下，T∶C+［0,1］→C+［0,1］.

引理1假設(shè)條件(H1)與(H2)成立，則T∶Km→Km是全連續(xù)映射.

證對(duì)于n=1,2,…，記an(t)=min{a(t),n}，en{t∈［0,1］|a(t)≥n}.記：

由(H2)知s(1-s)a(s)ds→0(n→+∞)，任取r＞0及u∈Ωr，記M=0≤m‖av‖x≤rg(s,v(s))，則有：

這表明sup{‖Tv-Tnv‖|v∈Ωr}→0，于是T∶Km→Km全連續(xù).

2　主要結(jié)果

定理1假設(shè)條件(H1)-(H2)成立，并且存在兩個(gè)不同的正數(shù)a、b使得：

則邊值問題(3)存在一個(gè)正解v*∈Km且有min{a,b}≤‖v*‖≤max{a,b}.

證不妨設(shè)a＜b.任取v∈?Ωa，則對(duì)任何有0≤s≤1有g(shù)(s,v(s))≤.于是有：

這表明，當(dāng)v∈?Ωa時(shí)

任取v∈?Ωb，則對(duì)任何≤s≤1-時(shí)，有g(shù)(s,v(s))≥.于是：

這表明，當(dāng)v∈?Ωb時(shí)，‖Tv‖≥b=‖v‖.

根據(jù)范數(shù)形式的錐拉伸與錐壓縮映像的不動(dòng)點(diǎn)定理，可以知道存在，使得Tv*=v*.這表明，v*為(3)的解且滿足a≤‖v*‖≤b.由于‖v*‖≥a＞0，注意到v*(s)在上大于0.利用Tv*=v*及條件(H1) (H2)，可以斷定‖v*‖＞0，于是邊值問題(3)存在正解，由此可推出(1)也存在正解，該正解由(2)唯一確定.

定理2假設(shè)條件(H1)-(H2)及(L1)-(L2)成立，則對(duì)任意的λ滿足0＜λ＜λ*，邊值問題(3)存在兩個(gè)正解，其中：

另一方面，由(L1)-(L2)知，存在b1、b2滿足0＜b1＜a1＜r0＜a2＜b2＜+∞，使得：，其中s∈(0,b1］∪,+∞).由此可得：g(s,v(s))≥

上述結(jié)論滿足定理1的條件，定理1結(jié)論成立.邊值問題(3)存在兩個(gè)正解v*1、v*2滿足0＜b1＜‖v*1‖＜a1＜r0＜a2＜‖v*2‖＜b2＜+∞，由此可推出(1)也存在正解，該正解由(2)唯一確定.

定理3假設(shè)條件(H1)-(H2)及(L3)-(L4)成立，并且當(dāng)s＞0時(shí)，g(s,v(s))＞0，則對(duì)任意λ滿足λ**＜λ＜+∞，邊值問題(3)存在兩個(gè)正解，其中：

成立.這表明：

另一方面，(L3)表明g(0,v(0))=0且存在a1滿足0＜a1＜b1使得當(dāng)‖v‖∈(0,a1］時(shí)，有成立.于是g(s,v(s))成立，其中‖v‖∈(0,a1］.而(L4)表明，存在正數(shù)a滿足b2＜a＜+∞，使得當(dāng)‖v‖∈(a,+∞］時(shí)，.不妨設(shè)g(s,v(s))，選取a2＞a滿足a2≥λAM，則有g(shù)(s,v(s))≤M≤≤成立，其中‖v‖∈(0,a2］.

滿足定理1的條件，定理1結(jié)論成立.因此，邊值問題(3)存在兩個(gè)正解滿足0＜a1＜‖‖＜b1＜λ**＜ b2＜‖‖＜a2＜+∞，由此可推出(1)也存在正解，該正解由(2)唯一確定.

定理4假設(shè)條件(H1)-(H2)成立，下列條件其中一條成立：①(L1)與(L4)成立；②(L2)與(L3)成立，則對(duì)任意λ＞0，邊值問題(3)存在一個(gè)正解.

證對(duì)于①，僅需證明對(duì)于定理2中，λ*=+∞.設(shè)g(s,v(s)).

情形一：若M有界，則由定理2知，有λ*≥=+∞于是結(jié)論成立.

情形二：若M無界，則存在數(shù)列rn→+∞，使得g(rn,v(rn))g(s,v(s)).利用(L4)可以得到λ*≥=+∞，于是結(jié)論成立.

對(duì)于②，僅需證明對(duì)于定理3中，λ**=0.由(L2)知，當(dāng)‖v‖→+∞時(shí)，有g(shù)(s,v(s))→+∞，則存在rn→+∞，使得g(s,v(s))成立.利用(L2)則和定理2，有λ**≤=0成立.于是結(jié)論成立.

定理5假設(shè)條件(H1)(H2)成立，下列條件其中一條成立：①(L1)與(L6)成立；②(L2)與(L5)成立，則對(duì)任意0＜λ＜，邊值問題(3)存在一個(gè)正解.

對(duì)于②，證明過程與①類似.

定理6假設(shè)條件(H1)-(H2)成立，下列條件其中一條成立：①(L3)與(L6)成立；②(L4)與(L5)成立，則對(duì)任意＜λ＜+∞，邊值問題(3)存在一個(gè)正解.

證對(duì)于①，由(L3)與(L6)知，存在rn→+∞，使得：

利用定理2，有：

對(duì)于②，證明過程與①類似.

參考文獻(xiàn)：

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（責(zé)任編輯：邵曉軍）

中圖分類號(hào)：O175.8

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1007-5348（2015）02-0001-05

［收稿日期］2014-02-03

［作者簡(jiǎn)介］黃明輝（1988-），男，廣東從化人，廣州華夏職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)部助教，碩士；研究方向：微分動(dòng)力系統(tǒng).

Existence of Positive Solutions for Fourth-order Boundary Problems of Differential Equation with p-Laplacian Operator

HUANG Ming-hui
（Department of Basic,Guangzhou Huaxia Technical College,Guangzhou 510935,Guangdong,China）

Abstract:The paper studied the BVP with p-Laplacian operator.By using the fixed point theorem of cone expansion and compression of norm type,it proved the existence of positive solutions of the upper equation.In addition,it achieved some sufficient conditions for the existence of at least one positive solution within the specific range which depends on the parameter that is λ＞0 when there is peculiarity at point a(t).

Key words:fixed point theorem;existence interval;positive solution;p-Laplacian operator