Research on dynamic characteristics of high speed milling force based on discontinuous functions

S．Bilenko， Pavel A．Sablin， ZHANG Dan

(Komsomolsk National University of Technology，Amurskaya Oblast 681000，Russia)

Разработка новых эффективных технологий для машиностроительного производства немыслима без исследований динамики технологических систем механической обработки．При проектировании，изготовлении и эксплуатации современных высокоскоростных металлорежущих станков все чаще возникает необходимость решения задач，связанных с динамикой процесса обработки．В первую очередь это относится к обеспечению условий устойчивого движения инструмента и заготовки［1］．

1 Определение основных параметров фрезерования

Наиболее нестационарным из всех процессов механической обработки и，обладающий вследствие этого наиболее сложной динамикой， является процесс высокоскоростного фрезерования．

1. 1 Траектории рабочих движений любой точки режущего лезвия

Для практического исследования динамики фрезерования достаточно часто бывает полезным знать примерное значение суммы сил F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)kрезания，приложенных к режущим кромкам инструмента，и направление вектора F равнодействующей этих сил в координатах станка．Данные параметры являются основополагающими，как при расчетах погрешностей размерной точности обработки вследствие упругих перемещений технологической системы，так и при построении моделей процесса фрезерования (рис．1)．

Рис. 1 Силовая схема процесса высокоскоростного фрезерованияFig. 1 Force of high speed cutting process

Кроме того， заранее известные значения направления математического ожиданияравнодействующей сил резания и телесного угла её разброса ΔF，позволят корректно，в соответствии с наиболее информативным пространственным направлением， расположить на станке систему датчиков для проведения экспериментальных исследований．В дальнейшем сигналы с этих датчиков с минимальной предобработкой могут быть использованы для исследования методами нелинейной динамики．

Как известно［2］，при фрезеровании траекторией относительного рабочего движения любой точки режущего лезвия является удлиненная циклоидатрохоида (рис．2)．Высота трохоиды равна диаметру D фрезы，а расстояние между её петлями равно величине подачи SOна один оборот фрезы．Траектории движения лезвий отдельных зубьев сдвинуты друг относительно друга на величину подачи SZна один зуб фрезы，равное SO/z，где z-ч исло зубьев фрезы．

Для упрощения расчета сил резания и вычисления размеров срезаемого слоя при фрезеровании трохоиду нередко заменяют окружностью．При этом предполагается［2］что，ошибка от указанной замены не будет превышать 1%．Однако в условиях высокоскоростной обработки(ВСО)даже такая незначительная погрешность может иметь существенное значение．Зачастую высокая скорость процессов пластической деформации при ВСО в совокупности с существенной нелинейностью зависимости силы резания от толщины среза и скорости резания приводят к возникновению особого типа поведения динамической системы-детерминированному хаосу， в результате чего динамическая система станка становится очень чувствительной даже к незначительным возмущениям［3－4］．В режиме детерминированного хаоса любая погрешность，проявляющаяся вследствие какого-либо неучтенного фактора или неточности расчетов，подвергается экспоненциальному усилению и，в итоге，динамика реальной динамической системы сильно отличается от расчетных данных．

1.2 Математическое описание траектории рабочих движений зубов

Таким образом，для условий высокоскоростного фрезерования следует использовать более тонкие расчеты силы резания．Для этого представим траекторию рабочего движения режущего лезвия при фрезеровании в виде кривой，описываемой точкой A(x，y)，отстоящей на фиксированном расстоянии R = D/2 от центра O(x0，y0)круга，причем круг вращается по часовой стрелке с угловой скоростью ω = Vр/(2π·D)(где Vр–скорость резания)，а центр круга перемещается по оси абсцисс с линейной скоростью v =SO·ω/(2π)．Тогда запишем траекторию движения зуба фрезы (сплошная линия на рис．3) в виде системы параметрических уравнений:

где φ0= π-начальный угол поворота фрезы;τ–параметр времени．

Рис. 2 Траектории рабочих движенийдвух смежных зубьев осевой цилиндрической фрезы(для z=4，SO =0.32D)Fig. 2 Machining trajectory on vertical cylindrical milling cutter (z=4，SO =0.32D)between two blade edge

Теперь рассмотрим траекторию движения предыдущего зуба фрезы (штриховая линия на рис．3)．Отложим отрезок от центра O фрезы до точки A текущего положения режущего лезвия．Очевидно，что мгновенное значение толщины hZсрезаемого слоя равно расстоянию от точки A до точки A1пересечения отрезка OA и траектории движения предыдущего зуба．Найдем координаты x2и y2этой точки．

2 Определение разрывной функции толщины среза

Предположим，что центр фрезы в момент прохождения предыдущим зубом точки A1находился в точке O1(x1，y1)(рис．3а)，отстоящей от текущего центра фрезы O на расстояние，равное подаче на зубSZ，то есть:

Рис. 3 Схема расчета мгновенного значения толщины hZ срезаемого слояFig. 3 Calculation of instantaneous cutting thickness

Теперь о точке A1нам известно，что，вопервых，она принадлежит отрезку OA:

где:t-параметр принадлежности отрезку;а вовторых， что она удалена от точки O1на расстояние，равное радиусу R фрезы:

Подставляя формулы (1)и (2) в (4)получим следующее выражение:

которое после преобразований обращается в квадратное уравнение вида:

Решим уравнение (5)относительно t по формуле:

что в конечном итоге приводит к выражению:

Так как по условию (3)параметр t неотрицателен，то один из корней t2уравнения (6)，являющийся суммой двух отрицательных чисел и явно приводящий к отрицательному результату，можно отбросить．То есть получим:

Зная параметр t，из (2)найдем точку A1(x2，y2)．Однако при анализе рисунка 3а выявляется некоторая неточность-отрезки OA и O1A1расположены относительно друг друга под углом β．А это значит，что точкам A и A1соответствуют разные фазы поворота зубьев фрезы и，следовательно，действительное расстояние между точками центров вращение не равно величине подачиSZна зуб．Вычислим уточненное расстояние между точками центров вращения фрезы:

Для этого，воспользовавшись одним из свойств векторного произведения，вычислим значение угла β по формуле:

которая после упрощения сводится к выражению:

Нетрудно заметить，что максимального своего абсолютного значения угол β достигает при условиикогда он становится равным ?arcsin(SZ/R)．Таким образом，для условий фрезерования，соответствующим траекториям，отображенным на рис．2 и 3，получим SZ=0．08D=0．16R，βmax= ±9．2°．То есть погрешность наших вычислений может достигать величины ±9．2°/360° =±2．6%．

Чтобы скомпенсировать данную погрешность найдем уточненную точку O2(x3，y3)(рис．3б)，в которой находился центр вращения фрезы в момент пересечения предыдущим зубом отрезка OA:

Тогда в соответствии с вышеописанным алгоритмом найдем уточненную точку A2(x4，y4)，которая принадлежит отрезку OA:

(где ty—уточненное значение параметра ) и находится на расстоянии R от точки O2:

С учетом (7)，(8)и (11)получим следующее выражение для ty:

Отсюда，исходя из того，толщина срезаемого слоядлина отрезка A2A(рис．3б)，отношение длин отрезкови значениеполучим формулу для вычисления мгновенного значения hZ，которая с учетом (10)приобретет вид разрывной функции:

Следует отметить，что для расчета Syмы использовали значение угла β，вычисленное по формуле (7)．Поэтому для оценки погрешности вычислений необходимо выяснить насколько реальное значение угла βyмежду отрезками OA и O2A2в наших уточненных расчетах отличается от значения β，взятого за исходное．Величину βyрассчитаем по формуле，аналогичной (7)，но с учетом того，что параметры Syи y зависят от параметра времени τ :

Численная проверка с помощью компьютерных расчетов показала，что расхождение между βyи β составляет ±0．05°，то есть погрешность вычислений равна ±0．015%．

Зная значение hZ(τ)толщины срезаемого слоя，согласно методике［5］найдем величину силы резания，приложенной к одному зубу:

где tФ– глубина фрезерования;KC-удельная сила резания， приходящаяся на единицу площади срезаемого слоя．

Величина KCразлична для разных обрабатываемых материалов и определяется по формуле:

где KC1-удельная сила резания (для конкретного обрабатываемого материала)при толщине стружки 1 mm;mC-степенной показатель зависимости удельной силы резания от толщины стружки．Исходя из (13)и (14)получим:

Значения параметров KC1и mCдля различных материалов приведены в таблице 1［5］．

Таблица 1 Значения параметров KC1 и mCTable 1 KC1 and mC parameter

3 Результаты моделирования динамики и анализа

Согласно предложенной методике рассчитаем ширину срезаемого слоя и силу резания для алюминиевого сплава (рис．4)．Для иллюстрации используем фрезы с числом зубьев z равным 1，8 и 300，а величину подачи SZна зуб примем постоянной，равной 1 mm．

Рис. 4 Графики зависимостей ширины срезаемого слоя hZ и силы FZ резания，приложенной к одному зубу，при обработке алюминиевогосплава цилиндрической фрезой D=100 mm с различным количеством зубьевFig. 4 Relation curves between cutting force and cutting layer width for cylindrical milling cutter machining aluminum alloy under different cutter teeth

На графиках хорошо заметно，что чем больше оборотная подача SO(зависящая от z при SZ= const)，тем более асимметрично выглядят графики толщин hZи，следовательно，тем сильнее реальные значения hZотличаются от тех значений，которые бы мы получили аппроксимацией трохоидальных траекторий режущих лезвий участками окружностей．

На практике，при высокоскоростном фрезеровании，режимов резания полным диаметром фрезы (B=D)стараются избегать，так как такой режим обработки сильно нагружает инструмент и катастрофически сокращает его ресурс．Для каждого высокоскоростного инструмента существуют рекомендуемые значения ширины B фрезерования при обработке различных материалов，превышение которых ведет к изменению теплового режима и，как следствие，к усиленному износу инструмента．Так для инструментов фирмы Sandvik Coromant при обработке алюминиевых сплавов рекомендуется выбирать B =0．6D，при обработке закаленных сталей – B =0．2D［5］．

Добавим условие обработки неполным диаметром фрезы в выражение (12 ) в виде дополнительных разрывных зависимостей．Тогда функция мгновенного значения толщины срезаемого слоя при фрезеровании приобретет вид:

где yври yвых-ординаты врезания и выхода соответственно，определяемые в зависимости от способа обработки:

для симметричного фрезерования (рис．1)

Используем полученные математические зависимости для расчета силы резания при высокоскоростном фрезеровании．Первоначально определим как изменяется суммарная сила F резания всех режущих лезвий фрезы в течении одного оборота инструмента． Проведенные компьютерные расчеты(рис．5)показывают，что направление математического ожиданиясилы резания сильно зависит от способа обработки．Так при симметричном фрезеровании (рис．5а)математическое ожиданиенаправлено строго в направлении оси Y，при встречном фрезеровании(рис．5б)составляет с осью Y положительный угол，а при попутном (рис．5в)–отрицательный．

Рис. 5 Графики изменения проекций вектора F результирующей силы резания всех зубьев цилиндрической фрезы за один её оборотFig. 5 Vector projection F of all blade cutting force when cylindrical milling cutter turning week

Следующим этапом рассмотрим，в какой степени на направление математического ожидания силы резания влияет величина ширины B фрезерования．Для этого проведем численные расчеты，результаты которых представлены на рис．6．

Рис. 6 Графики зависимости угла наклона (относительно оси Y)математического ожиданияравнодействующей сил резания от ширины B фрезерованияFig. 6 Angle α of mathematical expectation of equivalent cutting force (relative to Y axis)and relationship between milling width B

4 Вывод

(1)В соответствии с полученными графиками можно сделать вывод о том，что для проведения экспериментальных исследований динамики сил резания при высокоскоростном фрезеровании целесообразно придерживаться симметричного направления резания，так как в этом случае математическое ожиданиевсегда будет направлено вдоль оси Y и，следовательно，систему динамометрических датчиков также следует ориентировать строго вдоль оси Y，что в технологическом плане достаточно удобно．Кроме того， при симметричном фрезеровании угол наклонане зависит от ширины B обработки и，поэтому нет необходимости менять ориентацию системы датчиков при смене обрабатываемого материала．

(2)При необходимости экспериментальные исследования можно проводить также для встречного и попутного фрезерования，но в этом случае систему измерительных датчиков необходимо будет ориентировать под существенным углом относительно оси Y:37° для алюминия (рекомендованное значение B =0．6D)и 61° для закаленных сталей(рекомендованное B=0．2D)．

Список литературы:

［1］Кудинов В ?。ェ讧擐学蕨讧堙?станков М．Машиностроение．1967(3):356 － 360．

［2］Бобров В Ф．Основы теории резания металлов．－ М．，1975(6):340 － 344．

［3］Кабалдин Ю Г，Биленко С В，Серый С В．Исследование детерминированного хаоса в динамике процессов механообработки методом реконструкции аттрактора ．Вестник машиностроения．2003(1):50 －56．

［4］Кабалдин Ю Г，Биленко С В ，Саблин П ?。学洄支蕨学洄讧椐支悃堙唰?моделирование динамической устойчивости процесса резания в виде нелинейного осциллятора с разрывными характеристиками．Вестник машиностроения．2006．10，С．35 －43．

［5］Материалы компании ．Sandvik Coromant．Адрес в Интернет．http://www．coromant．sandvik．com．