歐拉積分性質(zhì)及應用

盧路加++張君會++趙志穩(wěn)

摘 要：現(xiàn)在我們很多時候解決問題的工具還是初等函數(shù)，這給我們的一些研究帶來了很多不便。含參量積分是解決問題的另一重要工具，同時含參變量積分也是引進非初等函數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)的一個重要途徑，歐拉積分就是在應用中經(jīng)常出現(xiàn)的含參量積分表示的函數(shù)，它雖身為含參量積分的一種特例，但本身也是許多積分的抽象概括，能為相關(guān)積分的計算帶來方便。歐拉積分在理論和實踐上的地位僅次于初等函數(shù)，應用十分廣泛。

關(guān)鍵詞：含參量積分；歐拉積分；性質(zhì)；應用

一、歐拉積分的基本知識

格馬（Gamma）函數(shù)：Γ（s）=xs-1e-xdx，s>0.

貝塔（Beta）函數(shù)：B（p，q）=xp-1（1-x）q-1dx，p>0，q>0

（一）Γ函數(shù)的性質(zhì)

1.定義域：Γ函數(shù)在s>0時收斂，即定義域為s>0.

2.連續(xù)性：在任何閉區(qū)間[a，b]（a>0）上一致收斂，所以Γ（s）在s>0上連續(xù)。

3.可微性：

Γ（s）在s>0上可導，且Γ（1）（s）=xs-1e-xIn xdx，Γ（n）（s）=xs-1e-x（In x）ndx.

4.遞推公式：Γ（s+1）若s為正整數(shù)n，則Γ（n+1）=n！

5.Γ（s）的其他形式：

令x=y2，就有Γ（a）=xa-1e-xdx=2y2a-1edy（a>0）

令x=py，則有Γ（a）=xa-1e-xdx=paya-1e-pydy（a>0，p>0）

特別地當時，并且有

6.余元公式：揭示了函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系

7.倍元公式：

（二）B函數(shù)的性質(zhì)

1.定義域：B（p，q）的定義域為p>0，q>0.

2.連續(xù)性：B（p，q）在p>0，q>0內(nèi)連續(xù).

3.對稱性：B（p，q）=B（q，p）

4.遞推公式：

B（p，q）=B（p，q-1）（p>0，q>1）

B（p，q）=B（p-1，q）（p>1，q>0）

B（p，q）=B（p-1，q-1）（p>1，q>1）

B（p，q）=B（p+1，q）B（p，q+1）（p>-1，q>-1）

5.B（p，q）的其他形式：

令x=cos2t

B（p，q）=2，特別的當p=q=，B（p，q）=B（，）=

令x=

B（p，q）=dt=dt+dt

6.余元公式：

特別的

（三）Γ函數(shù)與B函數(shù)之間的關(guān)系

當m，n為正整數(shù)時，反復應用B函數(shù)的遞推公式可得：B（m，n）=

一般地，對于任何正實數(shù)p、q也有相同的關(guān)系：B（p，q）=

二、歐拉積分的應用

通過式子的變形將積分變成歐拉積分的形式，也可以利用換元法將未知積分化為歐拉積分，再利用歐拉積分的相關(guān)性質(zhì)，計算出該積分的值。

（一）應用一直接將積分變成歐拉積分

1.求積分dx

解：原式=dx

==

2.求積分dx

解：原式=dx4=dx4=

3.求積分dx（a>0）

解：原式==

（二）應用二利用換元法將未知積分化為歐拉積分

1.求積分

解：設x3=t，則=

再作代換，即得

=

2.求積分（n>0）

解：設xn=t，

則=

應用三歐拉積分性質(zhì)的應用（1）

求積分

解：設t=sinx，則=dt

再作代換t=，即得=

=

參考文獻：

[1]華東師范大學數(shù)學系，《數(shù)學分析》[M]，（上，下冊）北京：高等教育出版社，2007.

[2]裴禮文.數(shù)學分析中的典型問題與方法[M].北京：高等教育出版社，1993.

[3]費定輝，周學圣等，吉米多維奇數(shù)學分析習題集題解（五）[M]，濟南：山東科學技術(shù)出版社，1999.

[4]錢吉林.數(shù)學分析題解精粹[M].崇文書局，2003.

（作者單位：河南師范大學）endprint