函數(shù)的單調(diào)性單元教學(xué)設(shè)計

李建邦 （甘肅省隴西縣第二中學(xué) 748100 ）

單元教學(xué)設(shè)計是指對某一單元的教學(xué)內(nèi)容作具體的教學(xué)活動設(shè)計，這里的單元可以是一章，也可是以某個知識內(nèi)容為主的知識模塊。單元教學(xué)設(shè)計要有整體性、相關(guān)性、階梯性、綜合性。下面我就以人教A版高中數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性為例進行單元教學(xué)設(shè)計，設(shè)計內(nèi)容包括單元教學(xué)目標、要素分析、教學(xué)流程設(shè)計、典型案例設(shè)計、反思與改進等。

一、單元教學(xué)目標

一是理解函數(shù)的單調(diào)性概念；二是會利用代數(shù)法和導(dǎo)數(shù)，“定性”“定量”多角度研究函數(shù)的單調(diào)性；三是理解函數(shù)的單調(diào)性在認識函數(shù)性質(zhì)中的作用和地位。

二、要素分析

（一）數(shù)學(xué)分析

一是函數(shù)的單調(diào)性在高中數(shù)學(xué)中的地位。首先，函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的一條主線。克萊因說：“函數(shù)概念，應(yīng)該成為數(shù)學(xué)教育的靈魂。以函數(shù)概念為中心，將全部數(shù)學(xué)教材集中在他周圍，進行充分的綜合?！焙瘮?shù)是客觀世界的一個基本數(shù)學(xué)模型，用于刻畫“變化”，體現(xiàn)兩個變量的依存關(guān)系。其次，函數(shù)有很多性質(zhì)，高中階段單調(diào)性最重要。第三函數(shù)單調(diào)性貫穿整個數(shù)學(xué)教學(xué)，初中以具體函數(shù)為載體，“感性”認識函數(shù)值隨自變量的變化如何變化。高中利用代數(shù)法和導(dǎo)數(shù)，“定性”“定量”多角度研究函數(shù)的單調(diào)性。二是函數(shù)的單調(diào)性刻畫“變化”，而變化無處不在。

（二）標準分析

在必修階段，學(xué)生要經(jīng)歷從“具體到抽象”，“圖形語言到自然語言，再到符號語言”的思維過程。這一過程不但有利于學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性定義的理解，而且還有利于培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力和邏輯思維能力。首先，歸納總結(jié)能力的培養(yǎng)。學(xué)生對基本初等函數(shù)已非常熟悉，如何將學(xué)生對函數(shù)的單調(diào)性的原有認知，轉(zhuǎn)化為以導(dǎo)數(shù)為依據(jù)的認知是不可忽視的問題。其次，邏輯思維的培養(yǎng)，教材只給出了函數(shù)單調(diào)性的充分條件，但在研究具體函數(shù)的單調(diào)性時并不夠，如何處理這部分教材是教師要重點思考的問題，而這一問題也正是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的優(yōu)良載體。

（三）學(xué)習(xí)者特征分析

學(xué)生對一次、二次、反比例函數(shù)等已有較好的認識，印象應(yīng)該是深刻的；學(xué)生的直覺思維優(yōu)于邏輯思維，感性認識勝于理性思考；學(xué)生的演算、恒等變形的能力有待加強，此處也正是培養(yǎng)學(xué)生這方面能力的載體。

（四）重點難點分析

函數(shù)的性質(zhì)是研究函數(shù)問題的基石，對函數(shù)的定性和定量分析是研究函數(shù)的兩個不同角度，但同等重要。在必修中，函數(shù)的單調(diào)性的定義的形成過程是重點，將學(xué)生對已熟知函數(shù)的單調(diào)性從感性認識上升至理性認識是核心；在選修中，理解導(dǎo)數(shù)為何可以“定量”刻畫函數(shù)的變化是基礎(chǔ)，理解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系是重點，能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是目的。

（五）教材對比分析

現(xiàn)行教材有六個版本，分別為人教A版、人教B版、北師大版、蘇教版、湘教版和鄂教版，以前四個版本使用較多。教材的多樣性為教師的教學(xué)提供了充足的材料，教師可以根據(jù)自己學(xué)生的特點、認知水平，選擇合適的教學(xué)手段和方法。下面以前四種教材為例，談?wù)勗诤瘮?shù)單調(diào)性定義方面，各教材在處理上的不同之處。一是定義引入的方式不同。人教A版和人教B版以具體的函數(shù)引出函數(shù)單調(diào)性的描述，而北師大版和蘇教版則以實踐中的具體實例引出函數(shù)單調(diào)性的概念。引入方式的不同，無所謂“優(yōu)”與“劣”，教師可以結(jié)合學(xué)生的實際情況，采用不同的處理方法。定義的方式不同：人教A版、北師大版和蘇教版采用了傳統(tǒng)教材對單調(diào)性的定義方式，即在通過自變量的增大過程中函數(shù)值的增大或減小來定義；人教B版的教材則采用自變量具有正增量時函數(shù)值增量的符號加以定義。人教B版在其后安排了“探索與研究”，定義了平均變化率，希望學(xué)生能探究函數(shù)的單調(diào)性與增長快慢之間的聯(lián)系，為選修系列導(dǎo)數(shù)做了鋪墊。

（六）教學(xué)方式分析

這一過程可以靈活采用各種教學(xué)方法，我們學(xué)校主要采用五環(huán)節(jié)教學(xué)法，即：師生共同探究、學(xué)生獨立思考、小組合作交流、學(xué)生精彩展示、老師精彩點評。

三、教學(xué)流程設(shè)計

基于函數(shù)的單調(diào)性在中學(xué)數(shù)學(xué)中的特殊地位，對函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)可以分為以下幾個階段。第一課時：以理解函數(shù)的單調(diào)性概念為主要教學(xué)目標，學(xué)生對單調(diào)性的認識能依據(jù)函數(shù)圖象指出其單調(diào)區(qū)間；初步理解用代數(shù)法證明（確定）單調(diào)區(qū)間的理論依據(jù)。第二課時：在理解函數(shù)的單調(diào)性定義的基礎(chǔ)上，能熟悉、鞏固證明函數(shù)單調(diào)性的方法，從“判定”和“性質(zhì)”兩個方面進一步理解函數(shù)的單調(diào)性。基本初等函數(shù)和數(shù)列學(xué)完之后（1課時），這個階段以梳理基本初等函數(shù)和數(shù)列的單調(diào)性為主，讓學(xué)生進一步理解函數(shù)的單調(diào)性及其在認識函數(shù)性質(zhì)中的作用和地位。不等量關(guān)系后的梳理（1課時）。選修階段（2課時）。第一課時：以基本函數(shù)為載體，結(jié)合曲線切線的幾何意義，學(xué)生能借助直觀初步理解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)符號之間的關(guān)系；第二課時：在認識和理解函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)符號之間關(guān)系的基礎(chǔ)上，學(xué)生能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。高考備考階段（1課時）學(xué)生對用代數(shù)法和導(dǎo)數(shù)兩種方法研究函數(shù)的單調(diào)性有了比較全面和系統(tǒng)的認識。

四、典型案例設(shè)計

必修時期：必修一，函數(shù)的單調(diào)性（概念課）；選修時期：選修2-2，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；高三復(fù)習(xí)時期，專題復(fù)習(xí)，函數(shù)的單調(diào)性。（略）

五、反思與改進

首先，重視函數(shù)的單調(diào)性在高中數(shù)學(xué)中的指導(dǎo)性地位，要不失時機地滲透和鞏固，以加深學(xué)生對其重要性的認識；其次，把握教學(xué)中的“度”，最好不要在細枝末節(jié)處“折騰”；再次，進行單元教學(xué)設(shè)計可大可小，要用整體把握的觀點指導(dǎo)教學(xué)；最后，教學(xué)中要認識到“代數(shù)法”和“導(dǎo)數(shù)法”處理函數(shù)單調(diào)性的側(cè)重點和對學(xué)生能力培養(yǎng)的側(cè)重點，切不可“厚此薄彼”。