Black-Scholes公式推導(dǎo)方法及其發(fā)展推廣

王明輝

（韶關(guān)學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東韶關(guān)512005）

Black-Scholes公式推導(dǎo)方法及其發(fā)展推廣

王明輝

（韶關(guān)學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東韶關(guān)512005）

摘要：從Black-Scholes模型的理論背景和假設(shè)條件出發(fā)，分析了該模型中期權(quán)定價(jià)公式的推導(dǎo)過程和國內(nèi)外學(xué)者的不同推導(dǎo)方法，最后從放寬假設(shè)條件和擴(kuò)展期權(quán)類別兩個(gè)方面探討了該公式的推廣形式．

關(guān)鍵詞：Black-Scholes模型；期權(quán)定價(jià)公式；發(fā)展推廣

1973年F Black和M S Scholes從歐式看漲期權(quán)入手，運(yùn)用均衡資本資產(chǎn)定價(jià)理論，推導(dǎo)出至今廣為流傳的歐式看漲期權(quán)定價(jià)公式［1］，即Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式．由于公式中所有的參數(shù)都是可估的，因此在實(shí)踐中得到了廣泛應(yīng)用．

1　Black-Scholes模型定價(jià)公式的推導(dǎo)

F Black和M S Scholes從市場有效的假定出發(fā)，假設(shè)股票的價(jià)格運(yùn)動(dòng)過程服從馬爾科夫鏈，只與現(xiàn)在的價(jià)格有關(guān)．構(gòu)造一個(gè)證券投資組合，使得在此組合中能夠根據(jù)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變化連續(xù)調(diào)整標(biāo)的資產(chǎn)的頭寸，進(jìn)而使得該組合在短期內(nèi)保持無風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)，那么該組合的收益率就為無風(fēng)險(xiǎn)收益率，此時(shí)該組合的動(dòng)力系統(tǒng)就可以由一個(gè)隨機(jī)微分方程給出．一般情況下，該組合方式不唯一，因此無法很好地確定期權(quán)的價(jià)格．但如果借助套利定價(jià)理論給出與原概率測度等價(jià)的風(fēng)險(xiǎn)中立概率測度，使得折現(xiàn)的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格過程在這一新測度下為鞅或局部鞅，并且對套利保值投資組合的可積性給以一定的約束，使其在原始概率下平方可積，那么就存在唯一的套期保值投資組合，也就存在唯一確定的期權(quán)價(jià)格．他們還假設(shè)所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的，投資組合只獲得無風(fēng)險(xiǎn)收益，根據(jù)此概念，投資者未來的期望收益可以用無風(fēng)險(xiǎn)收益率進(jìn)行貼現(xiàn)，從而獲得未來任何現(xiàn)金流的現(xiàn)值，簡化了期權(quán)的定價(jià)求解．

Black-Scholes模型的基本假設(shè)條件：

（1）股票價(jià)格的變化是連續(xù)的，并且服從一種帶漂移的幾何Brown運(yùn)動(dòng)，在數(shù)學(xué)上表現(xiàn)為Ito過程；

（2）市場無風(fēng)險(xiǎn)利率為已知常數(shù)，不隨時(shí)間的變化而變化；

（3）股票不支付紅利或者其他收益；

（4）期權(quán)是歐式期權(quán)，即只能在合約到期日才能執(zhí)行期權(quán)；

（5）不產(chǎn)生交易費(fèi)用和稅金；

（6）標(biāo)的物可無限細(xì)分，也可自由買賣；

（7）期權(quán)和標(biāo)的物均可賣空．

Black-Scholes模型假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格St服從如下隨機(jī)微分方程：

其中dWt表示標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動(dòng)，且：

π解得：其中：

也可以寫成：也就是Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式．

F Black和M S Schole的論文不僅在理論上有重大作用，而且在對金融市場的實(shí)際操作也有著巨大的影響，其公式在期權(quán)交易中得到了廣泛應(yīng)用．正是由于其巨大的應(yīng)用價(jià)值，國內(nèi)外眾多的數(shù)學(xué)家、金融學(xué)家和計(jì)算機(jī)專家都對其進(jìn)行了大量研究．

Duffie介紹了四種推導(dǎo)Black-Scholes公式的方法［2］：

第一，二項(xiàng)定價(jià)模型．首先將時(shí)間區(qū)間離散化，使得每一小段的時(shí)間區(qū)間都能夠趨向于零，再假設(shè)在市場中不存在套利機(jī)會(huì)（即冗余），Black-Scholes公式便在這個(gè)概念的基礎(chǔ)上建立起來．從一定意義上來說，當(dāng)給定時(shí)間區(qū)間無限細(xì)分時(shí)，即當(dāng)每一時(shí)間區(qū)間的交易數(shù)目趨向于無窮大時(shí)，離散時(shí)間交易的極限就是連續(xù)時(shí)間交易，而利用中心極限定理就可以證明Black-Scholes公式就是離散化公式的極限．

第二，連續(xù)模型．設(shè)有濾波概率空間（Ω,F,P），令W為標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動(dòng)，時(shí)間集合為［0,∞），F(xiàn)滿足期權(quán)的假設(shè)條件．給定一種股票，其價(jià)格過程S={St∶t≥0}滿足隨機(jī)微分方程dSt=μStdt+σStdWt（μ＞0,σ＞0），另一種為債券，其價(jià)格過程β={βt∶t≥0}滿足微分方程dβt=rβtdt（0＜r＜μ），且債券有連續(xù)復(fù)利利息率r，則上式有唯一解βt=β0ert．然后利用冗余定理和Ito引理，就可將確定歐式看漲期權(quán)的市場價(jià)值轉(zhuǎn)化為求解具有邊界條件的偏微分方程．這里有兩種方法，一是經(jīng)過Fourier變換，二是利用Feynman Kac公式，便可得到Black-Scholes公式．

第四，利用Girsanov定理求解．使用一般鞅定價(jià)模型和Girsanov定理去考察Black-Scholes模型中冗余證券的估值，也可得到期權(quán)定價(jià)公式．

以上在求解Black-Scholes公式時(shí)，用到了隨機(jī)過程、隨機(jī)微分方程等方面的數(shù)學(xué)知識，推導(dǎo)過程相當(dāng)繁瑣，從一定程度上影響了該公式的普及和應(yīng)用．國內(nèi)一些學(xué)者也試圖尋找簡化推導(dǎo)的方法，如俞迎達(dá)等僅僅利用微積分和概率統(tǒng)計(jì)的知識就得到了對于不支付紅利股票的歐式看漲期權(quán)公式，由此過程很容易就能推導(dǎo)出支付紅利和歐式看跌期權(quán)甚至更一般的期權(quán)定價(jià)公式［3］．鄧樂斌給出了兩種推導(dǎo)該公式的方法［4］．潘冠中等在風(fēng)險(xiǎn)中性的假定下，通過對正態(tài)分布的性質(zhì)和矩母函數(shù)的運(yùn)用，較容易地導(dǎo)出了Black-Scholes公式［5］．

2　Black-Scholes模型的推廣與發(fā)展

Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型的優(yōu)點(diǎn)是可以得到期權(quán)定價(jià)的解析表達(dá)式，并獲得清晰的定量結(jié)果，而且該解析解沒有誤差．該方法的缺點(diǎn)是只研究了歐式期權(quán)，沒有給出美式期權(quán)的解析解，對于期權(quán)價(jià)格依賴于狀態(tài)變量歷史路徑的情況難以處理，而且它的假設(shè)條件相當(dāng)嚴(yán)格，使它過分理想化，從而與現(xiàn)實(shí)世界相脫離，不利于在更普遍的環(huán)境中應(yīng)用，因此需要根據(jù)現(xiàn)實(shí)條件對其模型進(jìn)行擴(kuò)展．例如當(dāng)股票交易中存在紅利支付，或者有交易成本，或者無風(fēng)險(xiǎn)利率為隨機(jī)變量，或者波動(dòng)率常數(shù)彈性，或者股票價(jià)格服從指數(shù)O-U過程，或者資產(chǎn)收益服從分?jǐn)?shù)次Brown運(yùn)動(dòng)時(shí)，均需對Black-Scholes模型進(jìn)行適當(dāng)推廣，而侯迎春就主要介紹了在這六個(gè)方面對期權(quán)定價(jià)公式的擴(kuò)展形式［6］．

最近幾年，國內(nèi)學(xué)者也對Black-Scholes模型進(jìn)行了大量的研究，得到了該公式的許多擴(kuò)展形式．如陳萬義假定股票價(jià)格服從幾何Brown運(yùn)動(dòng)，在一般非風(fēng)險(xiǎn)中性意義下導(dǎo)出了歐式看跌期權(quán)定價(jià)公式［7］，在風(fēng)險(xiǎn)中性意義下該公式就退化為一般的Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式．王峰等用泊松過程來描述突發(fā)信息變化對股票價(jià)格的影響，用Brown運(yùn)動(dòng)來描述市場連續(xù)信息對股票價(jià)格的影響，得到了由Brown運(yùn)動(dòng)和泊松過程共同驅(qū)動(dòng)的模型［8］．蘇軍等對Black-Scholes模型的定價(jià)偏差進(jìn)行了研究，并且假設(shè)利率是隨機(jī)的，同時(shí)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格過程服從跳一擴(kuò)散過程，進(jìn)而得到了該公式的改進(jìn)［9］．閆海峰等在當(dāng)股票價(jià)格過程遵循帶有非時(shí)齊Poisson跳躍的擴(kuò)散過程、廣義Ornstein-Uhlenback過程模型和幾何分式Brown運(yùn)動(dòng)過程時(shí)，采用保險(xiǎn)精算定價(jià)的方法給出了歐式期權(quán)定價(jià)公式［10-12］．孫玉東等假定波動(dòng)率是股票價(jià)格的階可導(dǎo)函數(shù)，期望收益率為股票價(jià)格的連續(xù)函數(shù)，利用金融市場復(fù)制策略得到了一般的Black-Scholes偏微分方程，進(jìn)而導(dǎo)出了定價(jià)公式［13］．FAN Kun考慮了兩因素作用下馬爾可夫調(diào)制隨機(jī)波動(dòng)率模型，一個(gè)是隨機(jī)波動(dòng)率因素服從均值回歸的平方根過程，另一個(gè)是隨機(jī)波動(dòng)率因素被連續(xù)時(shí)間有限狀態(tài)馬爾可夫鏈所調(diào)制，在風(fēng)險(xiǎn)中性測度下，通過逆傅里葉變換得到了歐式期權(quán)定價(jià)公式［14］．任智格在無風(fēng)險(xiǎn)利率是變化的假定下，運(yùn)用Ito公式和指數(shù)函數(shù)得到了改進(jìn)的期權(quán)定價(jià)公式［15］．

上述學(xué)者均是在放寬期權(quán)假設(shè)條件的基礎(chǔ)上對Black-Scholes定價(jià)公式進(jìn)行了推廣，但是世界上并不是只有歐式期權(quán)，所以國內(nèi)的學(xué)者也將眼光投向了其他各種期權(quán)類型．如薛紅等先假定股票價(jià)格遵循由分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程，得到了歐式最值期權(quán)定價(jià)公式，又研究了分?jǐn)?shù)跳—擴(kuò)散過程下幾何平均亞式期權(quán)定價(jià)問題，獲得了該條件下的看漲、看跌公式［16-17］．李志廣等利用有限體積元方法，在假定波動(dòng)率和期望收益率都是股票價(jià)格的一般函數(shù)的條件下，得到了美式期權(quán)定價(jià)公式，并且給出了該方法的誤差估計(jì)［18］．顧鋒娟等在連續(xù)支付美式分期付款期權(quán)定價(jià)模型中，構(gòu)造了基于自適應(yīng)網(wǎng)格的有限差分策略，采用中心差分格式，構(gòu)造出分片一致網(wǎng)格，再利用光滑化技巧來處理，最后通過數(shù)值解法求得美式分期付款期權(quán)的最優(yōu)執(zhí)行邊界和最優(yōu)終止邊界［19］．彭斌等在股票價(jià)格變化過程服從跳-分形Brown運(yùn)動(dòng)的假設(shè)下，研究了支付紅利的美式看漲期權(quán)定價(jià)問題［20］．王偉等假定風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格滿足馬爾可夫調(diào)制的跳擴(kuò)散過程，利用測度變換和無套利原理給出了該模型下遠(yuǎn)期生效看漲期權(quán)的定價(jià)公式［21］．SU Xiao-nan等假定標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格過程服從馬爾科夫調(diào)節(jié)的幾何Brown運(yùn)動(dòng)，特別是當(dāng)市場利率、標(biāo)的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的預(yù)期收益率與波動(dòng)率隨著馬爾科夫鏈的狀態(tài)轉(zhuǎn)移時(shí)，利用regime switching Esscher變換得到一個(gè)等價(jià)鞅測度，進(jìn)而得到歐式冪型看漲期權(quán)的公式［22］．王嘉展等假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)，并且在利率為Ho-Lee的模型下，得到了隨機(jī)利率下的冪期權(quán)定價(jià)公式［23］．袁國軍等考慮了標(biāo)的股票的價(jià)格服從跳－擴(kuò)散過程的亞式期權(quán)定價(jià)問題，運(yùn)用無套利原理、廣義Ito公式和近似對沖跳躍風(fēng)險(xiǎn)的方法，建立了該過程中的算術(shù)平均亞式期權(quán)模型，最后給出了基于半離散化的差分求解方法，并且分析了差分格式的穩(wěn)定性和誤差［24］．唐玲等在股票價(jià)格波動(dòng)率服從對數(shù)正態(tài)分布的假定下，利用等價(jià)鞅測度變換，得到了基于最小等價(jià)鞅測度下的，同時(shí)執(zhí)行價(jià)格固定的，幾何平均亞式期權(quán)定價(jià)公式，并討論了如何求其近似解［25］．

3　　結(jié)語

本文在Black-Scholes模型的理論背景和假設(shè)條件下，給出了期權(quán)定價(jià)公式，并簡要介紹了國內(nèi)外學(xué)者的不同推導(dǎo)方法，然后討論了該模型在不同假設(shè)條件下以及不同期權(quán)模型中的擴(kuò)展形式．

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（責(zé)任編輯：邵曉軍）

中圖分類號：O29；F830.9

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1007-5348（2015）08-0008-05

［收稿日期］2015-04-27

［作者簡介］王明輝（1986-），男，山東濟(jì)寧人，韶關(guān)學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院助教，碩士；研究方向：線性模型．

An Overview of the Deductive Method and Extensions of Black-Scholes Formula

WANG Ming-hui
（School of Mathematics and Statistics,Shaoguan University,Shaoguan 512005,Guangdong,China）

Abstract:From the background of theory and assumed condition of Black-Scholes formula,the paper first in

troduces the derivation of the option pricing formula,then it recommends several deductive approaches used by scholars from home and abroad,finally it presents the promotion of the Black-Scholes model from two aspects, namely the easing of the assumptions and the expansion of the option model.

Key words:Black-Scholes model;option pricing formula;extensions