電源輸出功率最值問題的應(yīng)用

王偉民 畢 亮

（1.太和縣宮集鎮(zhèn)中心學(xué)校，安徽 阜陽 236652；2.綠春縣第一中學(xué)，云南 紅河 662599）

由于電源有內(nèi)阻，在電源電動(dòng)勢(shì)一定的情況下，由純電阻元件組成的電路，當(dāng)外電路電阻由某一數(shù)值逐漸減小，甚至降為0時(shí)，電路中的總電流不可能因外電路電阻的減小而變得無窮大，而是趨于某一數(shù)值.由公式P＝I2R可知，外電路消耗的電功率（亦即電源的輸出功率）不可能因電流的增大而變得無窮大.可以證明，當(dāng)外電路電阻等于電源內(nèi)阻時(shí)，電源的輸出功率達(dá)到最大值.

證明：如圖1所示的純電阻電路，設(shè)電源電動(dòng)勢(shì)為E，內(nèi)阻為r，滑動(dòng)變阻器接入電路中的電阻為Rx時(shí)，電源的輸出功率為Px，則有

圖1

以下為該結(jié)論的一個(gè)應(yīng)用.

例1.如圖2所示的電路，電源電動(dòng)勢(shì)E＝6V，內(nèi)阻r＝1Ω，保護(hù)電阻R0＝3Ω，滑動(dòng)變阻器總電阻R＝20Ω，閉合開關(guān)S，在滑片P從a滑到b滑動(dòng)的過程中，滑動(dòng)變阻器消耗總功率的變化規(guī)律是

圖2

（A）先減小，后增大.

（B）先增大，后減小.

（C）先減小后增大，再減小，再增大.

（D）先增大后減小，再增大，再減小.

解析：解決此類問題的常規(guī)思路是，求出滑動(dòng)變阻器消耗的電功率跟滑動(dòng)變阻器Pa段電阻間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)值的變化情形來判斷滑動(dòng)變阻器消耗功率的變化情形.我們不妨先運(yùn)用該方法進(jìn)行求解.由圖2可知，整個(gè)電路的連接方式為，滑動(dòng)變阻器Pa、Pb兩部分并聯(lián)之后，再和保護(hù)電阻R0串聯(lián).

設(shè)RPa＝x，滑動(dòng)變阻器連入電路的等效電阻Rx為

則有

兩邊對(duì)y求導(dǎo)得

令P′＝0，得y＝±80.（80舍去，保留－80，原因是x2－20x為負(fù)數(shù)）

圖3

如果是考試，對(duì)于一道選擇題，花費(fèi)如此大的功夫，即使做了出來，也顯得不“劃算”——對(duì)函數(shù)

采用換元法求導(dǎo)，繼而又解方程確定函數(shù)駐點(diǎn)，過程非常麻煩（如果不換元，直接求導(dǎo)，會(huì)更麻煩），解題過程會(huì)花費(fèi)相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間.那么，有沒有簡(jiǎn)便方法呢？

實(shí)際上，我們可以根據(jù)電源輸出功率的最大值規(guī)律來進(jìn)行求解.

圖2中，將r＋R0＝4Ω作為一個(gè)整體，并視為電源的“內(nèi)阻”，所以，當(dāng)滑動(dòng)變阻器總電阻的阻值等于電源“內(nèi)阻”4Ω時(shí)，滑動(dòng)變阻器消耗的功率最大，由于滑動(dòng)變阻器總電阻Rx與Pa段電阻x間的函數(shù)關(guān)系式

可以看出，這種解題過程，除了滑動(dòng)變阻器兩并聯(lián)部分的最大等效電阻需要計(jì)算外（而且是非常簡(jiǎn)單的計(jì)算，口算即求出結(jié)果），整個(gè)判斷過程無需動(dòng)筆計(jì)算，解題過程顯得干凈利索，簡(jiǎn)潔明快.

當(dāng)然，對(duì)該題而言，如果題目條件改變一下——滑動(dòng)變阻器的阻值小于或等于（r＋R0）的4倍時(shí)（即不超過16Ω），比如滑動(dòng)變阻器的阻值為12Ω，在滑片由a至b滑動(dòng)過程中，滑動(dòng)變阻器兩部分并聯(lián)的總電阻增大到最大值3Ω時(shí)（大小等于滑動(dòng)變阻器阻值的1/4），滑片位置在變阻器線圈的正中間，在這一過程中，變阻器消耗的總功率一直增大，此后，滑片P由中間位置向上繼續(xù)滑動(dòng)時(shí)，滑動(dòng)變阻器兩部分并聯(lián)的總電阻減小，所以，滑動(dòng)變阻器消耗的總功率也跟著減小，該選擇題答案選項(xiàng)將由原來的（D），變?yōu)楝F(xiàn)在的（B）即滑動(dòng)變阻器消耗總功率的變化規(guī)律為先增大，后減小.