基于模糊幾何加權(quán)的區(qū)間多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題

郭子雪，鄭玉蒙，李雙雙

（河北大學(xué) 管理學(xué)院，河北 保定 071002）

在許多實(shí)際決策問(wèn)題中，由于人們認(rèn)知的局限性以及問(wèn)題的復(fù)雜性，只能獲取某不確定參數(shù)的變動(dòng)范圍，此時(shí)可以采用區(qū)間數(shù)的形式來(lái)表達(dá)不確定信息，因此對(duì)區(qū)間多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的研究具有顯著的現(xiàn)實(shí)意義.目前，對(duì)于區(qū)間多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的求解方法，大部分是將不確定的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為確定的問(wèn)題［1］，再把多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題.喬辰等［2］提出了多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的幾何加權(quán)法，陳朋永等［3］運(yùn)用模糊幾何加權(quán)法研究了電力系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)調(diào)度問(wèn)題，二者均是將多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題；楊亭亭［4］提出了4種求解區(qū)間線性規(guī)劃問(wèn)題的方法，其中BWC方法就是把區(qū)間線性規(guī)劃問(wèn)題分為最好最優(yōu)值模型和最差最優(yōu)值模型；針對(duì)區(qū)間多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的求解方法，郭均鵬［5－6］等人提出：先將區(qū)間多目標(biāo)規(guī)劃轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的確定的多目標(biāo)規(guī)劃［7］，再轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)的區(qū)間規(guī)劃問(wèn)題，通過(guò)求解該單目標(biāo)的區(qū)間規(guī)劃問(wèn)題［8］，得到原區(qū)間多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)值區(qū)間；夏昊冉［9］針對(duì)區(qū)間多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，提出了幾種智能優(yōu)化算法，打破了傳統(tǒng)算法對(duì)函數(shù)性質(zhì)的苛刻要求，解決了一系列非線性、非連續(xù)性問(wèn)題；徐秀梅等［10］針對(duì)含有區(qū)間數(shù)的證券投資組合問(wèn)題，考慮到目標(biāo)函數(shù)的重要性不同，提出了線性加權(quán)和法.

基于區(qū)間多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題中目標(biāo)函數(shù)的重要性不同，本文提出了改進(jìn)的模糊幾何加權(quán)法.該方法不僅考慮了區(qū)間多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的模糊性，而且考慮了各個(gè)目標(biāo)函數(shù)權(quán)重的大小，并通過(guò)求解轉(zhuǎn)化的單目標(biāo)規(guī)劃模型，得到原區(qū)間多目標(biāo)規(guī)劃模型的非劣解以及最優(yōu)值區(qū)間.

1 區(qū)間多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題

1.1 基本概念

考慮如下形式的區(qū)間多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題：

式中X＝（x1，x2，…，xn）T為自變量向量；系數(shù)k＝1，2，…，p；A±為系數(shù)矩陣，每個(gè)元素為相互獨(dú)立的區(qū)間數(shù)，且j＝1，2，…，n，其中，依此類(lèi)推B±為約束條件的右端向量，且

定義1［11］對(duì)于上述區(qū)間多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，任意取…，m，j＝1，2，…，n.由原區(qū)間多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題可以得到確定型的多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，稱(chēng)該確定型多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的一個(gè)有效解為原區(qū)間多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的一個(gè)有效解或非劣解，且該確定型多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的一個(gè)最優(yōu)解為原區(qū)間多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的一個(gè)最優(yōu)解.

1.2 區(qū)間多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的確定型轉(zhuǎn)化

同理，對(duì)系數(shù)矩陣A±中的元素和右端向量B±中的元素做類(lèi)似處理，有

令rkjxj＝skj，qij＝tijxj，則

其中，S＝（sk1，sk2，…，skn）T，k＝1，2，…，p，i＝1，2，…，m.

由此得到如下含參數(shù)的確定的多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題：

2 模糊幾何加權(quán)法求解區(qū)間多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題

2.1 模糊幾何加權(quán)法

模糊幾何加權(quán)法求解多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，考慮到了各個(gè)目標(biāo)函數(shù)的不同重要性，通過(guò)把目標(biāo)函數(shù)的隸屬函數(shù)進(jìn)行幾何加權(quán)來(lái)把多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題.因此通過(guò)對(duì)模型（2）中各個(gè)目標(biāo)函數(shù)的隸屬函數(shù)進(jìn)行幾何加權(quán)，得到如下模型：

其中，wk表示各個(gè)目標(biāo)函數(shù)的權(quán)重，并且表示各目標(biāo)函數(shù)的隸屬函數(shù).為了求解目標(biāo)函數(shù)的隸屬函數(shù)μ（fk（X，S）），首先求解如下單目標(biāo)線性規(guī)劃問(wèn)題（4）和（5）：

設(shè)模型（4）和（5）的最優(yōu)值分別為fk，min和fk，max，可取目標(biāo)函數(shù)的隸屬函數(shù)為

利用最大最小算子法［12－13］，結(jié)合式（6）可以得到模型（3）的等價(jià)模型（7）：

定理1 設(shè)模型（7）的最優(yōu)解為X＊，則X＊為模型（2）的有效解或非劣解.

證明：采用反證法.假設(shè)X＊不是模型（2）的非劣解，那么必定存在一個(gè)改進(jìn)的可行解X＊＊，使得μ（fk（X＊，S＊））≤μ（fk（X＊＊，S＊＊）），即λk（X＊，S＊）≤λk（X＊＊，S＊＊）.設(shè)當(dāng)wk的值一定時(shí)，M 為關(guān)于λk（X，S）的單調(diào)增函數(shù)，因此M（λk（X＊，S＊））≤M（λk（X＊＊，S＊＊））.又由題設(shè)知，X＊為模型（7）的最優(yōu)解，而現(xiàn)在又找到一個(gè)X＊＊，使得M（λk（X＊＊，S＊＊））的值比M（λk（X＊，S＊））的值好，這與題設(shè)相矛盾，因此可得X＊為模型（2）的有效解或非劣解.

模型（7）為含參數(shù)的單目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，可以通過(guò)求解其最優(yōu)模型和最差模型得到原區(qū)間多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)值區(qū)間.

定理2 模型（7）的最優(yōu)模型為

類(lèi)似證明，可得定理3.

定理3 模型（7）的最差模型為

可以證明：由模型（8）、模型（9）解得的λ＋和λ－，分別代表模型（1）中當(dāng)目標(biāo)函數(shù)分別取不同權(quán)重時(shí)的最大總滿(mǎn)意度和最小總滿(mǎn)意度，可得滿(mǎn)意度區(qū)間［λ－，λ＋］.將由模型（8）求得的最優(yōu)解代入原區(qū)間多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題（1）的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)，得到最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值f－k；將由模型（9）求得的最優(yōu)解代入原區(qū)間多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題（1）的最差目標(biāo)函數(shù)，得到目標(biāo)函數(shù)值f＋k.由此可得，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)分別取不同的權(quán)重時(shí)原區(qū)間多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)值區(qū)間，其中k＝1，2，…，p.

2.2 模糊幾何加權(quán)法求解區(qū)間多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的步驟

Step1利用區(qū)間數(shù)的排序函數(shù)以及變量替換的方法把原區(qū)間多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為含參數(shù)的確定型的多目標(biāo)線性規(guī)劃問(wèn)題.

Step2 根據(jù)各個(gè)目標(biāo)函數(shù)的重要性的不同，給定各個(gè)目標(biāo)函數(shù)不同的權(quán)重wk，然后對(duì)每個(gè)目標(biāo)函數(shù)的隸屬函數(shù)進(jìn)行幾何加權(quán)構(gòu)造單目標(biāo)規(guī)劃模型（3）.

Step3 確定模型（3）中各個(gè)目標(biāo)函數(shù)的隸屬函數(shù)μ（fK（X，S））.

Step4 結(jié)合最大最小算子法，得到單目標(biāo)規(guī)劃模型（3）的等價(jià)模型（7）.

Step5 通過(guò)求解單目標(biāo)規(guī)劃模型（7）的最優(yōu)模型和最差模型，得到當(dāng)原區(qū)間多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)分別取不同的權(quán)重時(shí)的非劣解以及最優(yōu)值區(qū)間［f－k，f＋k］.

3 算例分析

設(shè)某應(yīng)急系統(tǒng)有3個(gè)應(yīng)急需求點(diǎn)D1，D2，D3，5個(gè)應(yīng)急物資供應(yīng)點(diǎn)S1，S2，S3，S4，S5.各應(yīng)急需求點(diǎn)的需求量、應(yīng)急物資供應(yīng)點(diǎn)的供應(yīng)量以及從各應(yīng)急物資供應(yīng)點(diǎn)到各需求點(diǎn)調(diào)運(yùn)應(yīng)急物資的運(yùn)輸時(shí)間和單位運(yùn)輸成本等數(shù)據(jù)如表1所示.已知各需求點(diǎn)的目標(biāo)應(yīng)急調(diào)運(yùn)時(shí)間（單位：h）限制期為：T01＝4，T02＝5，T03＝5；各應(yīng)急物資供應(yīng)點(diǎn)的啟用成本（單位：萬(wàn)元）分別為c1＝［130，140］，c2＝［120，140］c3＝［170，200］，c4＝［100，120］，c5＝［180，200］.試確定應(yīng)急物資調(diào)運(yùn)方案使應(yīng)急物資調(diào)運(yùn)的時(shí)間和總費(fèi)用達(dá)到最小.相關(guān)數(shù)據(jù)見(jiàn)表1.

設(shè)xij表示從應(yīng)急物資供應(yīng)點(diǎn)Si運(yùn)往應(yīng)急物資到應(yīng)急需求點(diǎn)Dj的應(yīng)急物資數(shù)量（i＝1，2，3，4，5；j＝1，2，3）；yij為0～1決策變量，當(dāng)應(yīng)急物資供應(yīng)點(diǎn)Si為應(yīng)急需求點(diǎn)Dj提供應(yīng)急物資時(shí)yij取1，否則yij取0；yi為0～1決策變量，當(dāng)啟用應(yīng)急物資供應(yīng)點(diǎn)Si時(shí)yi取1，否則yi取0.則上述問(wèn)題的區(qū)間數(shù)模糊規(guī)劃模型為

表1 應(yīng)急物資運(yùn)輸時(shí)間和單位運(yùn)輸成本等相關(guān)數(shù)據(jù)Tab.1 Emergency supplies transportation time and the unit transportation cost and other relevant data

將上述模型轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的確定型多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，分別求解各單目標(biāo)規(guī)劃可得：

Tmin＝7，Tmax＝14，Cmin＝2 292，Cmax＝3 290.

取w1＝0.6，w2＝0.4，代入模型（8）和（9），解之可得總滿(mǎn)意度區(qū)間和目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值區(qū)間如表2所示：

表2 模糊幾何加權(quán)法的求解結(jié)果Tab.2 Results of fuzzy geometric weighting method

其中，最小總滿(mǎn)意度下和最大總滿(mǎn)意度下的非劣解均為

4 結(jié)論

區(qū)間多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題是實(shí)際決策問(wèn)題中常見(jiàn)的一種形式，研究區(qū)間多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的求解方法具有重要的現(xiàn)實(shí)意義和理論價(jià)值.考慮到區(qū)間多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題中各目標(biāo)函數(shù)重要性的不同，本文提出了一種改進(jìn)的模糊幾何加權(quán)法，該方法通過(guò)定義目標(biāo)函數(shù)的隸屬度函數(shù)，構(gòu)建了與區(qū)間多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題等價(jià)的模糊幾何加權(quán)單目標(biāo)規(guī)劃模型，從而將區(qū)間多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)的區(qū)間規(guī)劃問(wèn)題.最后的算例分析驗(yàn)證了該方法的可行性和有效性.

［1］ 韓世蓮.區(qū)間數(shù)多目標(biāo)多模式運(yùn)輸問(wèn)題的模糊規(guī)劃方法［J］.系統(tǒng)工程理論方法應(yīng)用，2006，15（5）：452－455.HAN Shilian.Fuzzy programming approach for multi－objective solid transportation problem with interval parameters［J］.Systems Engineering－Theory Methodology Applications，2006，15（5）：452－455.

［2］ 喬辰，張國(guó)立.幾何加權(quán)法求解多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題［J］.華北電力大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，38（6）：108－111.QIAO Chen，ZHANG Guoli.Geometric weiheting method for solving multi－objective programming problems［J］.Journal of North China Electric Power University.，2011，38（6）：108－111.

［3］ 陳朋永，趙書(shū)濤，喬辰，等.模糊幾何加權(quán)法求解電力系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)調(diào)度問(wèn)題［J］.電力科學(xué)與工程，2012，28（5）：1－5.CHEN Pengyong，ZHAO Shutao，QIAO Chen，et al.Fuzzy geometric weighting method of solving economic dispatch in power system［J］.Electric Power Science and Engineering，2012，28（5）：1－5.

［4］ 楊亭亭.區(qū)間多目標(biāo)規(guī)劃在區(qū)域水資源優(yōu)化調(diào)度中的應(yīng)用［D］.北京：中國(guó)石油大學(xué)，2011.YANG Tingting.The application of interval multi－objective programming in regional water resources optimal allocation［D］.Beijing：China University of Petroleum，2011.

［5］ 郭均鵬，李汶華.區(qū)間多目標(biāo)線性規(guī)劃的模糊求解方法［J］.系統(tǒng)管理學(xué)報(bào)，2008，17（4）：462－466.GUO Junpeng，LI Wenhua.Fuzzy method to solve interval multi－objective linear programming［J］.Journal of Systems ＆Management，2008，17（4）：462－466.

［6］ 王沖，邱志平.區(qū)間多目標(biāo)線性?xún)?yōu)化的功效系數(shù)求解方法［J］.北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)，2013，39（7）：908－916.WANG Chong，QIU Zhiping.Efficiency coefficient method to solve interval multi－objective liner optimization problems［J］.Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2013，39（7）：908－916.

［7］ ZIMMERMANN H J.Fuzzy programming and linear programming with several objective functions［J］.Fuzzy Sets and Systems，1978，1（1）：44－45.

［8］ 宋業(yè)新，姜禮平，陳綿云.一類(lèi)模糊線性規(guī)劃模型的模糊最優(yōu)區(qū)間值［J］.模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2002，16（2）：86－91.SONG Yexin，JIANG Liping，CHEN Mianyun.Fuzzy optimal interval value for a fuzzy linear programming model［J］.Fuzzy Systems and Mathematics，2002，16（2）：86－91.

［9］ 夏昊冉.區(qū)間系數(shù)多目標(biāo)規(guī)劃的智能優(yōu)化算法［D］.合肥：安徽大學(xué)，2011.XIA Haoran.The intelligent optimization algorithm of multi－objective programming with interval coefficient［D］.Hefei：Anhui University，2011.

［10］ 徐秀梅，孫玉華.基于區(qū)間數(shù)的多目標(biāo)證券投資組合問(wèn)題［J］.濟(jì)南大學(xué)學(xué)報(bào)，2014，28（3）：216－219.XU Xiumei，SUN Yuhua.Multi－objective portfolio selection based on interval number［J］.Journal of University of Jinan，2014，28（3）：216－219.

［11］ 郭均鵬，李汶華.區(qū)間線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)型及其最優(yōu)值區(qū)間［J］.管理科學(xué)學(xué)報(bào)，2004，7（3）：60－63.GUO Junpeng，LI Wenhua.Standard form of interval linear programming and its optimal objective interval value［J］.Journal of Management Sciences in China，2004，7（3）：60－63.

［12］ TONG S.Interval number and fuzzy number linear programming［J］.Fuzzy Sets and Systems，1994，66：301－306.

［13］ BELLMANR E，ZADEH L A.Decision making in a fuzzy environment［J］.Management Science，1970，17：141－164.

［14］ 張吉軍.區(qū)間數(shù)線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2001，23（9）：53－55.ZHANG Jijun.The optimal solution of interval number linear programming problem［J］.Systems Engineering and Electronics，2001，23（9）：53－55.

［15］ 郭子雪，王蘭英，齊美然，等.基于區(qū)間數(shù)信息的區(qū)域應(yīng)急物資儲(chǔ)備庫(kù)選址多目標(biāo)決策模型［J］.災(zāi)害學(xué)，2015，30（2）：148－151.GUO Zixue，WANG Lanying，QI Meiran，et al.A fuzzy multi－objective decision making approach of emergency material storage location based on interval number［J］.Journal of Catastrophology，2015，30（2）：148－151.