未知雜波環(huán)境的GM-PHD平滑濾波器

李翠蕓,江 舟,李 斌,周 旋

(1.西安電子科技大學電子工程學院,陜西西安 710071;2.中國人民解放軍95972部隊,甘肅酒泉735018;3.中國人民解放軍96217部隊,海南三亞 572011)

未知雜波環(huán)境的GM-PHD平滑濾波器

李翠蕓1,江 舟2,李 斌2,周 旋3

(1.西安電子科技大學電子工程學院,陜西西安 710071;2.中國人民解放軍95972部隊,甘肅酒泉735018;3.中國人民解放軍96217部隊,海南三亞 572011)

針對未知雜波環(huán)境下的多目標跟蹤問題,提出一種未知雜波環(huán)境下的高斯混合概率假設密度前向后向平滑算法.該算法首先利用有限混合模型對雜波強度進行估計,克服了多目標跟蹤中概率假設密度濾波器在雜波與先驗知識不匹配情況下濾波性能急劇下降的缺點;其次采用平滑遞歸,利用多個量測數(shù)據(jù)對濾波值進行平滑,進而減小目標的位置誤差.仿真結果表明,這種算法在未知雜波環(huán)境下具有較好的跟蹤性能,且優(yōu)于未進行平滑的未知雜波高斯混合概率假設密度濾波器.

未知雜波;高斯混合概率假設密度;平滑;多目標跟蹤

傳統(tǒng)的多目標跟蹤方法需要將量測數(shù)據(jù)與目標進行關聯(lián)[1-2],而數(shù)據(jù)關聯(lián)由于其組合爆炸特性成為該方法的數(shù)據(jù)負擔.基于隨機有限集統(tǒng)計方法,把多目標的狀態(tài)集和量測集分別用隨機有限集的形式表示,將多目標的估計問題歸結在貝葉斯框架下,避免了復雜的數(shù)據(jù)關聯(lián)計算,得到了學術界的關注.在此基礎上, Mahler[3]提出概率假設密度(Probability Hypothesis Density,PHD)濾波算法,以遞推形式去估計隨機集變量的一階統(tǒng)計量,并從估計的概率假設密度中提取各個目標的狀態(tài),有效地減少了計算量.

在概率假設密度濾波算法中,通常假設雜波信息先驗已知,且其空間分布在可量測的范圍內簡單地服從均勻分布[4],但在實際環(huán)境中雜波復雜且未知.當真實的雜波與其先驗模型不相匹配時,濾波器的跟蹤性能就會急劇下降[5].文獻[5]針對雜波強度未知的情況,提出一種利用有限混合模型估計雜波強度的概率假設密度濾波算法.文獻[6]又提出了一種利用增廣狀態(tài)空間估計未知雜波強度的算法,通過對雜波強度的估計,可以有效地提高目標數(shù)估計精度,但對目標位置估計性能提高較小.平滑濾波可以有效地改進目標跟蹤的位置誤差[7],文獻[7-8]給出了前向后向概率假設密度平滑算法的粒子實現(xiàn).但是,用粒子濾波實現(xiàn)的概率假設密度平滑[7-9]由于其計算復雜、代價過大而應用較少.文獻[10]給出了線性高斯假設條件下的概率假設密度平滑閉合解算法,極大地降低了計算量,使平滑算法應用于概率假設密度濾波器中具有實用性.

針對未知雜波環(huán)境下的多目標跟蹤問題,筆者提出了一種閉合解形式的高斯混合概率假設密度(Gaussian Mixture Probability Hypothesis Density,GM-PHD)前向后向平滑濾波算法.該算法首先對未知雜波強度進行估計,然后將其估計的雜波強度直接運用于概率假設密度濾波中,進行多目標的預測、更新和平滑.

1 雜波強度估計

在概率假設密度濾波中,假設每一時刻的雜波個數(shù)服從泊松分布,則其強度κk(zk)[11]表示為

其中,λ為每一時刻的平均雜波數(shù),C(zk)為雜波的空間分布.

在滿足λ和C(zk)未知且在多目標的檢測和跟蹤過程中都不隨時間變化的條件下,κk(zk)能夠使用時間窗[1,L]內所累計的觀測信息對雜波數(shù)進行預估計.當窗[1,L]的長度達到一定程度時,估計的κk(zk)可以較為精確地近似實際雜波強度.

1.1 雜波數(shù)目估計

假設M={M1,…,ML},M代表雜波量測數(shù)集合,其中,Mk表示k時刻雜波量測數(shù)且服從泊松分布,即

其中,L為時間長度.

設定集合M中的所有元素相互獨立,則λ的似然為

1.2 雜波密度估計

預估計時間里的累計雜波量測可表示為Z={z1,…,zm}.可使用N維有限混合模型來模擬雜波空間分布,即

其中,θ={wj,θj},為有限混合模型的集合參數(shù);wj和θj分別表示混合模型中第j個組成部分的權重和參數(shù).

假設j=1部分為由背景噪聲產生的稀疏雜波,其空間分布為均勻分布.其余部分表示由其他復雜因素產生的雜波,服從高斯分布,即

其中,θ1表示在觀測區(qū)域內的均值.

其中,θj={mj,Pj},j=2,…,N;mj表示第j個組成部分的均值;Pj表示第j個組成部分的方差.

假設預估計時間內累計雜波量測中的所有元素相互獨立,則θ的似然為

θ的極大似然估計值為

在估計有限混合模型參數(shù)中,常用算法有期望極大化(Expectation Maximization,EM)算法和馬爾科夫鏈蒙特卡羅(Markov Chain Monte Carlo,MCMC)算法.筆者采用MCMC算法估計有限混合模型的集合參數(shù)θ,具體算法見文獻[5].

2 概率假設密度平滑濾波器

概率假設密度前向后向平滑算法利用了更多的量測信息,因此能夠提高目標數(shù)和目標狀態(tài)的估計性能.該算法實質上是在傳統(tǒng)概率假設密度濾波算法的基礎上增加了平滑遞歸步驟,其具體步驟如下[7].

步驟1 概率假設密度的預測:

其中,γk+1/k表示k+1時刻新生目標的概率假設密度;Dk|k表示k時刻更新的概率假設密度;pS,k+1|k表示從k時刻到k+1時刻目標的存活概率;fk+1|k表示從k時刻到k+1時刻單目標的狀態(tài)轉移函數(shù).

步驟2 概率假設密度的更新:

其中,Dk+1|k表示從k時刻到k+1時刻預測目標的概率假設密度;pd,k+1表示傳感器的檢測概率;qd,k+1=1-pd,k+1,表示傳感器的漏檢概率;gk+1表示k+1時刻單目標的似然函數(shù);κk+1表示k+1時刻雜波的強度函數(shù).

步驟3 概率假設密度的后向平滑:

其中,Bk|l表示迭代算子;Bl|l=1;Dk|l表示從l時刻到k時刻平滑的概率假設密度,其中k＜l.

獲得平滑值的關鍵是計算迭代算子Bk|l,從Bl|l開始不斷地利用式(14)進行迭代,計算Bl-1|l和Bl-2|l,直到獲得Bk|l,最后利用式(13)計算得到平滑值Dk|l(x).

3 未知雜波環(huán)境下的高斯混合概率假設密度平滑濾波器

雖然線性高斯假設條件下的概率假設密度平滑閉合解算法降低了計算量,使平滑算法在概率假設密度濾波器中具有實用性,但由于平滑算法需要抑制雜波,往往要進行3～5步平滑.因此,算法的計算負擔依然很重.同時,平滑遞歸需要利用平滑值時刻之后的量測信息,這就不可避免地產生時延,而且平滑步數(shù)越多,時延現(xiàn)象就越嚴重[7].而筆者所提未知雜波環(huán)境下的高斯混合概率假設密度平滑算法,由于使用有限混合模型對雜波進行了較為精確的估計,因此只需一步平滑就能對目標狀態(tài)估計進行改善,這樣能夠極大地減少平滑算法的計算量和時延.下面對該算法進行簡單介紹.

假定k-1時刻目標隨機集的概率假設密度參數(shù)是高斯混合形式,即

則未知雜波環(huán)境下的高斯混合概率假設密度平滑算法的具體流程如下所示.

步驟1 估計雜波強度κk(zk)=λC(zk).

首先估計出每一時刻雜波的平均數(shù)目λ,計算過程如節(jié)1.1所示;然后利用MCMC算法估計雜波的空間分布C(zk),計算過程如節(jié)1.2所示.

步驟2 概率假設密度的預測:

其中,F表示狀態(tài)轉移矩陣,pS表示目標的存活概率,Q表示過程噪聲的協(xié)方差表示新生目標強度函數(shù)的參數(shù)表示存活目標強度函數(shù)的參數(shù),Jγ,k表示k時刻新生目標高斯項的數(shù)目,Jk-1表示k-1時刻高斯項的數(shù)目.每個高斯分量預測的均值和協(xié)方差為

步驟3 概率假設密度的更新:假設k時刻預測的概率假設密度是高斯混合形式的,即

則更新后的概率假設密度為

其中,高斯分量的權值、均值和協(xié)方差的計算為

其中,pd表示傳感器的檢測概率,κk表示k時刻雜波的強度函數(shù),zk表示k時刻的量測值,R表示量測噪聲的協(xié)方差,H表示觀測矩陣.

步驟4 概率假設密度的平滑:

在線性高斯系統(tǒng)模型的假設下,Bk|l的表示為

則Dk|l為高斯混合形式,表示形式為

其中,

當k=l-1時,可以得到概率假設密度一階平滑的形式,即

那么,

設密度的平滑為

由于大量的高斯項會在平滑步驟中產生,因此平滑后要對高斯分量進行以下處理:去除權值較小的,合并距離相近的,從而獲取目標的狀態(tài).

4 仿真實驗與分析

對所提的未知雜波環(huán)境下的高斯混合概率假設密度平滑算法和高斯混合概率假設密度算法進行性能仿真.以最優(yōu)子模式分配(Optimal Subpattern Assignment,OSPA)距離作為跟蹤精度的評價標準,其定義式為[12]

其中,X和Z為任意子集,維數(shù)分別為m和n,且m≤n,1≤p＜∞;d(c)(x,z)= min{c,d(x,z)},c＞0;Πk表示{1,…,k}的所有排列組成的集合.若m＞n,則有.其中定位誤差和勢誤差分別為

文中描述的所有算法的目標運動模型均為線性模型,時間為40幀,采樣周期Δ=1 s.目標的狀態(tài)向量其中(cx,k,cy,k)表示目標的位置,表示目標的速度.運動方程為

量測方程為

新生目標隨機集的強度函數(shù)為

在仿真實驗中,真實的雜波平均數(shù)目為50,雜波密度的分布情況為

目標的存活概率pS=0.98,傳感器的檢測概率pd=0.99,OSPA參數(shù)p=2,c=5,高斯項的合并門限為4,高斯項的修剪門限為1×10-3.因一次跟蹤仿真的性能隨機性較大,因此共進行了100次蒙特卡羅實驗來統(tǒng)計不同算法的平均性能.

圖1給出了目標真實的運動軌跡.圖2給出了在未知雜波的環(huán)境下,未預先進行雜波強度的估計就直接進行目標跟蹤的目標數(shù)目的估計.

圖1 目標真實的運動軌跡

圖2 未進行雜波估計的目標數(shù)目均值估計

從圖2可以看出,在未進行雜波強度估計的情況下直接進行目標跟蹤,高斯混合概率假設密度濾波器無法正確估計出目標數(shù).這是由于傳統(tǒng)的高斯混合概率假設密度濾波器都是假設雜波模型先驗已知的.當實際環(huán)境中的雜波與其先驗模型不匹配時,如果不對雜波進行估計,濾波器的跟蹤性能就會變得很差.

圖3分別給出了未知雜波環(huán)境下的高斯混合概率假設密度算法和未知雜波環(huán)境下的高斯混合概率假設密度平滑算法對目標數(shù)目均值的估計情況.從圖中可以看出,在目標數(shù)目估計上兩種算法跟蹤性能相當,都能夠正確地估計出目標的數(shù)目.由此可見,通過有限混合模型可以正確地擬合雜波空間分布并且估計出雜波強度.同時,未知雜波環(huán)境下的高斯混合概率假設密度平滑算法的時延只有一幀,相對于其他平滑算法有了極大的改善.

圖3 目標數(shù)目均值估計

圖4 勢估計和位置估計OSPA距離

圖4分別給出了兩種不同算法對應的OSPA位置誤差和勢誤差.從圖中可以看出,雖然兩種算法的OSPA勢誤差相當,但是未知雜波環(huán)境下的高斯混合概率假設密度平滑算法的OSPA位置誤差相對于未知雜波環(huán)境下的高斯混合概率假設密度算法有明顯的改善,這是因為平滑能夠較大地減小多目標跟蹤的位置誤差.

表1 兩種濾波器跟蹤精度與所耗時間對比

通過表1可知,未知雜波高斯混合概率假設密度平滑濾波器相對于未知雜波高斯混合概率假設密度濾波器在OSPA位置誤差與OSPA勢誤差上均有不同程度上的減少.其中該濾波器的OSPA位置誤差減少了43.8%,OSPA勢誤差減少了15.5%.同時,筆者所提算法也有一定不足.由于該濾波器加入了平滑步驟,因此增加了計算量,相對于未知雜波高斯混合概率假設密度濾波器,該濾波器在時間上多耗用了3.17%.從圖4中可以看出,在目標數(shù)發(fā)生改變的第8幀、13幀與26幀以及目標1與目標2軌跡交叉的第14幀,OSPA勢誤差與位置誤差均有所增加,說明在目標出現(xiàn)變化時該算法性能會出現(xiàn)一定程度的下降.總體而言,未知雜波高斯混合概率假設密度平滑濾波器在保證實時性的前提下提高了目標跟蹤的精度,尤其是在目標的位置精度方面.

5 總 結

在一般基于隨機集的概率假設密度濾波算法中,常預設雜波的空間分布服從均勻分布.但在具體環(huán)境中,由于受復雜的地面環(huán)境或海雜波等因素的影響,雜波空間分布變得復雜且未知.針對該情況,筆者提出了一種未知雜波環(huán)境下的高斯混合概率假設密度前向后向平滑算法,利用有限混合模型較為精確地擬合雜波的空間分布,有效地抑制了雜波.同時引入一步平滑步驟,在克服傳統(tǒng)平滑算法計算量大與時延嚴重的缺點的同時,有效地改進了目標跟蹤的位置誤差.

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(編輯:郭 華)

Gaussian mixture PHD smoothing filter in unknown clutter

LI Cuiyun1,JIANG Zhou2,LI Bin2,ZHOU Xuan3
(1.School of Electronic Engineering,Xidian Univ.,Xi’an 710071,China;2.The Chinese PLA 95972 Troops,Jiuquan 735018,China;3.The Chinese PLA 96217 Troops,Sanya 572011,China)

Aiming at the Multi-target tracking in the unknown clutter environment,this paper proposes a Gaussian Mixture Probability Hypothesis Density(GM-PHD)forward-backward smoothing algorithm, which improves the poor performance of the PHD filter when the clutter model and the prior knowledge are mismatching by estimating the clutter intensity with the finite mixture model.The forward-backward smoothing recursions are applied to improve the state estimation accuracy.Simulation results show that the proposed algorithm performs well in the unknown clutter environment and better than the conventional Gaussian Mixture PHD Filter without smoothing processing in the unknown clutter environment.

unknown clutter;Gaussian mixture probability hypothesis density;smoothing;multitarget tracking

TN953

A

1001-2400(2015)05-0098-07

2014-05-16< class="emphasis_bold">網(wǎng)絡出版時間:

時間:2014-12-23

國家自然科學基金資助項目(61372003);國家自然科學基金青年基金資助項目(61101246,61301289);中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項資金資助項目(K5051202014)

李翠蕓(1976-),女,副教授,博士,E-mail:cyli@xidian.edu.cn.

http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1076.TN.20141223.0946.017.html

10.3969/j.issn.1001-2400.2015.05.017