關(guān)于向量在解決高中數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用研究

李卓潔

摘要：向量是高中數(shù)學(xué)中應(yīng)用廣泛實(shí)用性極強(qiáng)的一部分內(nèi)容，其數(shù)與形結(jié)合的特點(diǎn)，使其成為了高中數(shù)學(xué)課程中最為重要的教學(xué)內(nèi)容和解題手段。高中數(shù)學(xué)多個(gè)部分的知識(shí)可以通過(guò)向量有機(jī)地串聯(lián)起來(lái)，形成一個(gè)統(tǒng)一的整體。對(duì)于此，本文從向量的基本特點(diǎn)出發(fā)，著重分析向量在高中數(shù)學(xué)解題中的實(shí)際應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：向量；高中數(shù)學(xué)；解題應(yīng)用

向量在數(shù)學(xué)中的定義是具有大小和方向的量，存在可移動(dòng)性。作為高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，不僅可以給學(xué)生帶來(lái)新的認(rèn)識(shí)，還可以為學(xué)生提供新的解題方法，更可以加強(qiáng)教師的課堂教學(xué)效果。因此，在實(shí)際數(shù)學(xué)問題中，加強(qiáng)對(duì)向量的應(yīng)用研究尤為重要。

一、向量的內(nèi)涵

向量進(jìn)入數(shù)學(xué)領(lǐng)域是在二十世紀(jì)，但其在十九世紀(jì)就已經(jīng)被物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家進(jìn)行了研究應(yīng)用。我國(guó)在二十世紀(jì)九十年代將向量的相關(guān)知識(shí)納入了高中數(shù)學(xué)，成為了高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)。向量中集合以V表示，V構(gòu)成了向量的加法換算群。在V中，運(yùn)算出向量的數(shù)量積就可以表達(dá)向量的長(zhǎng)度，在向量長(zhǎng)度具有實(shí)際意義之后，（V，R）對(duì)向量相關(guān)的運(yùn)算構(gòu)成了線性范圍。其是數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)，也是其別類別代數(shù)的主要研究對(duì)象。因此，向量可以解決多方面的數(shù)學(xué)難題。向量具備了形和數(shù)的特點(diǎn)，將數(shù)和形聯(lián)系成一體。其可以表示物體的位置，也可以反映物體的面積長(zhǎng)度等基本性質(zhì)。對(duì)于一些抽象性的問題，向量更可以將其具象化，形成直觀的模型，便于問題解決。

二、向量在高中數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用分析

（一）向量在平面幾何中的應(yīng)用

向量的大小和方向可以反映相關(guān)線段或點(diǎn)之間的長(zhǎng)度關(guān)系以及位置關(guān)系。向量根據(jù)不同的性質(zhì)還可以分為平行向量、共線向量和零向量等。在平面幾何中，利用向量知識(shí)來(lái)解決相關(guān)問題，比運(yùn)用幾何知識(shí)解決問題要更加方便。

舉例來(lái)說(shuō)，已知三角形MOA的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為M（-3，1），O（2，0），A（0，-2），線段AO、AM、OM的中點(diǎn)分別為B、C、D，求解相關(guān)直線BC、CD、BD的方程。對(duì)于這個(gè)問題，運(yùn)用向量知識(shí)可以輕松解決。首先可以得出點(diǎn)B坐標(biāo)為（1，-1），點(diǎn)C坐標(biāo)為（-1.5，-0.5），點(diǎn)D坐標(biāo)為（-0.5，0.5）。再求解BC直線方程，設(shè)點(diǎn)H（x，y）為BC上一點(diǎn)，則向量BH和BC平行且共線，通過(guò)平行關(guān)系即可求解出BC的直線方程。同理可解得直線CD、BD的方程。通過(guò)將線段轉(zhuǎn)化為向量，再利用向量的相關(guān)知識(shí)，就輕松解決了問題。在平面幾何問題中運(yùn)用向量時(shí)，一定要將點(diǎn)和線之間的關(guān)系對(duì)應(yīng)清楚，否則會(huì)導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤。

（二）向量在不等式證明中的應(yīng)用

證明條件不等式或者不等式，經(jīng)常需要通過(guò)一些技巧對(duì)不等式進(jìn)行變形處理，否則會(huì)很難證明。此時(shí)運(yùn)用向量知識(shí)來(lái)進(jìn)行相關(guān)變形處理，則會(huì)令問題簡(jiǎn)化，容易證明結(jié)果。

舉例來(lái)說(shuō)，有等式（a2+b2）（m2+n2）=（am+bn）2，其中mn不等于0，求證a/m=b/n。對(duì)于這個(gè)問題，只要細(xì)心觀察等式就能發(fā)現(xiàn)括號(hào)中的部分與向量的模以及數(shù)量積是一樣的。因此可以設(shè)向量P=（a，b），向量Q=（m，n），通過(guò)式子可以看出P和Q之間是平行關(guān)系。所以，通過(guò)平行向量的特點(diǎn)可以得出an-bm=0，再進(jìn)行變換就可得a/m=b/n的結(jié)果。所以，在不等式證明中將相關(guān)數(shù)字轉(zhuǎn)化為向量，可以將抽象的關(guān)系轉(zhuǎn)化為具象的向量的關(guān)系，從而輕松得出結(jié)果。在不等式證明中應(yīng)用向量時(shí)，一定要仔細(xì)觀察不等式的基本特點(diǎn)，找出向量的切入點(diǎn)，再加以運(yùn)用。

（三）向量在解方程中的應(yīng)用

方程解析在高中數(shù)學(xué)中也是很常見的問題，對(duì)于某些方程而言，直接通過(guò)技巧變形很難解出方程，這時(shí)就可以考慮使用向量法來(lái)解決問題。

舉例來(lái)說(shuō)，已知x，y，z可以同時(shí)使方程2x+3y+z=13和4x2+9y2+z2-2x+15y+3z=82成立，求實(shí)數(shù)x，y，z的值。對(duì)于這個(gè)問題，若直接用方程解析的方法很難解出答案，這時(shí)就可以運(yùn)用向量法來(lái)簡(jiǎn)化問題。首先將兩個(gè)方程相加，再對(duì)方程兩端進(jìn)行配方可以得到（2x）2+（3y+3）2+（z+2）2=108；仔細(xì)觀察式子就可以發(fā)現(xiàn)該式與向量模一致，則可以設(shè)向量P=（2x，3y+3，z+2；，向量Q=（1，1，1），經(jīng)過(guò)計(jì)算可得P的模值為6[3]，Q的模值為[3]，向量PQ=18；又因?yàn)镻Q≤|P||Q|=18，并且只有當(dāng)2x=3y+3=z+2>0時(shí)，該不等式才成立。根據(jù)這些條件就可以得出方程的解。

（四）向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)內(nèi)容，也是高考的必考內(nèi)容。通過(guò)向量數(shù)量積，可以將向量與三角函數(shù)有機(jī)結(jié)合起來(lái)，為三角函數(shù)相關(guān)問題提供便利的解決方式。

舉例來(lái)說(shuō)，已知cosa+cosb-cos（a+b）=3/2，求解a，b的值。根據(jù)相關(guān)三角函數(shù)公式，可以對(duì)原式進(jìn)行變形，可以得到（1-cosb）cosa+sinasinb=3/2-cosb。仔細(xì)觀察該式就可以發(fā)現(xiàn)其與向量數(shù)量積一致，則可以設(shè)向量P=（1-cosb，sinb；，向量Q=（cosa，sina），將兩向量相乘可得PQ=3/2-cosb，|P||Q|=[2-2cosb]；再根據(jù)相應(yīng)關(guān)系可得|3/2-cosb|≤[2-2cosb]，相應(yīng)可以得出cosb=1/2，即角b=600，再將其帶入原式，可以得到角a的值。在三角函數(shù)的問題中應(yīng)用向量法，可以簡(jiǎn)化三角函數(shù)的變形步驟，具象三角函數(shù)之間的關(guān)系，將復(fù)雜的問題化為簡(jiǎn)單的向量，大大提高了解題的效率。

結(jié)束語(yǔ)：

向量在高中數(shù)學(xué)中來(lái)說(shuō)，具有極大的實(shí)用性，從平面幾何到空間幾何，從三角函數(shù)到方程不等式，都可以應(yīng)用向量的相關(guān)知識(shí)來(lái)簡(jiǎn)化問題。教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)當(dāng)以向量的實(shí)際應(yīng)用方法展開相關(guān)教學(xué)，不斷提升教學(xué)效率和質(zhì)量。

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