復(fù)變函數(shù)與積分變換的MATLAB解法與可視化的教學(xué)改革研究

王 璐

（黑龍江大學(xué)，黑龍江哈爾濱150080）

《復(fù)變函數(shù)與積分變換》課程是電子、通信、信號(hào)處理等理工科必修的基礎(chǔ)課，數(shù)學(xué)理論的抽象和求解過程的煩瑣，常常會(huì)使學(xué)生產(chǎn)生畏懼從而失去興趣，使教學(xué)效果大打折扣，成為后續(xù)專業(yè)課程學(xué)習(xí)的“攔路虎”。本文討論了利用MATLAB解決在《復(fù)變函數(shù)與積分變換》學(xué)習(xí)中遇到的一些問題。由于相關(guān)書籍大多只介紹MATLAB的基礎(chǔ)用法，基礎(chǔ)多而實(shí)際應(yīng)用少，其中利用MATLAB求解復(fù)變函數(shù)和積分變換的研究就更少，本文的研究重點(diǎn)就在于此。利用MATLAB解決《復(fù)變函數(shù)與積分變換》中的問題，可以節(jié)省人力計(jì)算，提高學(xué)習(xí)效率。通過MATLAB將計(jì)算結(jié)果和復(fù)雜函數(shù)以圖像的形式繪制出來，一方面有利于教學(xué)，另一方面可提高學(xué)生利用MATLAB編程的能力，為今后學(xué)習(xí)打下良好基礎(chǔ)。

1 MATLAB求解復(fù)變函數(shù)

MATLAB提供了大量的數(shù)學(xué)函數(shù)，可大大減少手工計(jì)算量。復(fù)變函數(shù)求導(dǎo)，用到的函數(shù)是diff（function，’variable’，n），而復(fù)變函積分用到的函數(shù)是int（function，variable，a，b）。留數(shù)的計(jì)算可分為兩類。第一類是指復(fù)變函數(shù)的分子和分母都是多項(xiàng)式的形式，函數(shù)命令為［R，P，K］=residue（B，A）。第二類指復(fù)變函數(shù)的分子和分母不是多項(xiàng)式的形式。例如：求f在點(diǎn)的留數(shù)。程序如下：

>>symsz

>>f=（z^2-exp（z））/（z^2-1）

>>r=limit（（z-1）*f，z，1）

>>g=limit（（z+1）*f，z，-1）

泰勒級(jí)數(shù)能夠?qū)⒔馕龊瘮?shù)展開成冪級(jí)數(shù)［3］，這給解析函數(shù)的研究帶來極大方便。例如：求的泰勒級(jí)數(shù)展開，z＜1，程序如下：

>>symsz

>>f=1/（1-z）;

>>taylor（f，10，z）

應(yīng)用MATLAB的繪圖功能可以方便而且直觀地繪制圖形，繪制復(fù)變函數(shù)圖像的命令是plot（）和ezplot（）。例如：繪制復(fù)變函數(shù)z=t+ietsint的圖像，程序如下（圖像如x y 圖1 所示）：

>>symszt

>>t=0:0.01:2*pi;

>>x=t;

>>y=exp（t）.*sin（t）;

>>z=x+i*y;

>>plot（z）;

勒讓德函數(shù)的圖像如圖2所示，貝塞爾函數(shù)的圖像如圖3所示，諾依曼函數(shù)的圖像如圖4所示。

圖1 復(fù)變函數(shù)z 的圖像

圖2 勒讓德多項(xiàng)式的圖像

圖3 貝塞爾函數(shù)的圖像

圖4 諾依曼函數(shù)的圖像

2 MATLAB求解傅里葉積分變換

傅里葉變換是信號(hào)處理等學(xué)科的基礎(chǔ)，通過傅里葉變換可以獲取信號(hào)的頻譜信息，使頻域信號(hào)處理更為方便和直觀。MATLAB求傅里葉變換的函數(shù)格式為fourie（rf，u，v）。例如：求高斯分布函數(shù)的傅里葉變換，程序如下：

>>symsftwxF

>>f=（1/sqr（t2*pi））*exp（-t.^2）

>>F=fourie（rf）

>>symsftwxF

>>f=sin（t）（/pi*t）

>>F=fourie（rf，t）

>>F=-（pi*heaviside（-t-1）-pi*heaviside（1-t））/pi

圖5 傅里葉變換前后對(duì)照?qǐng)D

3 MATLAB求解拉普拉斯積分變換

拉普拉斯變換在物理、力學(xué)以及工程技術(shù)中都有很廣泛的應(yīng)用，基本格式是。例如：求單位階躍函數(shù)的象函數(shù)。程序如下（圖像如圖6 所示）：

>>symsts

>>h=heaviside（t）

例如：求指數(shù)函數(shù)f（t）=4e2t，t>0的拉普拉斯變換，程序如下（圖像如圖7 所示）：

>>symstfFp

>>f=heaviside（t）*4*exp（2*t）;

圖6 原函數(shù)h 的圖像

圖7 原函數(shù)f 的圖像

本文研究了MATLAB在《復(fù)變函數(shù)與積分變換》中的典型應(yīng)用，利用MATLAB簡(jiǎn)化繁瑣的求解過程，并把求解結(jié)果用可視化、動(dòng)態(tài)化的形式直觀地表現(xiàn)出來，既能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又有利于理解問題的本質(zhì)以及解的意義。

［1］賀凱.MATLAB 在復(fù)變函數(shù)與積分變換中的應(yīng)用［J］.沙洲職業(yè)工學(xué)院學(xué)報(bào)，2006，（9）.

［2］石博強(qiáng)，趙金.MATLAB 數(shù)學(xué)計(jì)算與工程分析范例教程［M］.北京：中國(guó)鐵道出版社，2005：181-182.

［3］周夢(mèng)，高宗升.現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)［M］.北京：北京航空航天出版社，2008：55-57.