求解廣義模糊線性系統(tǒng)的一類迭代法

顧 穎, 陳 新

(1.宿遷學院 教師教育系, 江蘇 宿遷 223800; 2.南京師范大學 數(shù)學科學學院, 江蘇 南京 210046)

求解廣義模糊線性系統(tǒng)的一類迭代法

顧 穎1, 陳 新2

(1.宿遷學院 教師教育系, 江蘇 宿遷 223800; 2.南京師范大學 數(shù)學科學學院, 江蘇 南京 210046)

研究給出了求解廣義相容模糊線性系統(tǒng)和不相容系統(tǒng)的一類迭代法,給出兩個數(shù)值例子.結果表明,無論系統(tǒng)相容與否,該迭代法都能快速求出它的極小解或極小最小二乘解.

廣義模糊線性系統(tǒng); 極小解; 極小最小二乘解; 迭代法

0 引言

考慮廣義模糊線性系統(tǒng)

Ax=b

(1)

其中系數(shù)矩陣A為m×n實矩陣,未知項x和右端項y為模糊數(shù).當(1)為相容系統(tǒng)時,求出它的解,否則考慮最小二乘解.在這所有的解或最小二乘解中,人們最為關注的又是具有極小范數(shù)的那一個.

B.Asady[1]通過嵌入式方法,將該問題轉化為一個求解2m×2n線性方程組

(2)

SX=Y

(3)

通過求解此矩陣方程得到當式(1)或式(2)為相容系統(tǒng)時的極小解,但該迭代法的一個主要的局限性是它對不相容的系統(tǒng)是無效的.

本文以矩陣方程(3)為模型,給出了求解廣義模糊線性系統(tǒng)的一種算法.該算法的特點是無需事先判斷系統(tǒng)是否相容,便可直接求出它的極小解或極小最小二乘解.

1 預備知識

其中1≤i≤m則稱模糊數(shù)向量x=(x1,x2,…,xn)T為廣義模糊線性系統(tǒng)的一個解.

將廣義模糊線性系統(tǒng)轉化為矩陣方程(3)，由廣義模糊線性系統(tǒng)(1)中的第i個方程

可得如下方程組

其中1≤i≤m,0≤r≤1，于是,廣義模糊線性系統(tǒng)(1)等價轉化為一個未知量

右端向量

若aij≥0,則

Sij=Si+m,j+n=aij,Si+m,j=Si,j+n=0.

若aij<0,則

因此矩陣方程SX=Y又可寫作

(4)

2 主要結果

對于形如AX=B的矩陣方程,王金林[5]等人給出了求解它的一種有效算法.本文中廣義模糊線性系統(tǒng)轉化所得的矩陣方程(3)或(4)是它的一種特殊情況.現(xiàn)將該算法應用于式(3)或(4),從而得到求解廣義模糊線性系統(tǒng)(1)或(2)的一種算法.

對于式(3),構造迭代格式

Xk+1=Xk+βSTRk,Rk=Y-SXk,k=0,1,2，…，

初始值X0=STD(D為任一2m×2矩陣);β為一非零實數(shù),當且僅當β滿足

(5)

時,迭代法收斂,其中?表示克羅內克乘積.為了節(jié)約存儲空間并減少計算量,現(xiàn)依據(jù)矩陣方程(3)的另一種形式(4)書寫該算法.

算法: 1)選取滿足式(5)的實數(shù)β和任意兩個m×2階矩陣D1,D2;

3)令k=1;

如果‖Xk+1-Xk‖

根據(jù)文[5]的結論,若矩陣方程(3)或(4)相容,迭代法所得結果為它的極小解,否則為極小最小二乘解.據(jù)此可知,若廣義模糊線性系統(tǒng)(1)或(2)相容,則本算法所得結果為其極小解;若不相容,則結果為其極小最小二乘解.相比 Feng[4]的算法,該算法無需事先判斷系統(tǒng)相容與否便可直接進行求解.

3 數(shù)值例子

例1[2]考慮2×3相容廣義模糊線性系統(tǒng)

在Zheng[2]等人通過計算系數(shù)矩陣S的Moore-Penrose 逆求得該相容模糊系統(tǒng)的極小解.此處應用本算法,利用 Matlab 編程計算,只需迭代40次,耗時0.092016s便可得到如下近似解

其誤差不超過1.0×10-7.

由此進一步得到原模糊線性系統(tǒng)的極小解為

若 Feng[4]的算法僅需3步便可得到如上精度的解,但是它僅對相容的廣義模糊線性系統(tǒng)有效.

例2[3]考慮2×3不相容廣義模糊線性系統(tǒng)

在 Wang[3]等人通過計算系數(shù)矩陣S的 Moore-Penrose 逆求得該不相容模糊系統(tǒng)的極小最小二乘解.此處應用本算法,利用 Matlab 編程計算,迭代40次,耗時0.118716s得到

其誤差不超過1.0×10-7.

由此進一步得到原不相容模糊線性系統(tǒng)的極小最小二乘解為

因為這是不相容的系統(tǒng),所以Feng[4]的算法對本例無效.

[1]Asady B,Abbasbandy S,Alavi M. Fuzzy general linear systems[J]. Applied Mathematics and Computation,2005,169(1):34-40.

[2]Zheng B,Wang K. General fuzzy linear system[J]. Applied Mathematics and Computation,2006,181(2):1276-1286.

[3]Wang K, Zheng B. Inconsistent fuzzy linear system[J]. Applied Mathematics and Computation,2006,181(2):973-981.

[4]Feng Y. An iterative method for fuzzy linear systems[J]. in: Fifth Interational conference on Fuzzy Systems and Knowledge Discovery (FSKD’08), IEEE, 2008,1(1):565-569.

[5]王金林, 張帆.一類矩陣方程的迭代解法[J].南昌航空大學學報:自然科學版,2008, 22(1): 40-42.

GU Ying1, CHEN Xin2

[責任編輯：李春紅]

AnIterativeMethodforSolvingGeneralFuzzyLinearSystems

(1.Department of Teachers Education, Suqian College, Suqian Jiangsu 223800, China);

(2.School of Mathematical Science, Nanjing Normal University, Nanjing Jiangsu 210046, China)

It studies an iterative method for solving consistent and inconsistent general fuzzy linear systems. Two numerical examples are given to illustrate that the minimal solution or minimal least squares solution can be obtained quickly by this method no matter the system is consistent or not.

general fuzzy linear systems; minimal solution; minimal least squares solution; iterative method

2015-03-29

國家自然科學基金資助項目(11271196); 江蘇省教育廳自然科學研究基金資助項目(07KJD110094)

顧穎(1986-),女,江蘇宿遷人,講師,碩士,研究方向為數(shù)值代數(shù). E-mail: guying-1986@126.com

O241

: A

: 1671-6876(2015)02-0100-04