考慮扭轉(zhuǎn)和畸變效應(yīng)的薄壁箱梁超收斂單元研究

陳建芳，李 偉，謝雯馨，羅振先

(1.廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院工程防災(zāi)與結(jié)構(gòu)安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西 南寧 530004；2.鄭州市市政工程勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院廣州分院，廣東 廣州 510640)

考慮扭轉(zhuǎn)和畸變效應(yīng)的薄壁箱梁超收斂單元研究

陳建芳1，李 偉2，謝雯馨1，羅振先1

(1.廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院工程防災(zāi)與結(jié)構(gòu)安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西 南寧 530004；2.鄭州市市政工程勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院廣州分院，廣東 廣州 510640)

文章基于Benscoter梁理論和箱梁畸變理論，建立了一個(gè)關(guān)于薄壁箱梁約束扭轉(zhuǎn)問題的2節(jié)點(diǎn)8自由度的超收斂單元，該單元可以精確考慮薄壁箱梁的扭轉(zhuǎn)和畸變效應(yīng)，只需一個(gè)單元就可得到精確解。通過與Vlasov的廣義坐標(biāo)法進(jìn)行算例比較，證明該單元有較高的精度。

薄壁箱梁；約束扭轉(zhuǎn)；畸變；單元

0 引言

薄壁梁由于其強(qiáng)度高、重量輕和材料利用率高的特點(diǎn)，被廣泛用于許多工程應(yīng)用中。特別是具有封閉橫截面的薄壁梁，具有較高的抗扭和抗彎性能。由于閉口薄壁截面變形的復(fù)雜性，在橋梁結(jié)構(gòu)和一些重要結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)中，扭轉(zhuǎn)和畸變效應(yīng)是非常重要的考慮因素。

有許多良好的有限梁?jiǎn)卧际腔赥imoshenko梁理論，但是這些梁?jiǎn)卧荒茌^為全面地考慮閉口薄壁梁[1]，傳統(tǒng)的梁?jiǎn)卧ǔ＞哂辛鶄€(gè)自由度，三個(gè)平動(dòng)位移和三個(gè)轉(zhuǎn)角位移，而忽略了橫截面的變形，導(dǎo)致高估了梁的剛度。Vlasov提出了一套較為全面的關(guān)于矩形薄壁箱梁的翹曲和畸變研究理論，在此基礎(chǔ)上，對(duì)于薄壁梁的翹曲和畸變效應(yīng)已經(jīng)進(jìn)行了大量研究，Vlasov提出了關(guān)于閉口薄壁梁計(jì)算的廣義坐標(biāo)法，該方法放棄了開口薄壁梁理論中的“剛周邊”和“中面無剪應(yīng)變”兩個(gè)假定，利用變量分離法將二維問題轉(zhuǎn)化成一維問題[2]，該理論計(jì)算精度高，但計(jì)算費(fèi)時(shí)[3]。Kim[1]基于廣義坐標(biāo)法利用拉格朗日插值推導(dǎo)出的單元?jiǎng)偠染仃嚪奖懔擞?jì)算，但仍需劃分較多單元才能得到收斂解。韋芳芳[4]在廣義坐標(biāo)法初參數(shù)方程的基礎(chǔ)上，通過矩陣子塊轉(zhuǎn)換的方式推導(dǎo)出在均布扭矩作用下薄壁箱梁翹曲分析的單元?jiǎng)偠染仃?。?duì)于閉口薄壁箱梁的畸變效應(yīng)，文獻(xiàn)[5]介紹的傳統(tǒng)的箱梁畸變微分方程已廣泛用于箱梁的畸變分析。本文基于Benscoer梁理論和傳統(tǒng)的箱梁畸變計(jì)算理論，采用非多項(xiàng)式插值，建立了一個(gè)2節(jié)點(diǎn)8自由度的約束扭轉(zhuǎn)梁?jiǎn)卧?/p>

1 基于廣義坐標(biāo)法的單元?jiǎng)偠染仃?/h2>

Vlasov提出的廣義坐標(biāo)法適用于由平板圍成的閉口截面梁考慮截面變形的約束扭轉(zhuǎn)分析，該理論推導(dǎo)的箱梁約束扭轉(zhuǎn)微分方程如下[6]：

f(6)-2r2f(4)+s4f(2)=0

(1)

式(1)可通過初參數(shù)法求的解析解，但對(duì)于一些復(fù)雜結(jié)構(gòu)，很多時(shí)候求解是較為困難的，因此，常需用數(shù)值方法來計(jì)算，文獻(xiàn)[1]采用拉格朗日插值推導(dǎo)出薄壁箱梁約束扭轉(zhuǎn)下的單元?jiǎng)偠染仃嚕?/p>

(2)

該單元?jiǎng)偠染仃嚳梢酝瑫r(shí)考慮扭轉(zhuǎn)和畸變效應(yīng)，以及兩者之間的耦合作用，但需要?jiǎng)澐州^多單元時(shí)才能得到收斂解。

2 基于Benscoter梁理論的扭轉(zhuǎn)單元?jiǎng)偠染仃?/h2>

傳統(tǒng)的Vlasov開口薄壁梁理論考慮了約束扭轉(zhuǎn)引起的翹曲位移，但忽略了截面在厚度方向的橫向剪應(yīng)變，對(duì)于開口薄壁截面影響較小，但對(duì)于閉口薄壁截面將產(chǎn)生較大的誤差。

Vlasov給出的開口薄壁桿件的翹曲位移：

ux=ω(y，z)θ′(x)

(3)

Benscoter采取一個(gè)翹曲函數(shù)Ψ替換扭率θ′，縱向的翹曲位移則為[7]：

u=ω(s，ζ)Ψ(x)

(4)

其中ω仍為Vlasov理論中假設(shè)的廣義扇形坐標(biāo)，但考慮了厚度方向的橫向剪切變形。

圖1 薄壁梁截面曲線坐標(biāo)圖

薄壁梁截面的曲線坐標(biāo)如圖1所示，假設(shè)薄壁梁截面上任意一點(diǎn)p的位移為：

u(x，s，ζ)=ω(s，ζ)Ψ(x)

vqt(x，s，ζ)=-(rn(s))+ζ)θx(x)

(5)

vqn(x，s，ζ)=rt(s)θx(x)

式(5)中u為縱向翹曲位移，vqt為s方向的切向位移，vqn為法向位移。

由位移函數(shù)根據(jù)幾何方程和物理方程得到應(yīng)變和應(yīng)力，再應(yīng)用虛功原理得到微分方程：

Ψ=θ′+αθ?

θ″″-γ2θ″=0，

(6)

采用式(4)的齊次解作為插值函數(shù)，再由內(nèi)外虛功相等得到控制方程：

[kθ]{uθ}={fθ}

(7)

其中

(8)

{uθ}=[θx1Ψ1θx2Ψ2]T；

當(dāng)單元上作用均布扭矩mx時(shí)，等效節(jié)點(diǎn)荷載：

[fθ]=[Mθ1Bθ1Mθ2Bθ2]T

3 畸變荷載下的畸變計(jì)算理論

(9)

采用齊次解作為插值函數(shù)，得到單元?jiǎng)偠染仃嚪匠蹋?/p>

[kχ]{uχ}={fχ}

(10)

(11)

4 建立同時(shí)考慮扭轉(zhuǎn)和畸變效應(yīng)的閉口薄壁梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃?/h2>

Vlasov的廣義坐標(biāo)法已成為閉口薄壁梁的扭轉(zhuǎn)和畸變效應(yīng)研究的基礎(chǔ)，并且計(jì)算精度高，但計(jì)算費(fèi)時(shí)，盡管在廣義坐標(biāo)法的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出的有限元格式方便了計(jì)算，但對(duì)單元?jiǎng)澐謹(jǐn)?shù)要求較高，本文結(jié)合前面推導(dǎo)的扭轉(zhuǎn)單元?jiǎng)偠染仃嚭突兝碚撓碌膯卧獎(jiǎng)偠染仃嚕⒘艘粋€(gè)2節(jié)點(diǎn)8自由度的閉口薄壁梁?jiǎn)卧?/p>

在此不考慮扭轉(zhuǎn)與畸變之間的耦合作用，采用直接剛度法，形成單元?jiǎng)偠染仃嚕?/p>

(12)

節(jié)點(diǎn)位移列陣和均布扭矩下等效節(jié)點(diǎn)荷載列陣分別為：

{u}=[θx1Ψ1χ1χ′1θx2Ψ2χ2x′2]T；

{f}=[Mθ1Bθ1Mχ1Bχ1Mθ2Bθ2Mχ2Bχ2]T。

5 算例分析

為了驗(yàn)證本文推導(dǎo)出的單元?jiǎng)偠染仃嚨恼_性，采用文獻(xiàn)[3]的算例與廣義坐標(biāo)法的解析解進(jìn)行比較，矩形閉口薄壁梁一端固定，一端自由，尺寸如圖2所示，自由端受一集中扭矩Mx=1 000N·cm，其中彈性模量E=2.1×107N/cm2，泊松比μ=0.25，均勻等壁厚t=1cm。

圖2 懸臂梁所受荷載和尺寸圖

采用文獻(xiàn)[6]的單元?jiǎng)偠染仃囉?jì)算結(jié)果如表1(表中只列出自由端的扭轉(zhuǎn)角和畸變角)所示：

表1 文獻(xiàn)[6]方法計(jì)算結(jié)果分析比較表

從表1中的計(jì)算結(jié)果可以看出，按文獻(xiàn)[6]方法計(jì)算，當(dāng)劃分到20個(gè)單元時(shí)畸變角的計(jì)算結(jié)果才收斂，即逼近廣義坐標(biāo)法的解析解2.628×10-5rad。

表2 本文方法與廣義坐標(biāo)法解析解的比較表

從表2中的計(jì)算結(jié)果可以看出，采用本文單元計(jì)算時(shí)，只劃分了一個(gè)單元就可以得到自由端的收斂解，與廣義坐標(biāo)法解析解的計(jì)算結(jié)果相當(dāng)吻合。當(dāng)劃分10個(gè)單元時(shí)，本文方法與廣義坐標(biāo)法解析解的比較如圖3所示，顯然，在梁的各個(gè)橫截面上，用本文方法計(jì)算得到的扭轉(zhuǎn)角與畸變角的值與廣義坐標(biāo)法解析解的計(jì)算結(jié)果幾乎完全吻合。

圖3 懸臂梁扭轉(zhuǎn)角和畸變角比較示意圖

再看一個(gè)源自文獻(xiàn)[6]的算例，兩端固支受均布扭矩mx=1 000 N·cm/cm，如圖4所示，比較梁各橫截面上的扭轉(zhuǎn)角和畸變角。

圖4 兩端固支梁受均布扭矩圖

本文方法劃分10個(gè)單元時(shí)，與廣義坐標(biāo)法的解析解比較扭轉(zhuǎn)角和畸變角的計(jì)算結(jié)果，如圖5所示。

圖5 兩端固支梁受均布扭矩計(jì)算結(jié)果對(duì)比圖

從圖5的計(jì)算結(jié)果可以看出，在均布扭矩作用下，本文方法的計(jì)算結(jié)果與廣義坐標(biāo)法的解析解非常吻合，具有較高的計(jì)算精度和效率。

6 結(jié)語

從算例分析結(jié)果可以看出，本文推導(dǎo)的2節(jié)點(diǎn)8自由度的閉口薄壁扭轉(zhuǎn)梁?jiǎn)卧?jì)算的結(jié)果與Vlasov的廣義坐標(biāo)法計(jì)算結(jié)果相當(dāng)吻合，可以同時(shí)考慮扭轉(zhuǎn)和畸變效應(yīng)，是一個(gè)超收斂單元，對(duì)于工程應(yīng)用具有較高的實(shí)用價(jià)值，計(jì)算效率高，并且有較高的計(jì)算精度。

[1]Kim Y Y，Kim J H.Thin-walled Closed Box Beam Element for Static and Dynamics Analysis[J].International Journal for Numerical Methods in Engineering，1999，45(4)：473-490.

[2]楊綠峰，趙艷林，李桂青.閉口薄壁桿件約束扭轉(zhuǎn)計(jì)算的樣條里茲法[J].工程力學(xué)，1999，1(1)：181-187.

[3]鮑永方，黃文彬.矩形箱梁約束扭轉(zhuǎn)理論的分析與比較[J].工程力學(xué)，1997，14(3)：132-137.

[4]韋芳芳，吳 京，馮 健，等.薄壁箱梁廣義坐標(biāo)法剛度矩陣的推導(dǎo)及應(yīng)用[J].計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)，2007，24(5)：693-697.

[5]周 履.單室矩形箱梁畸變計(jì)算[J].橋梁建設(shè)，1980(4)：1-45.

[6]包世華，周 堅(jiān).薄壁桿件結(jié)構(gòu)力學(xué)[M].北京：中國(guó)建筑工業(yè)出版社，2006.

[7]Shakourzadeh H，Guo Y Q，Batoz J L.A Torsion Bending Element for Thin-walled Beams with Open and Closed Cross Sections[J].Computers & Structures，1995，55(6)：1045-1054.

[8]謝 旭，黃劍源.薄壁箱形梁橋約束扭轉(zhuǎn)下翹曲、畸變和剪滯效應(yīng)的空間分析[J].土木工程學(xué)報(bào)，1995，28(4)：3-14.

Research on Super-convergent Element of Thin-walled Box Girder Considering the Torsion and Distortion Effects

CHEN Jian-fang1，LI Wei2，XIE Wen-xin1，LUO Zhen-xian1

(1.Key Laboratory of Disaster Prevention and Structural Safety of Ministry of Education，College of Civil Engineering and Architecture，Guangxi University，Nanning 530004，China)

2.Guangzhou Branch of Zhengzhou City Municipal Engineering Design & Research Institute，Guangzhou 510640，China)

This article，based on Benscoter beam theory and box girder distortion theory，established a 2-node super-convergent element with 8 degrees of freedom about restrained torsion problem of thin-walled box girder，this element can accurately consider the torsion and distortion effect of thin-walled box girders，only one element is needed to get the exact solution.Through calculation comparison with Vlasov’s generalized coordinate method，it proved that this element has a higher accuracy.

Thin-walled box girder；Restraint torsion；Distortion；Element

陳建芳(1962—)，副教授，碩士生導(dǎo)師，主要從事計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)及其工程應(yīng)用方面的研究工作。

廣西理工科學(xué)實(shí)驗(yàn)中心重點(diǎn)項(xiàng)目(LGZX20 1101)；廣西自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2013GXNSF BA019237)

U448.21+3

A

10.13282/j.cnki.wccst.2015.07.008

1673-4874(2015)07-0029-05

2015-06-08