試論概率論在積分中的應(yīng)用

鐘志波

【摘要】概率論是一門(mén)研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的學(xué)科。概率論作為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支和其它分支學(xué)科之間是相互交叉和滲透的。本文探討概率論在計(jì)算積分和多重積分極限等方面的應(yīng)用，并通過(guò)實(shí)例進(jìn)行了分析，進(jìn)一步說(shuō)明概率論在解決積分問(wèn)題中的獨(dú)特性和簡(jiǎn)捷性。

【關(guān)鍵詞】概率 積分 勒貝格控制收斂定理 辛欽大數(shù)定律

【中圖分類(lèi)號(hào)】O211 【文獻(xiàn) 概率論是一門(mén)研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的學(xué)科.概率論作為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支和其它分支學(xué)科之間是相互交叉和滲透的.因?yàn)殡S機(jī)現(xiàn)象的普遍性，使得概率論具有極其廣泛的應(yīng)用.由于概率解法在其它方面的應(yīng)用已成為數(shù)學(xué)研究的一個(gè)很重要的內(nèi)容之一，因此學(xué)習(xí)概率論的解法具有一定的應(yīng)用價(jià)值。

本文通過(guò)一些實(shí)例的分析，探討了概率論與積分兩者之間的聯(lián)系，進(jìn)一步說(shuō)明概率論在積分中的應(yīng)用，一方面顯示出概率論的方法與思想在解決積分問(wèn)題中的獨(dú)特性和簡(jiǎn)捷性，另一方面也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科間的深刻聯(lián)系。

1.預(yù)備知識(shí)

定義1 若隨機(jī)變量X的概率密度為f（x）=1/（b-a），a

則稱(chēng)X在區(qū)間（a，b）上服從均勻分布，記為X～U（a，b）.此時(shí)X的數(shù)學(xué)期望E（X）為■，方差D（X）為■.

定義2 若隨機(jī)變量X的概率密度為f（x）=■e■，x>0，？茲>00，其它

則稱(chēng)X服從參數(shù)為？茲的指數(shù)分布，簡(jiǎn)記為X～e（？茲）.此時(shí)x的數(shù)學(xué)期望E（X）為？茲，方差D（X）為？茲2。

定義3 若隨機(jī)變量的概率密度為：

f（x）=■e■，-∞

則稱(chēng)X服從參數(shù)為？滋和？滓2的正態(tài)分布，記為X-N（？滋，？滓2），其中？滋和？滓（？滓>0）都是常數(shù)，此時(shí)X的數(shù)學(xué)期望E（X）為？滋，方差D（X）為？滓2.

定義 4 若二維隨機(jī)變量（X，Y）具有概率密度

f（x，y）=■e■，

其中？滋1，？滋2，？滓1，？滓2，？籽均為常數(shù)，且？滓1>0，？滓2>0，？籽<1，則稱(chēng)（X，Y）服從參數(shù)為？滋1，？滋2，？滓1，？滓2，p的二維正態(tài)分布，記為（X，Y）～N（？滋1，？滋2，？滓1，？滓2，？籽），其中（X，Y）關(guān)于X，關(guān)于Y的邊緣分布均為正態(tài)分布，分別為X～N（？滋1，？滓12），X-N（？滋2，？滓22）。

引理1[1] 設(shè)？孜■，n≥1是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，服從[0，1]上的均勻分布，而f是R上的實(shí)值連續(xù)且周期為1的周期函數(shù)，則對(duì)？坌x∈R，有■■fx+？孜■→∫■■ f（u）du

注：當(dāng)x=0時(shí)，如果f是[0，1]上的實(shí)值連續(xù)函數(shù)，那么結(jié)論亦成立.

引理2[2]（勒貝格控制收斂定理）設(shè)

（1）{fn}是可測(cè)集E上的可測(cè)函數(shù)數(shù)列；

（2）fn（x）≤F（x）幾乎處處收斂于E，n=1，2，…，且F（x）在E上可積分；

（3）fn（x）→f（x），

則f（x）在E上可積且■∫■fn（x）dx=∫■f（x）dx

引理3[3] （辛欽大數(shù)定律）

設(shè){？孜■}為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，并且a=E？孜k（k=1，2，…，n）存在，則{？孜■}服從大數(shù)定律，即對(duì)任意？著>0，有■P（■■？孜k-a<？著）=1

2.構(gòu)造概率模型計(jì)算積分

指數(shù)分布、正態(tài)分布都是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的重要分布，用它們的性質(zhì)計(jì)算積分不但可以使積分運(yùn)算過(guò)程簡(jiǎn)單，而且還能夠解決微積分中原函數(shù)無(wú)法用初等函數(shù)表示的積分運(yùn)算。

例1 計(jì)算∫■■（6x2+7x+8）e-3xdx.

解： 如果用廣義積分的分布積分法可直接求解，但要用到兩次分布積分法，并要求極限.由于這里的被積函數(shù)中含有因式e-3x，可看作是參數(shù)為？姿=3的指數(shù)分布概率密度函數(shù)的一部分，故利用指數(shù)分布隨機(jī)變量X～e（3），得

∫■■（6x2+7x+8）e-3xdx

=■∫■■（6x2+7x+8）3e-3xdx

=■E（6X■+7X+8）=2E（X■）+■E（X）+■

∵E（X）=■，D（X）=■，E（X■）=D（X）+E（X）■=■

∴ ■■∫■■（6x2+7x+8）e-3xdx=2·■+■·■+■=■.

例2 ■（ax2+bx+c）e-（ix■+jx+k）dx的值。

解： 直接計(jì)算是比較麻煩的。現(xiàn)利用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差公式以及分布函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算。

如果隨機(jī)變量？孜服從正態(tài)分布N（？滋，？滓2），則E（？孜）=？滋，D（？孜）=？滓2，于是

■（ax2+bx+c）e-（ix■+jx+k）dx

=e■a■x2e■dx+b■xe■■dx+c■e■dx

=e■a■■x2■dx+b■■x■dx+c■

=e■a■E（？孜■）+B■E（？孜）+C■

=e■a■（D（？孜■）+[E（？孜）■]■）+b■E（？孜）+c■

=e■[a■■+■+b■-■+c■]

=e■■■+■-■+c. （？鄢）

以此結(jié)果可計(jì)算■e■dx的值。將a=0，b=0，c=1，i=1，j=0，k=0代入（？鄢）可求出此積分結(jié)果為■，這在數(shù)學(xué)積分中是一種很重要的積分。

運(yùn)用概率積分的特性，引進(jìn)正態(tài)隨機(jī)變量不僅可以簡(jiǎn)化積分的運(yùn)算，而且可求出數(shù)學(xué)分析中原函數(shù)無(wú)法用初等函數(shù)表示的積分。

3.構(gòu)造概率模型求多重積分極限

求多重積分時(shí)，用普通的近似方法往往無(wú)法實(shí)現(xiàn)，因?yàn)?，這時(shí)所需的運(yùn)算次數(shù)是非常驚人的.通過(guò)構(gòu)造獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量運(yùn)用辛欽大數(shù)定律與勒貝格控制收斂定理，可獲得n重積分（n很大時(shí)）的近似值，從而解決一些分析中較難處理的多重積分問(wèn)題。

例3 證明 ■■■…■■dx■dx■…dxn=■.

證： 構(gòu)造如下概率模型：設(shè)隨機(jī)變量？孜1，？孜2，…，？孜n相互獨(dú)立且服從相同的均勻分布U[0，1].則？孜1，？孜2，…，？孜n服從分布

f（x1，x2，…xn）=1，當(dāng)0≤x■≤1，i=1，2，…，n0，其它.

而■■…■■dx■dx■…dxn-■≤■■…■■-■dx■dx■…dxn

=■■■■■-■dx■dx■…dxn+■■■■■-■dx■dx■…dxn

其中

A=（x■，x■，…，x■）■■x■■-■≤？著，■■x■■-■≤？著，0≤x■≤1，i=1，2，…，n，？坌？著≥0（？鄢？鄢）

當(dāng)0≤x■≤1，i=1，2，…，n時(shí)，■-■有界，即存在常數(shù)M>0，使■-■≤M

故■■■■■-■dx■dx■…dxn≤M■■■■dx■dx■…dxn

≤M·P■■x■■-■≥？著+M·P■■x■■-■≥？著

又 E（x■■）=■， E（x■■）=■

由引理3可知

■P■■x■■-■≥？著=0，■P■■x■■-■≥？著=0

于是得

■■■■■■-■dx■dx■…dxn=0

另一方面，■■■■■■-■dx■dx■…dxn=■■■■■dx■dx■…dxn= ■■■■■

■dx■dx■…dxn≤■

所以■■■■■■■-■dx■dx■…dxn=0

因此由（？鄢？鄢）式可得■■■…■■dx■dx■…dxn=■.

注：可加以推廣，得■■■…■■dx■dx■…dxn=■（q>p>0）.

例4 證明■■■…■（■）n■dx■dx■…dxn=■ln2.

證：作變換y=■x，x∈（0，■]

則 x=■y，y∈（0，1]

于是■■…■（■）n■dx■dx■…dxn=■■…■■dy■dy■…dyn考慮獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列{？孜n，n≥1}，且？孜n-U[0，1]，令ηn=■■■？孜i，？孜n=■■■？孜i

因f（y）=tan■y，g（y）■y是[0，1]上的連續(xù)函數(shù)，由引理1，得

ηn→■tan■ydy=-■lncos x│■■=■ln2

？孜n→■■ydy=■

從而序列{ηn/？孜n，n≥1}依概率收斂，且ηn/？孜n→■

又當(dāng)y∈（0，1]時(shí)，0

由引理2，得E（ηn/？孜n）→E■=

■=■ln2/■=■ln2

故

■■■…■（■）n■dx■dx■…dxn

■■■…■■dy■dy■…dyn

■E（ηn/？孜n）=■=■ln2.

類(lèi)似還可以證明

■■■…■（■）n■dx■dx■…dxn=■.

參考文獻(xiàn)：

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[3]熊丹.例談概率論在積分計(jì)算中的巧妙引用[J].科技信息.2007，9：142.標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2015）03-0133-02