平面截圓柱生成截口曲線為橢圓的相關(guān)問題

陳麗萍　彭思言　呂慧明

【摘要】比利時(shí)數(shù)學(xué)家丹德林于1822年就已給出了平面截圓錐生成截口曲線為橢圓的證明方法。用丹德林的方法可以證明，用一個(gè)平面去截圓柱，得到的截口曲線也是橢圓。本文在其基礎(chǔ)上，更進(jìn)一步，尋找到了橢圓中的定值與截面和圓柱之間明確的數(shù)量關(guān)系。此結(jié)論對(duì)于中學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)橢圓有很大的幫助。

【關(guān)鍵詞】橢圓 常數(shù) 影響因素

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2015）03-0253-02

我們已經(jīng)熟知，平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)（大于兩定點(diǎn)間的距離）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。橢圓與科研、生產(chǎn)以及人類的生活有著密切的關(guān)系。例如，天體中一些行星運(yùn)行的軌道是橢圓，一些電影放映燈泡反射鏡面的橫截面就是橢圓的部分。又如在圓柱形的試管中盛一半水，將試管傾斜一個(gè)角度，水面的邊界就是橢圓。

那么，水面的邊界為什么就是一個(gè)橢圓呢？我們可以從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，然后做進(jìn)一步的研究?？蓪⒃嚬艹橄蟪蓤A柱體，將水面抽象成一個(gè)平面，水面的邊界就是平面與圓柱體相交生成的截面曲線。如圖1所示：

我們不妨先做一些預(yù)備工作。如果將一個(gè)球放入圓柱內(nèi)，且它的半徑與圓柱面的底面半徑相等，那么球與圓柱的交線為一個(gè)圓，就說該球與圓柱相切。如圖2，我們把兩個(gè)球O1，O2放入圓柱內(nèi)，使他們位于平面α的兩側(cè)，且每一個(gè)球既與圓柱相切，又與平面α相切，像這樣的球稱為丹德林球。已知球O1，O2與平面α分別切于點(diǎn)F1和點(diǎn)F2，取截面曲線C上任意一點(diǎn)P，連接PF1，PF2。過點(diǎn)P的圓柱的母線交圓MM1于F1'，交圓NN1于F2'。由于PF1， PF1'同是球O1的切線，所以有PF1= PF1' ，同理PF2= PF2'

F1' F2' 為一常數(shù)，且大于F1 F2，由橢圓的定義，可知平面斜截圓柱面時(shí)，生成的截面曲線是橢圓[1]。

我們只知道F1' F2' 的長(zhǎng)度為一常數(shù)，這一常數(shù)與截面和圓柱的哪些要素有關(guān)呢？是否有具體的數(shù)量關(guān)系呢？不妨在圖2的基礎(chǔ)上做一些輔助線，得到圖3：

通過圖3可知，F(xiàn)1' F2' = MN，因此我們只需再研究常數(shù)MN 的長(zhǎng)度與截面和圓柱的哪些要素有關(guān)。為簡(jiǎn)化圖形，抽取出平面MO1O2N ，標(biāo)出相應(yīng)的點(diǎn)和線，得到圖4。其中A為橢圓長(zhǎng)軸與圓柱母線的一個(gè)交點(diǎn)，不難得到一定的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系。設(shè)圓柱面的底面圓半徑為R，則有 O1 M=O1 F1=O2 F2=O2 N=R，還有 O1 F1⊥AF1，O2 F2⊥AF2。接下來，再設(shè)平面與圓柱面的軸所成的角為β，即∠NAF2=β ，由三角形全等易知，。

通過上式，我們知道平面斜截圓柱生成截口曲線為橢圓中的這一常數(shù)與圓柱的底面半徑有關(guān)，還與圓柱母線和截平面的夾角有關(guān)，它們之間存在著明確的數(shù)量關(guān)系。當(dāng)二者為一定值時(shí)，截口曲線上任意一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和為一常數(shù)，所以截口曲線為橢圓。用控制變量法可進(jìn)一步分析，用平面去斜截兩個(gè)底面不同的圓柱，當(dāng)截平面與圓柱母線的夾角相同時(shí)，圓柱底面半徑大的這一常數(shù)就大，反之，圓柱底面半徑小的這一常數(shù)就小。如果用不同平面斜截同一個(gè)圓柱，此時(shí)圓柱母線與截平面的夾角不相同，根據(jù)正弦函數(shù)的特點(diǎn)，不妨只看二者所形成的那個(gè)較小的角。夾角在，夾角小的對(duì)應(yīng)的常數(shù)值反而大，夾角大的對(duì)應(yīng)的常數(shù)值反而小。如果圓柱的底面半徑不同，夾角也不同，那么就要通過具體的數(shù)量關(guān)系計(jì)算了。

參考文獻(xiàn)

[1] 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》A版選修1-1.北京：人民教育出版社，2007年2月第三版