中學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)與培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)的研究

謝芬芳　任北上　劉立明

【摘要】在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師的任務(wù)不僅僅是傳授給學(xué)生數(shù)學(xué)知識，更應(yīng)該培養(yǎng)他們良好的思維品質(zhì) 。培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)是教學(xué)的精髓與核心，良好的思維品質(zhì)可以讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人 。而通過解題教學(xué)，教師能夠很好地培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性、靈活性、縝密性、批判性和創(chuàng)造性。

【關(guān)鍵詞】中學(xué)數(shù)學(xué) 解題教學(xué) 思維品質(zhì)

【中圖分類號】G633.6 【文獻標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）04-0048-03

如今的中學(xué)數(shù)學(xué)教育中，解題教學(xué)占據(jù)愈來愈重要的地位。而多數(shù)教師在解題教學(xué)時卻僅限于數(shù)學(xué)知識的傳授，傳授給學(xué)生的僅僅是同類題目的解題方法和技巧，在這種教學(xué)方法長期熏陶下，學(xué)生也盲目迷信題海戰(zhàn)術(shù)。雖然解題技能或許有了些提升，但學(xué)習(xí)成績往往還是不理想，尤其是數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)修養(yǎng)更是難以得到提高。認真分析緣由，筆者認為，問題普遍就出在思維品質(zhì)上。因此在解題教學(xué)中，教師不僅僅應(yīng)該教會學(xué)生解題方法和解題技巧，更應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì) ，使學(xué)生能夠成為學(xué)習(xí)的主人！

1培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性

如何進行學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)和訓(xùn)練，我以為首先是思維敏捷性的培養(yǎng)。思維敏捷性是指思維活動的速度或迅速程度 。學(xué)生思維具有敏捷性往往表現(xiàn)在能敏銳地抓住問題的本質(zhì)，擅長選擇有用的信息且擅長運用直覺思維并周密地考慮，能夠避免走彎路并能在較短時間內(nèi)給出解決辦法，即能夠迅速而準(zhǔn)確地作出判斷或推測 。

教師要在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中實現(xiàn)思維敏捷性的訓(xùn)練目的。首先，在講解數(shù)學(xué)概念、定律時，要讓學(xué)生理解其本質(zhì)，便于記憶及靈活運用。其次，可以針對某些典型題目和學(xué)生一起研究是否存在特殊解法；最后，可以要求學(xué)生在一定時間內(nèi)完成相應(yīng)的練習(xí)，提高學(xué)生運算速度和解題速度。只有這樣，學(xué)生才能深度理解數(shù)學(xué)知識，并能在此基礎(chǔ)上快速準(zhǔn)確地解答。

例1 等比數(shù)列的概念：一般地，假如一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比均為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就稱為等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母 表示。

在講解等比數(shù)列的概念時，應(yīng)當(dāng)在適當(dāng)時候提醒學(xué)生幾點：

（1）q 不能等于0：因為等比數(shù)列的每一項有作分母的可能，因此每一項均不為0，所以q也不為0；

（2）公比q為每一項與前一項的比，而不是后一項與前一項的比，防止顛倒相鄰兩項的比的次序；

（3）“從第2項起”的原因是因為首項沒有“前一項”，同時應(yīng)當(dāng)特別注意：如果一個數(shù)列并非從第2項起，而是從第3項或第4項起每一項與它前一項的比都是同一個常數(shù)，此數(shù)列依然不是等比數(shù)列，這時可以說此數(shù)列從第2項或第3項起是一個等比數(shù)列；

（4）在已知等比數(shù)列的和 q的前提下，利用通項公式可以求出等比數(shù)列中的任一項；

（5）在已知等比數(shù)列中任兩項的前提下，使用可以求出等比數(shù)列中任意一項。

經(jīng)過這樣的提醒，學(xué)生可以更深層次地領(lǐng)會等比數(shù)列的概念，解題時候也更易迅速而準(zhǔn)確地作出判斷。

例2 對于總有f（x）≥0成立，則 .

一般解法

解 當(dāng)x=0時，∴f（x）=1，無論取什么值，f（x）≥0都成立；當(dāng)x>0時，可以化為，

設(shè)，則，所以g（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，從而；當(dāng)x<0即x∈[-1，0）時，可化為，則，

所以g（x）在區(qū)間[-1，0）上單調(diào)遞增，∴g（x）min=g（-1）=4，從而.

又因所求的值應(yīng)當(dāng)同時令x=0，x>0，x<0均成立，故取交集得：.

點評：這種類型的題目，學(xué)生一般會選擇先分離參數(shù)，然后轉(zhuǎn)換為函數(shù)的最值問題，分情況討論。但是此時，分離參數(shù)有三種可能的情況，其中兩種情況要通過求導(dǎo)、研究單調(diào)性求最值，運算較繁瑣。

2 一題多解，促進學(xué)生思維的靈活性

除了培養(yǎng)思維敏捷性之外，還應(yīng)當(dāng)培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。思維的靈活性是指能夠根據(jù)情況的變化及時修正原有的思路和方法[1]35，擺脫常規(guī)、繁瑣甚至錯誤的思路和方法，探索正確或更佳的解決問題的途徑，即隨機應(yīng)變[3]741。學(xué)生思維具有靈活性往往表現(xiàn)在解題的思路開闊，方法多樣，解法巧妙。

在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)鼓勵學(xué)生積極聯(lián)想，通過典型例題引導(dǎo)他們根據(jù)問題的結(jié)構(gòu)特點進行多角度思考，提倡一題多解。即在解題的時候，要求學(xué)生用一種方法把題目解出來后，鼓勵他們進一步思考，看看有沒有其他的解法，必要的時候可以要求學(xué)生少做一些題，但是每道題都要用兩種或者兩種以上的方法解答 ，從而提升學(xué)生思維的靈活性。

例3 實數(shù)x、y滿足，若x+y-k>0恒成立，求k的取值范圍。

方法一（數(shù)形結(jié)合法）

解 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，不等式所表示的區(qū)域為直線所分平面成的兩部分中含x軸正方向的那一部分。

這道題不等式恒成立問題便轉(zhuǎn)化為圖形問題：橢圓上的點始終位于平面上的區(qū)域.即當(dāng)直線在與橢圓下部相切的切線之下，且直線與橢圓相切時，方程組有相等的一組實數(shù)解，消元后由△=0可求得k=-3，

所以k<-3時原不等式恒成立。

方法二（三角換元法）

分析 經(jīng)過觀察，可以發(fā)現(xiàn)已知條件與有相似之處，這個時候可以考慮用三角換元法。

解 由，

即：，代入不等式x+y-k>0，

得：3cosθ+4sinθ-k>0 ，即k<3cosθ+4sinθ=5sin（θ+），

所以k<-5時不等式恒成立。

點評：一般而言，在遇到與圓、橢圓、雙曲線等有關(guān)問題時，經(jīng)常會使用到“三角換元法”。

例4 求函數(shù)的值域。

方法一（判別式法）

解

方法二（單調(diào)性法）

解 先判斷函數(shù)的單調(diào)性：

任取x1，x2，令0

當(dāng)0f（x2），此時f（x）在（0，1]上是減函數(shù)，

當(dāng)2

由f（x）在（0，1]上是減函數(shù)，f（x）在（2，+∞）上是增函數(shù)，

則當(dāng)x=1時，f（x）有最小值2，即值域為[2，+ ∞）。

方法三（配方法）

解 ，

當(dāng)時，x=1.

此時，f（x）有最小值2，即值域為[2，+∞）.

方法四（基本不等式法）

解 ，

f（2）有最小值2，即值域為[2，+∞）.

3仔細觀察，塑造學(xué)生的思維縝密性

教師還應(yīng)當(dāng)培養(yǎng)學(xué)生思維的縝密性。思維的縝密性是指在解題的過程中，能夠認真并且嚴格地檢查條件的可能性及推理的正確性，并敏銳地做出推測或者判斷.學(xué)生思維具有縝密性往往表現(xiàn)在拿到一道題目，能迅速提取題目的要求和各種信息，同時考慮到各種可能。

面對一道數(shù)學(xué)題，數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)首先要求學(xué)生仔細觀察，明確什么是題目要求的，什么是已知條件……其次，在分析題目的過程中，要適當(dāng)引導(dǎo)，慢慢教會學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)，抓住題目隱藏的數(shù)學(xué)信息及解決該題目所需要的基本數(shù)學(xué)關(guān)系，認真并嚴格地檢查每一個條件的各種可能性并作出準(zhǔn)確的判斷 ，使學(xué)生思維的縝密性得到提升。

例5 求函數(shù)的極大值或極小值.

解 當(dāng)x>0時，

根據(jù)不等式，

則有，

當(dāng)且僅當(dāng)即時，.

當(dāng)x<0時，，

當(dāng)且僅當(dāng)即時，.

點評：在不等式中，等號成立的前提條件是且b>0，學(xué)生在解題的時候容易忽略這一個前提條件而只對x>0的情況進行討論，漏掉了對x<0情況的討論.這就要求學(xué)生在解題的時候考慮到每一個條件的各種可能性，以防有“漏網(wǎng)之魚”而影響答案的準(zhǔn)確性.

4 對比分析，提升學(xué)生的思維的批判性

其次，思維的批判性也是十分重要的。思維的批判性是指思維活動過程中具有洞察、獨立分析和評估的過程.學(xué)生思維具有批判性表現(xiàn)在見解獨到，敢于懷疑，善于發(fā)現(xiàn)并提出問題并發(fā)表不同的看法[1]35，同時不易受其他因素干擾，辨識能力較強，能夠有意識地去檢查結(jié)果并及時糾正.

在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師可以有意識地去布置一些錯誤的例子，先引導(dǎo)學(xué)生進行錯解辨析[6]，發(fā)現(xiàn)問題的實質(zhì)，然后將題目的錯解與正解進行對比，思考錯解與正解的思路與方法的異同，從而讓學(xué)生能夠在自己解題的過程中，可以及時檢查和調(diào)整自己的思維活動過程，及時發(fā)現(xiàn)錯誤并且糾正.同時，還應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生及時總結(jié)自己在數(shù)學(xué)解題過程中走過的彎路、犯錯的原因并吸取教訓(xùn)。這不僅能提升自身的辨誤水平，更有助于思維的批判性的培養(yǎng).

例6 已知函數(shù)在x=±1處有極值.

（1）討論f（1）和f（-1）是函數(shù)的極大值還是極小值.

（2）過點A（0，16）作曲線y=f（x）的切線，求該切線方程.

解（錯解） （1）.依題意，.

即，解得.

令f '（x）=0，得x=±1.

當(dāng)x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），f '（x）>0，所以f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上都是增函數(shù)；

當(dāng)x∈（-1，1），則f '（x）<0，所以f（x）在（-1，1）上是減函數(shù).

∴f（-1）=2是極大值，f（1）=-2是極小值.

（2）Qf '（x）=3x2-3，∴過點A（0，16），因此過點A的切線斜率為k=-3，∴所求的切線方程是y=-3.

錯解原因：第（1）問解答正確了；第（2）問解答錯了，錯誤的原因是誤把A（0，16）當(dāng)成了切點，其實只要把A（0，16）代入原函數(shù)，就能很容易地發(fā)現(xiàn)其不在曲線上，因此A（0，16）不可能成為切點，所以本題要求切線方程應(yīng)先求切點坐標(biāo)。

解（正解） （1）.依題意，f '（1）=f '（-1）=0.

即，解得.

，

令f '（x）=0，得x=±1.

當(dāng)x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），f '（x）>0，故f '（x）在（-∞，-1）和 （1，+∞）上都是增函數(shù)；

當(dāng)x∈（-1，1），則f '（x）<0，所以f（x）在（-1，1）上是減函數(shù).

∴f（-1）=2是極大值，f（1）=-2是極小值.

（2）曲線方程為y=f（x）=x3-3x ，點A（0，16） 不在曲線上。設(shè)切點M（x0，y0） ，點M在曲線上，∴y0=x30-3x0 .

因y0=x30-3x0，故切線方程為∴y-y0=（x30-3x0） （x-x0）

∵點M在曲線上，則有16-（x20-0）=3（x20-1）（0-x0），

化簡得x30=-8，即x0=-2.

5 改編題目，提煉學(xué)生思維的創(chuàng)造性

最后，進行學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)和訓(xùn)練，還應(yīng)當(dāng)培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性。思維的創(chuàng)造性是指能夠根據(jù)一定的目的，運用一切已知信息，通過思維去探索、突破、綜合、創(chuàng)新，從而發(fā)現(xiàn)和解決自己或別人所未解決的問題，從而創(chuàng)造出對社會和個人有價值的思維成果 .學(xué)生思維具有創(chuàng)造性往往表現(xiàn)為善于獨立思考問題，不拘常法，勇于創(chuàng)新，擅長創(chuàng)造性地提出問題并解決問題 .

教師在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)鼓勵學(xué)生每解答完一道題目后，便在自己的知識水平范圍內(nèi)多次改編題目，如變更題目目的，變更條件等并解答.

例7 原題的定義域為R，求m的取值范圍.

解 因為根號內(nèi)的內(nèi)容必須大于或者等于0，由題意mx2+8x+4≥0在R上成立，

∴m且△≤0，得m≥4.

變式1的定義域為R，求m的取值范圍.

解 在對數(shù)函數(shù)中，真數(shù)的取值范圍為大于0，由題意mx2+8x+>0在R上恒成立，∴m>0且△≤0，得m>4.

點評變式1：原題中，考察的是根號內(nèi)的內(nèi)容的取值范圍，變式 在原題的基礎(chǔ)上，增加了考察對數(shù)函數(shù)中真數(shù)的取值范圍.

變式2f（x）=log3（mx2+8x+4） 的值域為R，求m的取值范圍.

解 令t=mx2+8x+4 ，則要求t能取到所有大于0的實數(shù)，

∴當(dāng)m=0時，t能取到所有大于0的實數(shù)，

當(dāng)m≠0時，m>0且 ，

∴0≤m≤4 .

點評變式2：變式2考察的范圍與原題和變式2相比，略有不同且更加廣泛，首先需要從f（x）的值域推出f（x）的中真數(shù)的取值范圍，接著考察一元二次方程組中因為x2系數(shù)變化而產(chǎn)生的多種可能，最后再將各種可能的結(jié)果合并.

通過改編題目，學(xué)生不僅能夠?qū)⒏鞣N不同的數(shù)學(xué)知識融會貫通，更能促進學(xué)生思維的創(chuàng)造性的形成及提升.

結(jié)束語

教育有法，教無定法，貴在得法。教師應(yīng)當(dāng)在解題教學(xué)過程中不斷總結(jié)、反思、探索與創(chuàng)新，在實踐中得出培養(yǎng)學(xué)生各種思維品質(zhì)的相對應(yīng)的教學(xué)方案，應(yīng)用到日后的解題教學(xué)中去，從而有效避免學(xué)生盲目使用題海戰(zhàn)術(shù)成績依然不理想的結(jié)局，并能夠不斷優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生逐步提升自己的思維水平，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中越來越游刃有余.

參考文獻：

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基金項目：

廣西研究生教育創(chuàng)新計劃資助項目（JGY2014092）； 2012年度新世紀(jì)廣西高等教育教學(xué)改革工程A類項目（2012JGA162）； 2014年校級教學(xué)方法改革專項立項項目； 2014年廣西師范學(xué)院新增博士授權(quán)教育學(xué)學(xué)科建設(shè)資助校級科研項目； 2014年度校級精品視頻公開課立項項目