高等代數(shù)在抽象代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

李瀏蘭　周立君　歐陽夢倩　羅李平

摘 要 高等代數(shù)為抽象代數(shù)教學(xué)提供了很多模型和例子，本文從變換、等價關(guān)系、群、環(huán)、域、零因子和環(huán)上的運算規(guī)律等方面具體闡述如何在抽象代數(shù)教學(xué)中應(yīng)用高等代數(shù)知識.

關(guān)鍵詞 抽象代數(shù)；高等代數(shù)；數(shù)學(xué)專業(yè)

中圖分類號 G642 文獻標(biāo)識碼 A 文章編號 1000-2537（2015）03-0091-04

高等代數(shù)是數(shù)學(xué)專業(yè)一門重要的基礎(chǔ)課程，為學(xué)生學(xué)習(xí)抽象代數(shù)提供了必要的基礎(chǔ)[1-4].抽象代數(shù)是數(shù)學(xué)專業(yè)的必修課程，是對高等代數(shù)中出現(xiàn)的數(shù)域、多項式等概念進一步抽象概括，是高等代數(shù)的繼續(xù)和高度抽象化[5-8].因此，高等代數(shù)為抽象代數(shù)提供了很多具體的模型.

高等代數(shù)和抽象代數(shù)聯(lián)系緊密，但鮮有學(xué)生能領(lǐng)悟到它們之間的關(guān)系.學(xué)生普遍認為，高等代數(shù)比較容易接受和理解，抽象代數(shù)難以理解[9-13].作為一名教師，要利用學(xué)生熟知的高等代數(shù)知識引入定義或設(shè)為例子，使學(xué)生接受“抽象代數(shù)知識來源于熟悉的模型”這一觀念.本文將從以下知識點入手，探討如何在抽象代數(shù)教學(xué)中應(yīng)用高等代數(shù)知識.

1 “變換”概念的鞏固

一個集合A到A的映射稱為A上的一個變換.教材[8]首先給出變換的定義，隨之給出3個簡單例子，學(xué)生基本上能掌握這個概念.但是教材[8]中沒有適合學(xué)生做的課后習(xí)題，為了鞏固學(xué)生所學(xué)的知識，可布置這樣一道課后習(xí)題：高等代數(shù)書[4]中也有“變換”和“線性變換”這兩個概念，請同學(xué)們分析[4]中的變換和這里的變換有什么關(guān)系.到下次上課前，先幫助學(xué)生溫習(xí)變換的概念，再檢查其課后作業(yè)，最后總結(jié)：高等代數(shù)中所提到的變換是某個線性空間到自身的映射，線性變換是線性空間上的變換并保線性性，而抽象代數(shù)中的變換是指任何集合到自身的映射.

2 “等價關(guān)系”概念的引入

等價關(guān)系是集合A上的一個關(guān)系，并滿足自反性，對稱性和傳遞性.在教材[8]中，作者先給出關(guān)系的概念和一個關(guān)系（不是等價關(guān)系）的例子，再直接給出等價關(guān)系的概念.如果引入不當(dāng)，學(xué)生比較難以接受等價關(guān)系這一概念.事實上，等價關(guān)系的例子在高等代數(shù)書中很多，可信手拈來.因此，可以提前布置學(xué)生去復(fù)習(xí)高等代數(shù)中的矩陣“合同”和“相似”等概念，看這些概念具有什么共性.在講述“等價關(guān)系”之前，先給出實數(shù)集R上的n×n階矩陣集合Mn（R），并分別給出該集合上的“合同”和“相似”等關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)它們不僅是Mn（R）上的關(guān)系，并且都具有自反性、對稱性和傳遞性，然后自然地引出“等價關(guān)系”的概念.學(xué)生恍然大悟：原來等價關(guān)系并不陌生，在高等代數(shù)中已經(jīng)接觸過.如果要進一步鞏固該內(nèi)容，還可以引導(dǎo)學(xué)生分析Mn（R）上的矩陣秩相同關(guān)系，整數(shù)集Z上的模4同余關(guān)系等，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)來自于高等代數(shù)的某些例子也是等價關(guān)系.

3 群、環(huán)和域概念的處理

在教材[8]中，作者給出群的第一定義和第二定義，并證明了這兩個定義的等價性.課堂上先給出第一定義，并引導(dǎo)學(xué)生理解Ζ關(guān)于普通加法，非零整數(shù)集合關(guān)于普通乘法按照第一定義都是群，接著由第一定義推導(dǎo)出第二定義，由第二定義又推導(dǎo)出第三定義：一個非空集合G，對于其上的一個運算滿足封閉性，滿足結(jié)合律，存在一個單位元，每個元素都有逆元，則G關(guān)于該運算是群，由第三定義推導(dǎo)出第一定義，這樣即證明了三個定義的等價性，并將重點放在第三定義.有了第三定義后，提問：Mn（R）關(guān)于矩陣加法是群嗎？Mn（R）中的可逆矩陣集合關(guān)于矩陣乘法是群嗎？同時，讓學(xué)生翻閱教材[4]中關(guān)于矩陣加法和矩陣乘法的定義及性質(zhì)，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)：Mn（R）關(guān)于矩陣加法滿足封閉性與結(jié)合律，零矩陣是單位元，每個矩陣的逆元是其負矩陣，因此Mn（R）關(guān)于矩陣加法是群；Mn（R）中的可逆矩陣集合關(guān)于矩陣乘法也構(gòu)成群.進一步，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：矩陣加法滿足交換律，因此Mn（R）關(guān)于矩陣加法是交換群；而矩陣乘法不滿足交換律，因此Mn（R）中的可逆矩陣集合關(guān)于矩陣乘法不是交換群.接著，再告訴學(xué)生：高等代數(shù)中還有很多群的例子，請同學(xué)們把這些例子全部找出來.學(xué)生通過總結(jié)，找出了一元實系數(shù)多項式集合R[x]關(guān)于多項式加法是群、實數(shù)集R上的n維行（列）向量的全體關(guān)于向量加法構(gòu)成群等.

可類似地處理環(huán)和域概念的講解與鞏固，這樣不僅促使學(xué)生去復(fù)習(xí)高等代數(shù)知識，讓學(xué)生深刻領(lǐng)悟到：群、環(huán)和域等概念是對高等代數(shù)中出現(xiàn)的數(shù)域、多項式、矩陣和線性空間等概念的進一步抽象概括，也讓學(xué)生逐漸意識到抽象代數(shù)并不是那么抽象，抽象代數(shù)的模型是現(xiàn)實中有例可循的，更增強了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)積極性.

4 零因子

零因子對學(xué)生來說是個全新的概念，教材[8]中先給出了整數(shù)模n的剩余類環(huán)Zn的例子：當(dāng)n是合數(shù)時，存在兩個不是零元的元素相乘卻是零元，接著給出了零因子的概念：在一個環(huán)里，a≠0， b≠0，但ab=0，則稱a是這個環(huán)的一個左零因子，b是一個右零因子，若一個元素既是左零因子又是右零因子，則稱其為零因子，最后還舉了一個比較抽象的例子和一個比較泛的矩陣環(huán)的例子.雖然Zn在抽象代數(shù)中經(jīng)常出現(xiàn)，但是畢竟該環(huán)是通過模n取余運算構(gòu)成的環(huán)，該運算跟學(xué)生以前學(xué)過的運算有很大的區(qū)別，對學(xué)生來說仍具有一定的抽象性，而書上列舉的矩陣環(huán)的例子只說該環(huán)有零因子，并沒有列舉具體的零因子.如果完全按教材的編排按部就班地講解，學(xué)生很容易忘記.這時，不妨引導(dǎo)學(xué)生回想：Mn（R）中兩個非零的矩陣相乘會是零矩陣嗎？大部分學(xué)生知道這是可能發(fā)生的，但是還有少數(shù)學(xué)生可能忘記相應(yīng)的高等代數(shù)知識了，這時給出如下例子.

通過該例告訴學(xué)生A是環(huán)S的左零因子而B是環(huán)S的右零因子，這樣學(xué)生基本上知道零因子這個概念了.接著，再提問：“一個環(huán)上的左（右）零因子是零元嗎？一個環(huán)內(nèi)的左零因子一定是右零因子嗎？一個環(huán)內(nèi)的右零因子一定是左零因子嗎？”可繼續(xù)利用例1，讓學(xué)生在環(huán)S里面找個矩陣C使得BC=02×2，學(xué)生通過簡單的計算發(fā)現(xiàn)C必須為零矩陣，所以B是環(huán)S的右零因子但不是環(huán)S的左零因子，也就是說一個環(huán)內(nèi)的右零因子并不一定是左零因子，反之，一個環(huán)內(nèi)的左零因子并不一定是右零因子，再進一步強調(diào)一個環(huán)上的左（右）零因子一定不是零元.

通過例1的講解，學(xué)生對零因子已經(jīng)不陌生了，這時采用啟發(fā)式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生去解答：一個環(huán)里面哪些元可能是零因子，哪些元一定不是零因子.先給出如下例子.

例2 環(huán)Mn（R）中的可逆矩陣是零因子嗎？

學(xué)生通過計算發(fā)現(xiàn)，可逆矩陣不是環(huán)Mn（R）的零因子，好奇的學(xué)生自然會問：為什么會出現(xiàn)這種情況呢？不妨適時地提醒學(xué)生：可逆矩陣是環(huán)Mn（R）中具有逆元的元素，是不是只要有逆，這個元素就一定不可能是左（或右）零因子呢？一些學(xué)生可能還持懷疑態(tài)度，給出下面的結(jié)論：

結(jié)論1 設(shè)a在環(huán)R中有逆元a-1，則a一定不是環(huán)R的左（或右）零因子.

下面證明這個結(jié)論：設(shè)b∈R使得ab=0，則a-1ab=a-10=0b=0，則a不是環(huán)R的左零因子，同理a不是環(huán)R的右零因子.

通過前面的教學(xué)，學(xué)生對零因子這個概念已經(jīng)有了深刻的理解，但還有可挖掘的內(nèi)容，學(xué)生暫時想不到，但是只要一個提問，學(xué)生就能自己找到新的結(jié)論，所以進一步提問：下列陳述對嗎？

環(huán)內(nèi)有左零因子環(huán)內(nèi)有右零因子；

環(huán)內(nèi)有右零因子環(huán)內(nèi)一定有左零因子.

利用例2，還可以啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)零因子與消去律的關(guān)系，讓學(xué)生真正掌握零因子這一概念的內(nèi)涵與外延.

5 環(huán)上的運算規(guī)律

在環(huán)上有兩種運算：一種稱為加法；另一種稱做乘法.當(dāng)然這些加法和乘法并不一定是普通的加法和乘法，關(guān)于加法構(gòu)成交換群，關(guān)于乘法滿足結(jié)合律和封閉性，這兩種運算通過分配律聯(lián)系起來.對應(yīng)地，有一些環(huán)內(nèi)的運算規(guī)律，這些運算規(guī)則繁多，學(xué)生一下子難以理解和消化，不妨采用列表的方式將環(huán)內(nèi)的運算規(guī)律和Mn（R）上的矩陣運算規(guī)律加以比較，見表1.通過表1的比較，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：環(huán)內(nèi)的運算規(guī)律和Mn（R）上的矩陣運算規(guī)律類似，因為學(xué)生已經(jīng)熟悉Mn（R）上的運算規(guī)律，學(xué)生可以利用表1的比較來加深對環(huán)內(nèi)的運算法則的理解.

總之，高等代數(shù)為抽象代數(shù)提供了很多例子，作為一名教師，利用好這兩門課程之間的關(guān)系，架構(gòu)從高等代數(shù)到抽象代數(shù)的橋梁，能夠幫助學(xué)生跨越從高等代數(shù)到抽象代數(shù)的鴻溝.

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（編輯 胡文杰）