輕繩模型之豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)條件分析

陳學(xué)剛

（重慶市梁平中學(xué) 重慶 405200）

在學(xué)習(xí)了汽車過(guò)拱橋和凹橋的圓周運(yùn)動(dòng)實(shí)例之后，教師們都會(huì)給出這樣一個(gè)情境：一輕繩一端拴一可視為質(zhì)點(diǎn)的小球，輕繩長(zhǎng)R，使小球繞輕繩的另一端在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng).分析小球在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)所滿足的條件.

通常在最高點(diǎn)對(duì)小球進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析得出（受力分析如圖1）

從上式看得出來(lái)，速度越小，繩子的拉力將越小.由于繩子只能是拉力，所以繩子的最小拉力為零.于是有

解得

于是進(jìn)一步給出結(jié)論：小球恰好能在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的條件是在最高點(diǎn)的速度為.然而這一結(jié)論對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)接受起來(lái)非常困難.教學(xué)過(guò)程中學(xué)生提出了一些問(wèn)題促使筆者做出本文完善了上述推導(dǎo)，并提出了更合理的解決辦法.

圖1

1 問(wèn)題分析

教學(xué)過(guò)程中學(xué)生的困惑基本上有兩點(diǎn)：

其一，前面的推導(dǎo)只得出了我們想當(dāng)然的圓周運(yùn)動(dòng)“最高點(diǎn)”處的最小速度而當(dāng)小球在“最高點(diǎn)”的速度時(shí)，小球在豎直面內(nèi)一定做的是圓周運(yùn)動(dòng)嗎？

其二，最高點(diǎn)處的速度為什么就不能等于零？

2 問(wèn)題解決

2.1 從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度分析

圖2

圖3

以最高點(diǎn)為原點(diǎn)作正交坐標(biāo)系，建立方程

計(jì)算運(yùn)動(dòng)過(guò)程中小球與圓心的距離

由于輕繩不可伸長(zhǎng)，小球在繩子的約束下只能沿圓周往下運(yùn)動(dòng).

如圖2，設(shè)小球從右邊往上運(yùn)動(dòng)至最高點(diǎn)，若是從圓周上的某點(diǎn)在圓內(nèi)斜拋而上，那么根據(jù)斜拋運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性可知，左邊的運(yùn)動(dòng)將是平拋，與前面的推證不符，所以不可能是從圓周上的某點(diǎn)斜拋而上至最高點(diǎn)，而只能是沿圓周而上，再次到達(dá)最高點(diǎn)速度變?yōu)椋ㄟ@一過(guò)程是滿足機(jī)械能守恒條件的）.換言之，小球在圓周最高點(diǎn)的速度為時(shí)，小球在豎直平面內(nèi)做的是圓周運(yùn)動(dòng)，從而解決了學(xué)生的第一個(gè)問(wèn)題.

2.2 從動(dòng)力學(xué)角度分析

有一個(gè)事實(shí)我們很容易想到，在上述情境中若是小球做圓周運(yùn)動(dòng)，那么繩子將一直被拉直.因?yàn)樽鰣A周運(yùn)動(dòng)需要向心力，除在最高點(diǎn)重力（指向圓心）完全用來(lái)提供向心力而可以不需繩子拉力外，其他地方就必須有指向圓心的繩子拉力才行.我們可以假設(shè)小球在最高點(diǎn)速度為時(shí)能夠保持圓周運(yùn)動(dòng)，若能證明除最高點(diǎn)外繩子處處有拉力即可.如圖4所示，設(shè)小球處在任意一點(diǎn)，繩子對(duì)小球的拉力為T，則

以最高點(diǎn)為零勢(shì)能點(diǎn)

圖4

由上式可得

當(dāng)0≤α≤360°，有－1≤sinα≤1，則

始終成立，其中α＝90°，即小球在最高點(diǎn)時(shí)，T＝0.于是我們的假設(shè)得到證明.

以上兩種方法相當(dāng)于是對(duì)輕繩模型情況下小球在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的臨界條件的完善.前面提出的結(jié)論之所以不讓人信服而需要補(bǔ)充說(shuō)明是因?yàn)榈么私Y(jié)論時(shí)我們從特殊位置去突破的，這種情況以點(diǎn)代面，以偏概全，缺乏說(shuō)服力.下面的方法將從任意位置著手，做一個(gè)比較嚴(yán)密的推導(dǎo).

2.3 小球豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)條件的推證

我們想象小球是從最低點(diǎn)以某一速度開始運(yùn)動(dòng)，P點(diǎn)是小球在圓周上的某一點(diǎn)，對(duì)其進(jìn)行受力分析（如圖4），根據(jù)向心力公式有

變形后

因?yàn)樾∏蛞茉趫D示虛線軌跡上做圓弧運(yùn)動(dòng)，在任意點(diǎn)P繩子必須是拉直或拉緊的，所以有T≥0.角度α決定了小球的位置.

當(dāng)小球在第三、四象限（180°≤α≤360°）時(shí)內(nèi)，由vP≥0有

又因?yàn)榇藭r(shí)，－1≤sinα≤0，所以有T≥0恒成立，即小球在三、四象限不可能有脫離圓軌的情況.

當(dāng)小球在第一、二象限（0＜α＜180°）時(shí)，若小球剛好能上到P點(diǎn)，因?yàn)?/p>

則

恒成立，也就是這個(gè)范圍小球的速度不可能為零.

當(dāng)小球“恰好”能上到P點(diǎn)（此時(shí)P點(diǎn)不是最高點(diǎn)），在P處繩子將會(huì)松弛，意味著T＝0，得到小球在P點(diǎn)這個(gè)位置的最小速度.由于繩子開始松了，繩子拉力不存在了，恒定的重力將使小球做拋體運(yùn)動(dòng)，軌跡是拋物線.P點(diǎn)越靠近最高點(diǎn)，sinα的值越大，vPmin就越大，而不是趨于零.學(xué)生的第2點(diǎn)疑惑在這兒得到解決.

當(dāng)P點(diǎn)就是最高點(diǎn)時(shí)，那么sinα＝1，小球在最高點(diǎn)最小速度

至此我們才可以得出這樣的結(jié)論：（輕繩模型下）小球“恰好”能在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，則最高點(diǎn)的速度必然是或者小球若能上到圓周最高點(diǎn)，則到達(dá)最高點(diǎn)的速度至少為