不識(shí)“廬山”真面目，只緣身在“此山”中

高厚良?ッ飛教?

在現(xiàn)行的初中教材中，由于一些概念在初中階段不好準(zhǔn)確表述，但又要學(xué)習(xí)與之相關(guān)的內(nèi)容，便采取了一種描述性的方法定義相關(guān)概念，如函數(shù)、二次根式等.由于沒(méi)有對(duì)概念的內(nèi)涵及外延做出準(zhǔn)確的界定，使得部分初中教師對(duì)一些概念產(chǎn)生了認(rèn)識(shí)封閉，對(duì)于這樣的概念若能跳出初中教材的圈子，換一種視角可能會(huì)得到意想不到的收獲.本文擬對(duì)在初中教師中產(chǎn)生大面積認(rèn)識(shí)封閉的兩個(gè)概念談?wù)勛约旱目捶?，以期引起老師們的思?1 產(chǎn)生認(rèn)識(shí)封閉的概念分析

1.1 完全平方式

先來(lái)看這樣一個(gè)問(wèn)題：

（2005年山西（大綱）卷第9 題）在多項(xiàng)式4x2+1中添加一個(gè)條件，使其成為完全平方式，則添加的單項(xiàng)式可以是（只寫(xiě)一個(gè)即可）.

對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，大部分初中老師認(rèn)為可以填“±4x”或“4x4”，從而得完全平方式“（2x±1）2”或“（2x2+1）2” ；有少部分老師認(rèn)為除了可以填以上答案外，還可以填“-4x2”或“-1”，從而得完全平方式“12”或“（2x）2” .第一種觀點(diǎn)的老師認(rèn)為，現(xiàn)行各版本教材均指出：“一個(gè)多項(xiàng)式是兩個(gè)數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個(gè)數(shù)積的2倍，這恰是兩數(shù)和（或差）的平方，把形如a2±2ab+b2的式子叫完全平方式” .據(jù)此認(rèn)定完全平方式一定是三項(xiàng)構(gòu)成，添加“-4x2”后，式子就成為了一個(gè)完全平方數(shù)，而添加“-1” 后，式子就變成了單項(xiàng)式，成為整式2x的平方，均不符合完全平方式的結(jié)構(gòu)特征.筆者認(rèn)為此種觀點(diǎn)是對(duì)完全平方式這個(gè)概念理解不全面，不深刻，把完全平方式與完全平方數(shù)割裂開(kāi)了.

第二種觀點(diǎn)是否正確，關(guān)鍵在于完全平方數(shù)“1”可不可以理解成為完全平方式，也就是完全平方數(shù)與完全平方式之間是一種什么樣的關(guān)系.如果我們跳出初中現(xiàn)行各版本教材對(duì)這個(gè)概念的描述，通過(guò)工具書(shū)查閱相關(guān)概念可以發(fā)現(xiàn)：如果一個(gè)數(shù)是另一個(gè)整數(shù)的完全平方（或如果一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根恰好是一個(gè)自然數(shù)），這個(gè)數(shù)叫完全平方數(shù)；如果一個(gè)整式能夠?qū)懗闪硪粋€(gè)整式的完全平方，這個(gè)整式叫完全平方式.如果沒(méi)有特別說(shuō)明，完全平方式是在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)研究的，如x2+2x+1，x2+22x+2，a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，4x2，1等都是完全平方式，因?yàn)樗麄兎謩e可以寫(xiě)成（x+1）2，（x+2）2，（a+b+c）2，（2x）2，12.

事實(shí)上，若非負(fù)數(shù)A可以寫(xiě)成另一個(gè)有理數(shù)a的平方，即A=a2，那么我們可以找出兩個(gè)有理數(shù)b、c，使得b=a-c，就有A=a2=（b+c）2，由此可見(jiàn)，A可以視為一個(gè)完全平方式，也就是說(shuō)完全平方數(shù)可以視為一個(gè)完全平方式，但是，完全平方式卻不一定是一個(gè)完全平方數(shù)，如（2+3）2是完全平方式，而不是完全平方數(shù)，顯然完全平方式的概念包括完全平方數(shù).基于以上分析，我們可以得出以下結(jié)論：

（1）完全平方數(shù)可以理解成完全平方式，完全平方式包括完全平方數(shù)；

（2）完全平方式可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式；

（3）完全平方式可能是二次三項(xiàng)，也可能是更高次的偶次多項(xiàng)式.

1.2點(diǎn)到射線、線段的距離

2014年12月2日，筆者在上海市某中學(xué)參加“微視頻導(dǎo)學(xué)，促進(jìn)課堂對(duì)話的生成”系列主題教研活動(dòng)期間，Y老師的一則教學(xué)片斷引起與會(huì)老師的極大爭(zhēng)鳴.

（師生共同活動(dòng)得出角平分線性質(zhì)定理的逆定理“在角的內(nèi)部（包括頂點(diǎn)），到角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上”后）

師：請(qǐng)小組討論：為什么角平分線性質(zhì)定理中沒(méi)有強(qiáng)調(diào)在角的內(nèi)部，而逆定理卻要強(qiáng)調(diào)在角的內(nèi)部，在外部不可以嗎？

（學(xué)生分小組討論并在練習(xí)紙上畫(huà)圖）

生1：如，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)E在∠COD內(nèi)部（即圖中陰影部分區(qū)域）時(shí)，它到射線OA、OB的距離相等，顯然點(diǎn)E這個(gè)點(diǎn)不在∠AOB的平分線上.

師：你找到了一個(gè)很好的反例，但老師想問(wèn)：你說(shuō)的點(diǎn)E是否可以在∠COD的兩邊（不包括頂點(diǎn)O）呢？

生1：當(dāng)然包括，當(dāng)點(diǎn)E在射線OC、OD上時(shí)，它到射線OA、OB的距離都是線段OE的長(zhǎng).

師：完全正確，同學(xué)們，除了剛才所說(shuō)的這個(gè)范圍，還有沒(méi)有哪里的點(diǎn)也到射線OA、OB的距離相等，卻不在∠AOB的平分線上呢？

生2：如，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)E在∠COD內(nèi)部（即圖中陰影部分區(qū)域）時(shí)，它到射線OA、OB距離相等，但不在角的平分線上.

師：漂亮，由此可以看出角平分線的性質(zhì)定理的逆定理必要強(qiáng)調(diào)在角的內(nèi)部.

這一教學(xué)片斷，尤其是對(duì)點(diǎn)到射線距離的理解，讓與會(huì)老師產(chǎn)生了爭(zhēng)鳴，就是上海本地的部分?jǐn)?shù)學(xué)教師也不認(rèn)同Y老師的觀點(diǎn).由于現(xiàn)行各版本教材都有點(diǎn)到直線的距離概念（直線外一點(diǎn)到這條直線垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離），卻沒(méi)有點(diǎn)到射線、線段的距離概念.很多初中數(shù)學(xué)老師一般主觀認(rèn)為點(diǎn)到射線、線段的距離是指這一點(diǎn)到射線、線段所在直線的垂線段的長(zhǎng)度.基于此認(rèn)為，案例中反例所舉的點(diǎn)應(yīng)在∠AOB角平分線的反向延長(zhǎng)線上.如果Y老師對(duì)點(diǎn)到射線的距離的理解是正確的，那就意味著我們一線數(shù)學(xué)教師對(duì)這個(gè)概念產(chǎn)生了大面積的認(rèn)識(shí)封閉呀！

遺憾的是由于各種原因，本人沒(méi)有得到與Y老師面對(duì)面交流的機(jī)會(huì)，當(dāng)然這個(gè)問(wèn)題也就沒(méi)有形成定論.回到本地后，我把這個(gè)問(wèn)題放在了蚌埠市初中數(shù)學(xué)教師群中，竟然沒(méi)有一位教師支持Y老師的觀點(diǎn).可仔細(xì)一想，上海作為中國(guó)教育的先進(jìn)地區(qū)，此次教研活動(dòng)又是上海的一次市級(jí)教研活動(dòng)，課例肯定經(jīng)過(guò)市、區(qū)兩級(jí)教研員的指點(diǎn)且經(jīng)過(guò)多輪打磨，按理說(shuō)不可能出現(xiàn)這樣的低級(jí)“失誤”呀，這里一定另有“隱情”.

通過(guò)查閱工具書(shū)發(fā)現(xiàn)：我們常說(shuō)的“距離”是歐幾里德體系的距離.泛函分析中對(duì)“距離”是這樣定義的：

設(shè)X是任意非空集合，對(duì)X中任意兩點(diǎn)x和y，有一實(shí)數(shù)d（x，y）與之對(duì)應(yīng)且滿足：①d（x，y）≥0，且（x，y）=0，當(dāng)且僅當(dāng)x=y；②d（x，y）= d（y，x）；③d（x，y）≤ d（x，z）+d（y，z）.

則稱(chēng)d（x，y）為X上的一個(gè)距離.

這種“距離”既包含幾何意義上的“距離”，也包含非幾何意義上的“距離”.

（1）幾何意義距離

在幾何中，點(diǎn)與線、線與線、圖形與圖形間的距離，都是基于“點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離”而定義的.①點(diǎn)與線的距離就是該點(diǎn)到線上所有點(diǎn)的連線段中最短的那條線段的長(zhǎng)，既包含點(diǎn)到線段、射線、直線的距離，也包含點(diǎn)到曲線（如點(diǎn)與圓）的距離，點(diǎn)與線段、射線的距離既包含點(diǎn)到線的“垂直”的特殊情形，也包含點(diǎn)到線非垂直情形.②任意兩個(gè)圖形（包括空間圖形）之間的“距離”是指兩個(gè)圖形中所有點(diǎn)之間線段長(zhǎng)度的最小值.如，曲線C1、C2之間的距離，即指連接C1、C2上任意兩點(diǎn)的所有線段中最短的那條線段的長(zhǎng).又如，兩條相交直線的距離為0.

（2）非幾何意義距離

例如：兩個(gè)集合A={3，2，-1，-3}，B={4，-2}，分別求集合A中各元素與B中各元素的差的絕對(duì)值（不計(jì)重復(fù)分別為1、2、4、5、7），其中最小的1就是這兩個(gè)集合間的“距離”.

在初中幾何中，距離一般指幾何意義上的距離，如點(diǎn)到直線的距離，垂線段是直線外一點(diǎn)與直線上所有點(diǎn)連線所成的線段中長(zhǎng)度最短的，所以用這個(gè)最短的長(zhǎng)度定義距離；又如兩條平行線間的距離：一條直線上任一點(diǎn)到另一條直線垂線段的長(zhǎng)度，這個(gè)垂線段也是兩個(gè)圖形間所有點(diǎn)之間的最短線段.

查閱滬教版教材發(fā)現(xiàn)：在2011版（如）、2012版（如）的滬教版《數(shù)學(xué)》八年級(jí)（上）第106頁(yè)旁批中分別有這樣的表述：

教材的這一細(xì)微變化說(shuō)明滬教版教材編寫(xiě)組首先發(fā)現(xiàn)了部分老師對(duì)這一概念的認(rèn)識(shí)封閉，從嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕嵌葘?duì)概念進(jìn)行了修正，也說(shuō)明了Y老師對(duì)“點(diǎn)到射線的距離”理解是沒(méi)有問(wèn)題的，上海部分老師不認(rèn)同Y老師的觀點(diǎn)，可能是還沒(méi)有注意到教材的變化.

再回過(guò)頭來(lái)看一看大部分初中教師對(duì)點(diǎn)到線段、射線距離的理解：如，垂線段PQ是點(diǎn)P與射線OA上所有點(diǎn)連線所成的線段中最短的，故線段PQ的長(zhǎng)表示點(diǎn)P到射線OA的距離；如、8，垂線段PQ雖是最短的線段，但垂足顯然不是射線OA、線段AB上的點(diǎn)，與幾何意義上的距離概念不符.基于以上分析，可以得到如下結(jié)論：

（1）當(dāng)垂足在射線、線段上時(shí)，垂線段的長(zhǎng)即為點(diǎn)到射線、線段的距離；

（2）當(dāng)垂足不在射線、線段上時(shí)，就是離點(diǎn)較近的端點(diǎn)到該點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度.

當(dāng)明確了以上結(jié)論后，平面上的點(diǎn)到線（包括直線、射線、線段、曲線）的距離就可統(tǒng)一定義為：這點(diǎn)與線（包括直線、射線、線段、曲線）上各點(diǎn)的距離中最短的距離.2兩點(diǎn)感悟

2.1不識(shí)“廬山”真面目，只緣身在“此山”中

李邦河院士曾指出：“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，技巧不足道也！”概念是思維的細(xì)胞，教好概念是教好數(shù)學(xué)的內(nèi)在要求.可在現(xiàn)行教材中，有些概念受限于學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)與認(rèn)知能力，在初中階段不好表述，教材雖采用了描述性的方法，但作為受過(guò)專(zhuān)業(yè)教育的教師必須理解、掌握，有清晰的思考.要居高臨下，從高中、大學(xué)等高度來(lái)理解概念，抓住概念的本質(zhì)內(nèi)涵，清楚概念的外延.只有這樣，教學(xué)中才不至于把問(wèn)題說(shuō)“死”、說(shuō)“過(guò)頭”，讓學(xué)生在后續(xù)的學(xué)習(xí)中有“原來(lái)老師教錯(cuò)了”的感覺(jué).經(jīng)常聽(tīng)到很多老師討論“y=1是函數(shù)嗎？4是二次根式嗎？線段本身所在的直線是它的對(duì)稱(chēng)軸嗎……”等問(wèn)題，我們?nèi)羰亲叱觥按松健眮?lái)看待這些問(wèn)題，是不是會(huì)有不一樣的收獲呢？

2.2教學(xué)研究抓“大”也不能放“小”

有人曾對(duì)我說(shuō)，你說(shuō)的這些問(wèn)題有研究的必要嗎？對(duì)于初中生來(lái)說(shuō)并沒(méi)有太大的意義呀？很多老師都搞不清楚的問(wèn)題，會(huì)用來(lái)考查學(xué)生嗎？是呀，這些問(wèn)題可能不會(huì)用來(lái)考查學(xué)生，現(xiàn)行很多版本的數(shù)學(xué)教材也刻意回避此類(lèi)問(wèn)題，但這些能作為一線老師對(duì)概念產(chǎn)生認(rèn)識(shí)封閉的理由嗎？經(jīng)常聽(tīng)到部分老師對(duì)此類(lèi)問(wèn)題采用所謂的“模糊處理”的高見(jiàn)，避而不談，但不知當(dāng)孩子向你提出此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，你該如何作答，總不能顧左右而言他吧！只有研究透了這些“小問(wèn)題”，在教學(xué)時(shí)，采用張奠宙教授提出“混而不錯(cuò)”的方式，才能有效避免教學(xué)中此種尷尬.正所謂不積細(xì)流無(wú)以成江海，不積跬步無(wú)以至千里，教學(xué)研究需要從大處著眼，突出重點(diǎn)，但是像從宏觀上研究教學(xué)、寫(xiě)大塊論文、著書(shū)立說(shuō)等卻不是我們一線教師能輕易完成的.作為一線教師從事研究還是應(yīng)該從小處著手，關(guān)注自己的“教”，關(guān)注學(xué)生的“學(xué)”，切不可忽視點(diǎn)滴的教學(xué)研究，也許正是這些點(diǎn)滴的研究引領(lǐng)著自己走向浩瀚的知識(shí)海洋.

作者簡(jiǎn)介高厚良，男，1979年生，中學(xué)一級(jí)教師，安徽省數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課一等獎(jiǎng)，蚌埠市骨干教師.近兩年在省級(jí)以上雜志發(fā)表文章10余篇.