在探索活動中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力

李方方??

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）提出“學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動活潑的、主動的和富有個(gè)性的過程.認(rèn)真聽課、積極思考、動手操作、自主探索、合作交流等，都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式，學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動過程”.由此可見，數(shù)學(xué)教學(xué)過程應(yīng)當(dāng)是在教師指導(dǎo)下的一種學(xué)生自主探索的學(xué)習(xí)活動過程.為了體現(xiàn)讓學(xué)生充分參與“活動”，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，一定要給學(xué)生提供機(jī)會，讓他們嘗試用自主、主動的方式，去探索發(fā)現(xiàn)問題.下面通過一個(gè)案例來展示探索的過程.

案例三角形內(nèi)角和等于180°.

這是數(shù)學(xué)中的一個(gè)定理，大部分教材都是通過“拼接”圖形的方法“直觀”得到的.由于拼接的方法有多種，所以這是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)新方法、提出新問題的好“素材”.利用這個(gè)素材可以培養(yǎng)學(xué)生觀察、思考、探索、交流的能力以及發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力.下面是某中學(xué)教師設(shè)計(jì)的探索過程，這個(gè)過程分為五個(gè)環(huán)節(jié)：

（1）情景、設(shè)疑

師：同學(xué)們回憶一下，我們在小學(xué)是用什么方法來驗(yàn)證“三角形的內(nèi)角和等于180°”的？

（2）剪紙、拼圖

S1：用量角器量三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，計(jì)算它們的和，得出結(jié)論.

S2：用撕拼的方法，將三角形中的兩個(gè)角剪下，拼在第三個(gè)角的旁邊，看是否能構(gòu)成平角.

S3：用折紙的方法，將三個(gè)角折疊到一起.

師：上面三名同學(xué)為我們提供了不同的驗(yàn)證方法.下面我們以小組為單位進(jìn)行驗(yàn)證，驗(yàn)證完后請同學(xué)代表你們的小組上來展示驗(yàn)證方法.

S4：我們是用兩種方法進(jìn)行驗(yàn)證的：

一種方法是測量法，如圖1，分別測得∠A=58°，∠B=62°，∠C=60°，這樣就有：

∠A+∠B+∠C=58°+62°+60°=180°；

圖1圖2另一種方法是剪拼法，如圖2，將∠A、∠B剪下拼到點(diǎn)C處，可以得到：

∠A+∠B+∠C=180°.

師：你是怎樣知道∠A+∠B+∠C=180°的？

S5：因?yàn)椤螦、∠B、∠C拼成了一個(gè)平角.

S6：我們小組也是用剪拼的方法，不過拼的方法和他們的不一樣.我們拼的圖形如圖3所示，∠A、∠B、∠C也拼成了一個(gè)平角.

S7：我們小組是這樣拼的：如圖4，只把∠A移動拼在∠C處，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，可得到：∠A+∠B+∠C=180°.

（3）發(fā)現(xiàn)、生成

師：好，數(shù)學(xué)結(jié)論的正確性是要建立在推理基礎(chǔ)上的.上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果是否可靠，還需要加以證明.剛才的拼圖過程已經(jīng)為我們提供了證明的思路和方法，請把你們是怎么想到各種拼接的方法，以及證明的方法先在小組內(nèi)相互交流.然后每個(gè)小組出一名同學(xué)代表你們小組在全班進(jìn)行匯報(bào).在匯報(bào)結(jié)束后，我們針對他的方法和依據(jù)提出問題，最后請做匯報(bào)的同學(xué)予以答辯.

S8（第6小組的代表）：過點(diǎn)C作CD∥AB，延長BC到E（如圖5），證明過程如下：

因?yàn)椤?=∠A，∠2=∠B，所以∠A+∠B+∠C=180°.圖5

S9：生8的說理過程有問題，以下是我們小組的說理過程：

因?yàn)镃D∥AB，所以∠1=∠A（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

∠2=∠B（兩直線平行，同位角相等），

又因?yàn)椤螦CB+∠1+∠2=180°（平角意義），所以∠A+∠B+∠C=180°.

師：很好，補(bǔ)充上因果關(guān)系就比較清楚了.老師還有一個(gè)疑問，你是怎樣想到過點(diǎn)C作AB的平行線CD的？

S8：由圖4的拼法可以發(fā)現(xiàn)：把∠A剪下并拼到點(diǎn)C處時(shí)，得到∠A=∠A，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，可以得到兩直線平行；反過來，如果兩直線平行，那么∠A=∠A，就相當(dāng)于把∠A剪下并拼到點(diǎn)C處.這樣，我們就得到圖5所示的作平行線的方法.

師：你們很善于借助拼圖中的經(jīng)驗(yàn)解答問題.如果不作平行線能行嗎？圖6

S10：如圖6，直接在點(diǎn)C處以點(diǎn)C為角的頂點(diǎn)，CA為角的一邊，在三角形ABC外畫∠1=∠A，延長BC到E.理由如下：

因?yàn)椤?=∠A，所以CD∥AB（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.

因?yàn)镃D∥AB，所以∠2=∠B（兩直線平行，同位角相等）.

所以有∠A+∠B+∠ACB=∠1+∠2+∠ACB=180°.

師：好！其他小組還有別的方法嗎？

S11（第4小組的代表）：我們受圖3的啟發(fā)，過點(diǎn)C畫EF∥AB，如圖7.這樣相當(dāng)于把∠A、∠B拼在∠ACB的兩旁.理由為：

因?yàn)镋F∥AB，所以∠1=∠A，∠2=∠B（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.

所以有∠A+∠B+∠ACB=∠1+∠2+∠ACB=180°.

S12：（第1小組代表）：我們受拼圖4的啟發(fā)，如圖8，過點(diǎn)C作CD∥AB.理由如下：

因?yàn)镃D∥AB，所以∠B+∠BCD=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）.

所以∠A+∠B+∠ACB=180°.

S13：我認(rèn)為S12的說理不夠準(zhǔn)確.應(yīng)在第一個(gè)“所以”后加上“∠ACD=∠A（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）”.

師：同學(xué)們實(shí)在是太聰明了.大家不僅能從拼圖中發(fā)現(xiàn)方法，采用不同的途徑證明“三角形的內(nèi)角和等于180度”（板書），而且道理也講得很明白.

（4）拓展、探索

由于平行線這種輔助線作法在平面幾何中有著很重要的應(yīng)用，教師抓住時(shí)機(jī)，提出問題.

師：有人說“過平面上任一點(diǎn)作三角形邊的平行線均可證明三角形內(nèi)角和結(jié)論”，你們認(rèn)為行嗎？

一石激起千層浪，此時(shí)，學(xué)生已發(fā)現(xiàn)過三角形的頂點(diǎn)作對邊的平行線可達(dá)目的.學(xué)生在學(xué)習(xí)小組內(nèi)展開了積極的討論，嘗試過其它點(diǎn)畫平行線，不一會兒就有學(xué)生舉手.

S3：如下圖9，在BC上任意取一點(diǎn)P，作PE∥AC、PD∥AB.說理過程如下：

因?yàn)镻D∥AB，所以∠1=∠B、∠A=∠2（兩直線平行，同位角相等）.

因?yàn)镻E∥AC，所以∠3=∠C（兩直線平行，同位角相等）.

∠4=∠2（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.

所以∠A+∠B+∠C=∠3+∠4+∠1=∠BPC=180°.

S14（第2小組的代表）：如圖10，在△ABC的內(nèi)部任取一點(diǎn)P，分別作MN∥BC、PD∥AB、PE∥AC.思路如下：

因?yàn)镸N∥BC，所以∠AMN=∠B、∠ANM=∠C（兩直線平行，同位角相等）.接下來就可以轉(zhuǎn)化為生3的證明方法了.

15（第3小組的代表）：在△ABC外任取一點(diǎn)P，如圖11所示，過點(diǎn)P作MN∥BC交AB、AC的延長線于點(diǎn)M、N，作PD∥AB、PE∥AC分別交AC、AB于點(diǎn)D、E.證明方法類似S14.

在學(xué)生解決問題之后，教師提出一個(gè)能激發(fā)學(xué)生繼續(xù)探究的問題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入到新的研究境地，學(xué)生在這個(gè)研究境地中發(fā)現(xiàn)的就不再是個(gè)別的解決問題的方法，而是通過獨(dú)立探索、合作交流，發(fā)現(xiàn)不同解決方法之間的轉(zhuǎn)化途徑.讓學(xué)生“身不由己”地經(jīng)歷從“一般到特殊”，再由“特殊到一般”的過程.

（5）歸納、升華

師：大家都研究好了，那么，如何把我們研究的方法歸納一下呢？

S16：我認(rèn)為從作平行線的點(diǎn)的位置分類歸納，可分三種情況：點(diǎn)在三角形邊上；點(diǎn)在三角形內(nèi)；點(diǎn)在三角形外.

師：好！請一個(gè)同學(xué)把剛才的方法歸納一下.

S17：我們發(fā)現(xiàn)過三角形所在平面內(nèi)的任意一點(diǎn)作三角形邊的平行線，均可達(dá)到目的：

①如果過三角形的頂點(diǎn)做平行線，只需作一條平行線即可，如圖5、圖7、圖8的情形；

②如果過三角形一邊上一點(diǎn)作平行線（頂點(diǎn)外，含邊的延長線上的點(diǎn)），需作兩條平行線，如圖9的情形；

③如果過三角形內(nèi)或外一點(diǎn)作平行線，需作三條平行線，如圖10、圖11的情形.

師：就這個(gè)問題來說，同學(xué)們有多種方法可以完成.無論哪種研究方法都“鎖定”了一點(diǎn)，即180°，這是解決問題的核心所在.正當(dāng)教師準(zhǔn)備結(jié)束對這個(gè)問題的討論時(shí)，又有一個(gè)學(xué)生把手高高舉起了.

S18：我發(fā)現(xiàn)過三角形的任一頂點(diǎn)作平行線也可論證.下面是論證過程：如圖12，在BC上取點(diǎn)D，連接AD，過點(diǎn)B、C分別作BE∥AD，CF∥AD.

因?yàn)锽E∥AD，CF∥AD，所以BE∥AD∥CF，

所以∠1=∠3，∠4=∠2（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

∠EBC+∠FCB=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）.

又因?yàn)椤螧AC=∠3+∠4，所以有∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，即

∠A+∠B+∠C=180°.

師：很好！這種方法是正確的，我都沒有想到這樣的方法，看來研究這個(gè)問題的方法還是很多的，相信同學(xué)們一定還能發(fā)現(xiàn)其他方法.課后繼續(xù)在小組內(nèi)研究交流，把新的方法告訴老師.

通過教師的引導(dǎo)，把學(xué)生研究的方法加以歸納總結(jié)，學(xué)生研究問題的思想方法就不再是零散的、單一的，而是“多法合一”、“殊途同歸”.同時(shí)，也點(diǎn)燃了學(xué)生思維的火花，為今后多邊形內(nèi)角和的論證提供了方法上的借鑒.

從上面的探索過程看，學(xué)生的個(gè)性得到了充分的發(fā)展，很好的體現(xiàn)了《標(biāo)準(zhǔn)》提出的“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的課程基本理念.我們知道在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師一定要善于捕捉和利用生成性的資源，在這方面本課例也是非常成功的.該探索過程強(qiáng)調(diào)了學(xué)生已有的知識背景（三角形內(nèi)角和的知識），學(xué)生的實(shí)踐活動（動手剪拼），學(xué)生的抽象概括（由剪拼圖抽象成幾何模型），學(xué)生的知識遷移（由幾何模型到輔助線的作法），學(xué)生的思維發(fā)散（強(qiáng)調(diào)聯(lián)系、聯(lián)想），滲透數(shù)學(xué)思想（分類、化歸、一般與特殊）.

歷代的教育家都不同程度地提出了在教學(xué)活動中培養(yǎng)學(xué)生探索精神的作用.孔丘的“學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆”強(qiáng)調(diào)了在學(xué)習(xí)過程中思考探索對學(xué)習(xí)的意義；空想社會主義者們要求將教育放在生產(chǎn)勞動之中，是強(qiáng)調(diào)了實(shí)踐探索的作用；杜威的實(shí)用主義教育思想，羅杰斯的“以學(xué)生為中心”教育思想，以及布魯納的“發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)”思想和贊科夫的“一般發(fā)展”教學(xué)理論，都不同程度地強(qiáng)調(diào)了對學(xué)生進(jìn)行探索精神與探索能力的培養(yǎng).但是，翻閱教育發(fā)展的歷史，我們便不難發(fā)現(xiàn)，關(guān)于學(xué)生的探索學(xué)習(xí)問題還遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有被提到應(yīng)有的高度.探索意識與探索能力培養(yǎng)之于學(xué)生學(xué)習(xí)、之于學(xué)生發(fā)展、之于社會進(jìn)步所起到的巨大作用，還遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有被人們認(rèn)識.因此，構(gòu)建一種以探索學(xué)習(xí)為主軸的教學(xué)活動模式，突出學(xué)生探索精神、探索能力與創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，便成為我們數(shù)學(xué)教學(xué)的重心之一.為此：

1.教師要認(rèn)真學(xué)習(xí)和研究《標(biāo)準(zhǔn)》，用課改的理念來統(tǒng)領(lǐng)我們的教學(xué).

2.徹底轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式，注重過程教學(xué).教學(xué)中必須重視數(shù)學(xué)知識的形成過程，讓學(xué)生在親身“參入”、“經(jīng)歷”這些知識的發(fā)生、發(fā)展過程中掌握這些知識，學(xué)生在經(jīng)歷過程中其動手操作能力、探索發(fā)現(xiàn)能力和空間想象能力才能得以培養(yǎng)和提高.

3.以顯現(xiàn)的數(shù)學(xué)知識為載體，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué).《標(biāo)準(zhǔn)》已把基本的數(shù)學(xué)思想方法作為基礎(chǔ)知識，這就決定了我們數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)方向——注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的教學(xué).數(shù)學(xué)思想方法越來越多地被應(yīng)用于環(huán)境科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會學(xué)、心理學(xué)和認(rèn)知科學(xué)之中.在這樣的時(shí)代，學(xué)生只有掌握了一些具有普遍意義的數(shù)學(xué)思想方法，才能夠有效地創(chuàng)造性地解決所遇到的問題.

4.教師要精心地剪輯與選編教材.剪輯、補(bǔ)充與選編教材是教師指導(dǎo)作用的具體體現(xiàn)形式之一，也是教師的一個(gè)創(chuàng)造性活動.在目前的情況下，一部教材往往供幾百萬、幾千萬學(xué)生共同使用，其科學(xué)性與合理性固且不說，起碼的一點(diǎn)是，它不可能照顧到不同地域、不同性格和使用不同教學(xué)方法的學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn).因此，教師們要創(chuàng)造性的使用教材，在課前合理地安排教學(xué)內(nèi)容，采取刪減、組合、補(bǔ)充等方法，使呈現(xiàn)在學(xué)生面前的教材，符合人類的認(rèn)知規(guī)律，符合知識的發(fā)展邏輯，符合學(xué)生的各自特點(diǎn)，并為學(xué)生的探索學(xué)習(xí)創(chuàng)設(shè)好簡明的知識序列.

5.在教學(xué)過程中，教師要著力引導(dǎo)學(xué)生去閱讀、去思考、去嘗試、去探索、去發(fā)現(xiàn)、去進(jìn)行自主探索學(xué)習(xí).要養(yǎng)成學(xué)生自主探索學(xué)習(xí)的習(xí)慣.同時(shí)要啟發(fā)學(xué)生更加主動地提出問題、解決問題，并自主地探索、總結(jié)解決問題中所用到或產(chǎn)生的思想與方法.同時(shí)要使自己所掌握的知識、能力與思想方法有機(jī)融合，形成牢固的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

6.教師與學(xué)生、學(xué)生與學(xué)生之間要形成良好的合作學(xué)習(xí)關(guān)系.這種良好關(guān)系的形成有利于學(xué)生探索意識與探索能力的培養(yǎng).

7.加強(qiáng)對學(xué)生自信心的培養(yǎng).一個(gè)人的自信心是它能有效地進(jìn)行（創(chuàng)新性）學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，更是他將來能適應(yīng)經(jīng)濟(jì)時(shí)代的必備心理素質(zhì).基于這樣一個(gè)事實(shí)，許多國家都把對學(xué)生自信心的培養(yǎng)作為數(shù)學(xué)教育的一個(gè)基本目標(biāo)，使學(xué)生從自身的生活背景中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、創(chuàng)造數(shù)學(xué)、運(yùn)用數(shù)學(xué)，并在此過程中獲得足夠的自信.許多事例說明我們的學(xué)生更需要建立自信心.