善變

孫慧敏 趙芝敏??

“問題是數(shù)學的心臟”，“數(shù)學是思維的體操”.通過解題發(fā)展學生的思維品質，是數(shù)學教學的中心問題.但是，過多、過密、盲目的解題，不僅不會促進思維能力的發(fā)展，反而容易窒息智慧，降低興趣，產生疲勞感.

一些習題，看似平凡，實卻內涵豐富.若能深入挖掘，從橫向、縱向、逆向、系統(tǒng)等多層次、多方向上進行思考、演變、拓展，舉一反三，聞一知十，必可深化教學內容，揭示問題實質，促進思維變通，發(fā)展創(chuàng)造能力，提高學習效率.本文以兩個案例說明.

案例1引例如圖1，在△ABC中，點E在AC上，點F在BC上.過點C作CD⊥AB于點D，過點F作FG⊥AB于點G.連接DE，若∠1=∠3，試證明：DE∥BC.

這是基礎年級學習《相交線與平行線》時最經典的一個例題，廣泛存在于各種教輔資料中，能通過綜合運用平行線的性質與判定定理解題達到融會貫通相關知識內容的學習目的，并因此為許多老師所引用和喜歡.如何推陳出新，充分挖掘該題目的教學功能？在教研教學中，我們做到了以下幾點：

1.變換設問方式

一方面，通過調換題設中的部分條件和結論的位置實現(xiàn)創(chuàng)新：

變式1：調換結論中“DE∥BC”和已知中“∠1=∠3”的位置，其它不變.

變式2：如圖1，在△ABC中，點E在AC上，點F在BC上，點G在AB上.過點C作CD⊥AB于點D.連接DE、FG，若DE∥BC，∠1=∠3，試證明：FG⊥AB.

另一方面，可以把題目中“CD⊥AB”和“FG⊥AB”這些線段間的特殊位置關系作一些調整實現(xiàn)創(chuàng)新：

變式3：引例中，將“過點C作CD⊥AB于點D，過點F作FG⊥AB于點G”調整為“∠CDB=∠FGB”，其它不變.

變式4：在變式1中，將“過點C作CD⊥AB于點D，過點F作FG⊥AB于點G”調整為“∠CDB=∠FGB”，其它不變.

變式5：在變式2中，將“過點C作CD⊥AB于點D”調整為“∠CDB=80°”，結論調整為“求∠FGB的大小”，其它不變.

2.變換圖形結構

在圖1中，點F在BC上，有一定的隨意性，能否將之調整到“BC的延長線上”或“BC的反向延長線上”？

變式6～11：如圖2，題干分別同引例、變式1～5.

變式12～17：如圖3，題干分別同引例、變式1～5.

在圖1～3中，“CD”和“FG”的“平行關系”才是本質！如此，能否把“點D在AB上”調整為“點D在BA的延長線上”或“點D在AB的延長線上”？

比如：保持點F在BC上，調整點D到BA的延長線上可以做以下提問：

變式18：如圖4，在△ABC中，點D在BA的延長線上，點E在CA的延長線上，點F在BC上，點G在AB上，連接CD、DE、FG.若CD∥FG，∠1與∠3互補，試證明：DE∥BC.

變式19：將變式18中已知中“∠1與∠3互補”和結論中“DE∥BC”調換位置，其它不變.

變式20：將變式18中已知中“CD∥FG”和結論中“DE∥BC”調換位置，其它不變.

變式21～23：如圖4，題干同變式3～5.

由此可見，每個圖形至少可以做六種提問方式.如果我們再作出圖5～9，還可以類似變式18～23找到變式24～53.到此，相當于做了54個問題.

變化到此并未結束.如圖10，在圖1的基礎上，延長ED、FG交于點P，將線段BD向右平移，擦去圖中的虛線，留下的實線圖形，圖10你是否覺得似曾相識？

變式54：如圖10（實線部分），已知CD⊥D′B′于點N，PF⊥D′B′于點M.若∠1=∠2，試證明：PD′∥B′C.

變式55～59：題干類似于變式1～5，稍作調整即可.

點評如果能在課堂中生發(fā)出上述之變化，對激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，感悟數(shù)學的魅力，其效果是不言而喻的.如何在幾何解題教學中推陳出新，充分開發(fā)題目的教學功能？上述案例值得總結：

（1）幾何命題由題設和結論組成，對于圖1，引例和變式1，2的關系是在探尋命題的可逆性，而變式3，4，5則是通過強化或弱化條件上所做的一點小手術，沒有更多的拓展.

（2）幾何圖形中的直線形無非是由線以及線間所成的不同角度而構成的，而構成圖形的線或角往往帶有一定的隨意性，通過變化某些線的位置或某些角度，往往可以在一定程度上改變圖形的結構或是視覺上的熟悉程度，從而使題目變得新穎起來或增加了一定的難度.

由案例1可見，若要通過調整線段來改變圖形結構，往往先要確定調整哪一條線段（即調整對象），然后再決定如何調整它（即調整方法）.由于既可以調整點D的位置（有3個不同的位置類型），又可以調整點F的位置（也有3個不同的位置類型），總共組合出9種不同的圖形類型.而圖10的由來，則要復雜一些.不過正是由于圖10的出現(xiàn)才引發(fā)人們思考：之所以能變化出（至少）10個圖形來，是因為這所有圖形中均有兩組平行線！

案例2

引例為了鼓勵居民節(jié)約用水，某市自來水公司按如下方式對每戶月水費進行計算：當用水量不超過10噸時，每噸的收費標準相同；當用水量超過10噸時，超出10噸的部分每噸收費標準也相同.下表是小明家1—4月份用水量和交費情況：

請根據(jù)表格中提供的信息，回答以下問題：

（1）若小明家5月份用水量為20噸，則應繳水費多少元？

（2）若小明家6月份交納水費29元，則小明家6月份用水多少噸？

此例也是常見問題，廣泛存在于各種教輔資料中.如何推陳出新，充分挖掘該題目的教學功能？在教研教學中，我們做到了以下幾點：

變式1：刪去表格中的2月份和4月份信息，其它不變；

變式2：刪去表格中的2月份和3月份信息，其它不變；

變式3：刪去表格中的1月份和4月份信息，其它不變；

變式4：刪去表格中的1月份和3月份信息，其它不變.

上述變式并沒有改變題目的思維量，只是刪掉了部分冗余信息.

變式5：刪去表格中的1月份和2月份信息，其它不變.

這種變式已經不能通過簡單讀表得到月用水量在10噸以內部分的收費標準，而需要通過布列方程（組）找出10噸以內部分和10噸以上部分的收費標準，進而完成題目解答.

變式6：將“當用水量不超過10噸時，每噸的收費標準相同；當用水量超過10噸時，超出10噸的部分每噸收費標準也相同”中的所有“10噸”改為“a噸”，其它不變.

這種變式大大提升了思維含量，題目考查的厚重度驟然提升.解決時需要結合表格對a分段討論，布列方程（組），取舍各種情形，才能最終綜合得到10噸以內部分和10噸以上部分的收費標準，進而完成題目解答.

變式7～12：將變式1～6中以表格形式給予信息的方式改變?yōu)橐灾鶢顖D方式（圖形略）給予信息，其它不變；

變式13～18：將變式1～6中以表格形式給予信息的方式改變?yōu)橐哉劬€圖方式（圖形略）給予信息，其它不變.

變式19～36：將變式1～8中增加新的設問，如找到月應繳水費與月用水量之間的函數(shù)關系式，畫出圖象等，其它不變.

點評通過此例可以發(fā)現(xiàn)有些代數(shù)題可以從以下角度進行變式：

（1）刪減某些信息，題目是否可解？比如，刪去表格中的3月份和4月份信息，其它不變，則題目不可解；而變式6相對于原題，不僅可解，難度和思維量上也增加不少，題目對思維品質考查的厚重度有所增強.正因為原題有冗余條件，才使善于變式教學的教師抓住了“化腐朽為神奇”的機會.

（2）調整信息給予方式.如變式7～18，把表格信息變?yōu)閳D形、圖象信息，可以考查學生提取有用信息的能力，讓表格、圖象、圖形等象自然語言和式子一樣說話.

（3）增加或改變設問方式.如變式19～36，要求學生建構函數(shù)關系式，畫出圖象，通過圖象直觀分析信息等.

兩個變式教學的案例，一個在幾何上變出精彩，一個在代數(shù)上變出花樣，讓數(shù)學的魅力彰顯，讓教學的藝術升華.仔細體味其中玄妙，必有益于未來數(shù)學教學效果之提升.

參考文獻

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