使用幾何畫板找出橢圓、雙曲線的對稱軸、頂點和焦點以及拋物線的焦點

文[1]介紹了如何使用幾何畫板找出已知橢圓的中心，文[2]介紹了如何使用幾何畫板找出已知雙曲線的中心和已知拋物線的頂點.本文介紹如何使用幾何畫板找出已知橢圓、雙曲線的對稱軸、頂點和焦點以及已知拋物線的焦點，作為文[1]與文[2]的補充.

1 找出已知橢圓的對稱軸、頂點和焦點

步驟如下：

圖1

1.利用文[1]的方法找到橢圓的中心O;

2.如圖1，在橢圓上任找一點A（不是橢圓的

頂點），以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓，該圓與橢圓

的其余三個交點分別為B、C、D;

3.連接AB、AD，過點O分別作AB、AD的

平行線，得到直線l1、l2，則直線l1、l2就是橢圓的

兩條對稱軸;

4.直線l1與橢圓交于E、F兩點，直線l2與橢圓交于G、H兩點，則E、F、G、H是橢圓的四個頂點;

5.比較OE與OG的大小，若OE>OG，則EF是長軸，GH是短軸;若OE<OG，則EF是短軸，GH是長軸（圖1中OE<OG，所以EF是短軸，GH是長軸）;

6.以E為圓心，OG為半徑作圓，與直線l2交于F1、F2兩點，則F1、F2就是橢圓的兩個焦點.

備注 若點A恰好是橢圓的頂點，則該圓與橢圓只有兩個交點（其中一個是點A），此時，可對點A進行調(diào)整，使得點A不是橢圓的頂點.

下面給出該作法的證明.

證明 如圖1，不妨設(shè)橢圓的方程為x2a2+y2b2=1（a>b>0），點A的坐標(biāo)為x0，y0，其中x0≠±a且x0≠0，于是圓的方程為x2+y2=x20+y20.由于橢圓和圓都關(guān)于x軸、y軸、原點對稱，所以點B、C的坐標(biāo)分別為x0，-y0、-x0，-y0，于是直線AB、AD的方程分別為x=x0、y=y0，所以直線l1、l2的方程分別為x=0、y=0，所以直線l1、l2就是橢圓的兩條對稱軸.

因為OE=b，EF1=a，所以O(shè)F1=EF12-OE2=a2-b2=c，同理，OF2=c，于是F1、F2是橢圓的兩個焦點.

2 找出已知雙曲線的對稱軸、頂點和焦點

步驟如下：

圖2

1.利用文[2]的方法找到雙曲線的中心O;

2.如圖2，在雙曲線上任找一點A（不是雙曲線的

頂點），以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓，該圓與雙曲線

的其余三個交點分別為B、C、D;

3.連接AB、AD，過點O分別作AB、AD的平

行線，得到直線l1、l2，則直線l1、l2就是雙曲線的兩條對稱軸;

4.直線l2與雙曲線交于E、F兩點，則E、F是雙曲線的兩個頂點;

5.以O(shè)為圓心，OE為半徑作圓C1;

6.過點D，利用文[3]的方法作雙曲線的切線l3，與C1交于點G;

7.過點G作l3的垂線，交l2于點F2，作點F2關(guān)于直線l1的對稱點F1，則點F1、F2就是雙曲線的兩個焦點.

備注 若點A恰好是雙曲線的頂點，則以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓與雙曲線只有兩個交點（其中一個是點A），此時，可對點A進行調(diào)整，使得點A不是雙曲線的頂點.

關(guān)于雙曲線的頂點、對稱軸的證明方法與橢圓的證明類似，此處不再贅述.下面證明F1、F2是雙曲線的兩個焦點.

證明 如圖2，不妨設(shè)雙曲線的方程為x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），點D的坐標(biāo)為x0，y0，其中x0≠±a，點G的坐標(biāo)為m，n.

因為點D在雙曲線上，所以x20a2-y20b2=1，即

x20=a2+a2y20b2………①.

點G在圓C1上，所以m2+n2=a2………②.

切線l3的方程為x0xa2-y0yb2=1，而點G在l3上，所以mx0a2-ny0b2=1，即b2mx0-a2ny0=a2b2，兩邊平方，化簡可得

2mnx0y0a2b2=b4m2x20+a4n2y20-a4b4………③.

因為GF2⊥l3，所以直線GF2的斜率為-a2y0b2x0，所以直線GF2的方程為y-n=-a2y0b2x0x-m，令y=0，可得點F2的橫坐標(biāo)為xF2=b2nx0+a2my0a2y0，平方可得x2F2=b4n2x20+a4m2y20+2mnx0y0a2b2a4y20，將③式代入該式子，可得

x2F2=b4n2x20+a4m2y20+b4m2x20+a4n2y20-a4b4a4y20=b4m2+n2x20+a4m2+n2y20-a4b4a4y20.

將②式代入，可得

x2F2=a2b4x20+a6y20-a4b4a4y20.

將①式代入，可得

x2F2=a2b4a2+a2y20b2+a6y20-a4b4a4y20

=a4b4+a4b2y20+a6y20-a4b4a4y20

=a4b2y20+a6y20a4y20

=

a2+b2=c2，所以xF2=c，于是點F2是雙曲線的右焦點，從而點F1是雙曲線的左焦點.

3 找出已知拋物線的焦點

步驟如下：

1.利用文[2]的方法找到拋物線的頂點O和對稱軸l;

2.如圖3，在拋物線上任找一點A（不是拋物線的頂

點），過A作AB⊥l于點B，作點B關(guān)于頂點O的對稱點

C，連接AC;

3.過點A作AD⊥AC，交對稱軸l于點D;

4.取CD中點為F，則點F就是拋物線的焦點.

下面給出該作法的證明.

圖3

證明 不妨設(shè)拋物線的方程為y2=2px（p>0），點A的坐標(biāo)為x0，y0，其中x0≠0，則點B的坐標(biāo)為x0，0，點C的坐標(biāo)為-x0，0.于是直線AC的斜率為y0-0x0--x0=y02x0，直線AD的方程為y-y0=-2x0y0x-x0.令y=0，可得x=x0+p，所以點D的坐標(biāo)為x0+p，0，所以CD中點F的坐標(biāo)為p2，0，所以點F就是拋物線的焦點.

參考文獻

[1] 張偉.使用幾何畫板如何找出已知橢圓的中心[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2014（7）：23.

[2] 黃偉亮.使用幾何畫板找出雙曲線的中心和拋物線的焦點[J] .中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2015（3）：65.

[3] 黃偉亮.雙曲線、拋物線切線的尺規(guī)作法[J].數(shù)學(xué)通報.2004（12）：26

作者簡介 黃偉亮，男，1979年生，廣東肇慶人，中學(xué)數(shù)學(xué)一級教師.研究方向是中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)與解題研究、高考試題分析.發(fā)表文章50多篇，主編參編教輔資料10本.