導(dǎo)數(shù)與不等式聯(lián)姻的解決策略

孫建山

（江蘇省六合高級(jí)中學(xué)）

例1.（2008 江蘇高考數(shù)學(xué)第14 題）f（x）=ax3-3x+1 對(duì)于x∈［-1，1］總有f（x）≥0 成立，則a=______.

解法1（分離參數(shù)）：由題意可得：ax3≥3x-1 在x∈［-1，1］上恒成立.

（1）當(dāng)x=0 時(shí)，不等式顯然恒成立，此時(shí)a∈R.

綜上：a=4.

此解法通過(guò)分離參數(shù)轉(zhuǎn)化成a≥h（x）或者a≤h（x），然后求h（x）的最值，當(dāng)然有些題目也可以轉(zhuǎn)化成ag（x）≥h（x）或者ag（x）≤h（x）［也就是說(shuō)不需要把與a（也可能是關(guān)于a 的參數(shù)團(tuán)）相乘的關(guān)于a 的代數(shù)式都除到另一邊］，當(dāng)然ag（x），h（x）最好是我們比較熟悉的一些函數(shù)，然后通過(guò)圖像等方法求出a 的數(shù)值或者范圍.

此解法并未上來(lái)就求導(dǎo)討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，而是通過(guò)取特值先適當(dāng)縮小參數(shù)a 的范圍，然后再求導(dǎo)，這樣在許多的情況下可以適當(dāng)簡(jiǎn)化討論.

例2.（2015 山東高考數(shù)學(xué)理第21 題）設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x+1）+a（x2-x），其中a∈R.

（1）討論函數(shù)f（x）極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；

（2）若坌x＞0，f（x）≥0 成立，求a 的取值范圍.

此解法借助導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)確定參數(shù)的取值范圍，然后對(duì)參數(shù)取值范圍以外的部分進(jìn)行分析驗(yàn)證其不符合題意，即可確定所求參數(shù)的范圍.解法1 和解法2 同樣適用此題.

下面筆者選兩題可供讀者練習(xí)：

1.（2010 新課標(biāo)第21 題）設(shè)函數(shù)f（x）=ex-1-x-ax2.

（1）若a=0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若當(dāng)x≥0 時(shí)f（x）≥0，求a 的取值范圍.

2.（2012 天津理第20 題）已知函數(shù)f（x）=x-ln（x+a）的最小值為0，其中a＞0.

（1）求a 的值；

（2）若對(duì)任意的x≥0，有f（x）≤kx2成立，求實(shí)數(shù)k 的最小值.