多序半群與多序半模的性質(zhì)及應(yīng)用*

李武明，葛力銖，宋元鳳,3

(1.通化師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 通化 134002；2.吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 四平 136000；3.吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130012)

多序半群與多序半模的性質(zhì)及應(yīng)用*

李武明1，葛力銖2，宋元鳳1,3

(1.通化師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 通化 134002；2.吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 四平 136000；3.吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130012)

以具有多種序結(jié)構(gòu)的Minkowski空間為原空間，以單序半群理論為理論基礎(chǔ)，抽象出多序半群與多序半模(多序半線性空間)等概念，并用于討論數(shù)學(xué)與物理中的問(wèn)題.主要研究?jī)?nèi)容為：引入多序半群及多序半線性空間的概念，并給出實(shí)例；由多序半群與多序半模(多序半線性空間)的概念為基礎(chǔ)概念，引入多內(nèi)積空間與多距離空間的概念，討論Minkowski空間的幾何性質(zhì)，在Minkowski空間中引入與狹義相對(duì)論力學(xué)兩個(gè)基本假設(shè)相容的多序鄰域概念，討論Minkowski空間的分析性質(zhì).

序半群；多序半群；多序半模；Minkowski空間

生存空間的有序性是序代數(shù)理論產(chǎn)生及發(fā)展的原因.早在1905年，Einstein的相對(duì)論時(shí)空觀對(duì)牛頓時(shí)空觀的超越，使人們認(rèn)識(shí)到，我們生存的空間并不是用于刻劃經(jīng)典力學(xué)的Euclid空間.1908年，德國(guó)數(shù)學(xué)家Minkowski給出了用于刻劃狹義相對(duì)論時(shí)空的線性空間理論，被后人稱為Minkowski空間,是一種含有多種序結(jié)構(gòu)的非Euclid空間.Minkowski要求他所創(chuàng)立的空間性質(zhì)要與狹義相對(duì)論的兩個(gè)基本假設(shè)相容，這導(dǎo)致空間向量自身內(nèi)積具有不定性；導(dǎo)致非零向量自身內(nèi)積可以為零；導(dǎo)致空間兩點(diǎn)間距離(時(shí)空間隔)不只與空間位置有關(guān)，也與兩點(diǎn)確定的方向有關(guān)；導(dǎo)致由空間三點(diǎn)確定的三角形三邊的長(zhǎng)度不滿足三角不等式.這些有別于Euclid空間的“奇異”性質(zhì)均與空間的有序性有關(guān).本文以Minkowski空間為原空間，抽象出多序半群及多序半模等概念，并用于討論時(shí)空結(jié)構(gòu)問(wèn)題.

本文討論的p+q(pq≠0)維Minkowski空間由Clifford代數(shù)CLp,q的生成空間Rp,q表述[1-5].p=q=1及p=1,q=3時(shí)，依次稱為Minkowski平面(時(shí)空平面)及四維Minkowski時(shí)空[6-7].

1 多序半群與多序半模

1.1 多序半群

定義1 (多序半群)設(shè)G是一個(gè)半群，i(i∈I,I為指標(biāo)集)為G的半序關(guān)系，(G,i)為序半群[8]，則稱(G,i)i∈I為多序半群.

例1 在如上定義中，當(dāng)I=φ(空集)時(shí)，有(G,i)i∈I=G；當(dāng)I={1,2,…,n(n<∞)}時(shí)，(G,i)i∈I=(G,1;2;…,n)稱為n序半群；特別地，n=1時(shí)，(G,i)i∈I=(G,1)為(單)序半群.可知，半群與序半群均為多序半群的特例.

例2 在Minkowski平面R1,1中，任取w1=x1e1+y1e2，w2=x2e1+y2e2∈R1,1.定義半序關(guān)系w11w2?2w2?則(R1,1,1)與(R1,12)均為單序半群，而(R1,1,1;2)為雙序半群.

定義2 (限序半群)設(shè)(G,i)i∈I為多序半群，J為指標(biāo)集I的子集，則稱(G,i)j∈J為多序半群(G,i)i∈I的限序半群.

例3 當(dāng)J=I時(shí)，(G,j)j∈J=(G,i)i∈I；當(dāng)J=φ時(shí)，(G,j)j∈J=G，兩者稱為(G,i)i∈I的平凡限序半群。

例4 將R1,1中所有類光向量所成集記為N={w∈R1,1|w·w=0}，則N將R1,1中的所有向量分成四部分，記為R1,1(i),i=1,2,3,4.其中

定義半序關(guān)系w11w2?w2-w1∈R1,1(i)，?w1,w2∈R1,1，則(R1,1,i)i∈{1,2,3,4}構(gòu)成四序半群.其所有可能的限序半群為(R1,1,j)j∈J，其中J為I的子集，共有24種選擇.

1.2 多序半模

定義3(多序半模) 設(shè)(G,i)i∈I為多序半群，若G還是(半環(huán)R上)半模，使得任取i∈I有(G,i)是序半模，則稱(G,i)i∈I為多序半模(或稱多序半線性空間).

例5 類同于例1可知，半模與序半模均為多序半模的特殊情形.

例6 例4中的(R1,1,i){i∈1,2,3,4}，構(gòu)成半環(huán)R+上的四序半模.

例7 考察例4中的R1,1與N,原點(diǎn)將N分成四部分，記為N(k),k=1,2,3,4.其中

N(1)={x(e1+e2)∈R1,1|x≥0},

N(2)={x(-e1+e2)∈R1,1|x≥0},

N(3)={-x(e1+e2)∈R1,1|x≥0},

N(4)={x(e1-e2)∈R1,1|x≥0}.

定義半序關(guān)系w1kw2?w2-w1∈N(k),?w1,w2∈R1,1，則(R1,1,k)k∈{1,2,3,4}構(gòu)成四序半模.

1.3 多序半模與時(shí)空平面的線段最長(zhǎng)定理

命題1 設(shè)(R1,1,i)i∈{1,2,3,4}為例6中的四序半模，任取w0,w1,w2∈R1,1，當(dāng)w0iw1,w0iw2,i∈{1,2,3,4}時(shí)，有σM(w2+w1-2w0)≥σM(w1-w0)+σM(w2-w0).特別地，w0=0時(shí)，有反向三角不等式σM(w2+w1)≥σM(w1)+σM(w2).其中為w=xe1+ye2的M模長(zhǎng)(Minkowski模長(zhǎng)).

命題2 任取w1,w2,…,wn∈R1,1(i)，i∈{1,2,3,4}，如下不等式成立

σM(w1+w2+…+wn)≥

σM(w1)+σM(w2)+…+σM(wn).

定義4 設(shè)R1,1的連續(xù)曲線L在其定義區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且每一點(diǎn)的切線為類時(shí)(空)線，則稱L是R1,1的類時(shí)(空)曲線.

記L[A,B]為以A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)的所有類時(shí)曲線所成集，LA,B為L(zhǎng)[A,B]中直線段.有如下定理．

定理1(線段最長(zhǎng)定理) 任取l∈L[AB]，由σ(l)表示其長(zhǎng)度，則有σ(l)≤σ(LAB).

利用多序半群與多序半模理論，可將如上命題與定理的結(jié)論向3+1維時(shí)空推廣.

2 多序半群與多序鄰域

眾所周知，在經(jīng)典復(fù)平面C上，任取z1,z2∈C，當(dāng)z1≠z2時(shí)，存在開(kāi)圓盤B(z1,r1)={z∈C|σE(z-z1)

這一事實(shí)是經(jīng)典復(fù)函中鄰域概念引入的邏輯基礎(chǔ).那么，在作為時(shí)空平面的雙曲復(fù)平面上考慮同樣的問(wèn)題，會(huì)有什么結(jié)果呢？能夠建立起類似的鄰域概念并得到相應(yīng)的結(jié)論嗎？結(jié)論是否定的.

2.1 時(shí)空?qǐng)A盤與時(shí)空平面的多序鄰域

有別于經(jīng)典復(fù)平面(橢圓復(fù)平面)C的開(kāi)圓盤，作為時(shí)空平面的雙曲復(fù)平面H={x+jy|j2=1,j?R}上以z0為心r為半徑的時(shí)空開(kāi)圓盤與時(shí)空閉圓盤可依次表為

B(z0,r)={z∈H|σM(z-z1)

注意到H上的時(shí)空點(diǎn)圓可表為

{z∈H|z-z0=r(1±j),r∈R},

它由過(guò)z0點(diǎn)的兩條正交直線構(gòu)成，由于任何兩個(gè)時(shí)空點(diǎn)圓必相交，而任何的時(shí)空?qǐng)A盤必含有一個(gè)時(shí)空點(diǎn)圓，故有如下定理.

定理2 在雙曲復(fù)平面上，任意兩個(gè)時(shí)空?qǐng)A盤必相交.

定義5 (H平面的八序鄰域)記U(z0,r)={z∈H|σ(z-z0)

注意到與如上鄰域?qū)?yīng)的距離函數(shù)為σM,可知任意點(diǎn)的類光序鄰域均為過(guò)該點(diǎn)的兩條正交直線,這一事實(shí)告訴我們,若對(duì)類光序鄰域做進(jìn)一步的研究,就要引入有別于時(shí)空間隔σM的新的距離函數(shù).思考這些問(wèn)題,有必要引入多內(nèi)積空間與多距離空間的概念.

定義6(多內(nèi)積空間) 設(shè)S為半環(huán)R上的線性空間,是S的半序關(guān)系,ρ是與半序關(guān)系對(duì)應(yīng)的S的內(nèi)積,則三元組(S,,ρ)稱為S的一個(gè)半序內(nèi)積空間(簡(jiǎn)稱序內(nèi)積空間).若(S,i,ρi),i∈I(I為指標(biāo)集)為S的序內(nèi)積空間，則稱(S,i,ρi)i∈I為S的多序多內(nèi)積空間.

定義7(多距離空間) 設(shè)S為半環(huán)R上的線性空間,是S的半序關(guān)系,d是與半序關(guān)系對(duì)應(yīng)的S的距離，則三元組(S,,d)稱為S的一個(gè)半序距離空間(簡(jiǎn)稱序距離空間).若(S,i,d1),i∈I(I為指標(biāo)集)為S的序距離空間，則稱(S,i,di)i∈I為S的多序多距離空間.

定義8(H平面的八序雙距鄰域)U(z0,r;ξ,σM;ζ,σE)ξ∈I,ζ∈J,其中,I={t+,t-,s+,s-},J={h++,h--,h-+,h+-}.限序鄰域U(z0,r;ζ,σE)ζ∈J為類光鄰域,可用于考察類光錐中點(diǎn)的鄰近關(guān)系.

2.2 時(shí)空平面多序鄰域的性質(zhì)

考察由定義8給出的八序鄰域的限序鄰域U(z0,ρ;ξ)ξ∈{t+,t-,s+,s-,h++,h--,h-+,h+-}的限序鄰域U(z0,ρ;ξ)ξ∈{t+}=U(z0,ρ;t+)，稱其為H的未來(lái)類時(shí)鄰域，且有如下的結(jié)論成立：

定理3(t+型鄰域(未來(lái)時(shí)序鄰域)的不交鄰域存在定理) 設(shè)lt是H平面上的類時(shí)曲線,則對(duì)任意z1,z2∈lt,當(dāng)z1≠z2時(shí),存在r1,r2∈R+使得限序鄰域

U(z0,ri;ξ,σM;ζ,σE)ξ∈t+=

U(z0,ri;t+,σM),i=1,2

且有U(z0,r1;t+,σM)∩U(z0,r2;t+,σM)=?. 定理4(t+型鄰域的有限覆蓋定理) 設(shè)lt(za,zb)是以za,zb為起點(diǎn)的類時(shí)曲線，若lt(za,zb)可被t+型鄰域集Ut+={U(zi,ri;t+),i∈I}覆蓋，則lt(za,zb)可被Ut+中有限個(gè)鄰域覆蓋.

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10.13877/j.cnki.cn22-1284.2015.08.006

2014-12-20

通化師范學(xué)院自然科學(xué)科研項(xiàng)目“實(shí)Clifford代數(shù)的實(shí)矩陣表示及其子群結(jié)構(gòu)”(201433)

李武明,吉林通化人,教授．

O153.3

A

1008-7974(2015)04-0014-03