諧波檢測算法中Butterworth低通濾波器優(yōu)化設(shè)計(jì)及實(shí)現(xiàn)

張利，薛濤，張鳳

（棗莊科技職業(yè)學(xué)院電氣工程系，山東滕州277599）

1 引言

隨著越來越多的電力裝置，如UPS 開關(guān)電源、起重機(jī)、整流逆變器等大量的投入到辦公和工廠中使用，電網(wǎng)的諧波分量也隨之增加，其會發(fā)生過熱、振蕩甚至故障等問題。而有源濾波器APF作為補(bǔ)償諧波的利器，眾學(xué)者對其的研究也越來越廣泛和深入［1-3］。

有源濾波器APF 的原理是控制逆變橋式電路輸出一個與負(fù)載諧波等值反向的電流，從而使得電源側(cè)的電流趨于正弦波，提高電能質(zhì)量。而在APF的設(shè)計(jì)中，對諧波電流高精度的檢測是其安全穩(wěn)定運(yùn)行的基本保證。而其中大多諧波檢測算法是以經(jīng)典的瞬時無功功率理論為根本，不斷地在其基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)。其中重要的一環(huán)為低通濾波器的設(shè)計(jì)，直接影響到APF的補(bǔ)償效果和工作性能［4-5］。本文詳細(xì)推導(dǎo)出了一種新的Butterworth 數(shù)字低通濾波器的數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行仿真和實(shí)驗(yàn)研究，證明了其準(zhǔn)確性及可靠性。

2 APF數(shù)學(xué)模型

對于典型的dq，pq，ip_iq等諧波檢測算法，在電網(wǎng)電壓穩(wěn)定無畸變的情況下，它們都可以準(zhǔn)確地檢測出電路中的諧波。但是對于ip_iq法［6］，當(dāng)電網(wǎng)電壓不對稱時，檢測出的無功電流有較大偏差；同樣pq法［7］在電網(wǎng)電壓不對稱或是嚴(yán)重畸變時，檢測的諧波以及無功電流也會有很大偏差。而對于dq0 旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)下的諧波檢測方法［8］，其突出特點(diǎn)是可以在電壓含有諧波或是不對稱的情況下準(zhǔn)確檢測?；诖?，本文采用dq0 旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)下的諧波檢測算法，并在Butterworth 濾波器配合下，更好地提取出基波電流分量。

假設(shè)負(fù)載側(cè)電流如下式所示：

式中：ilk為第k次各序電流幅值（+表示正序，-表示負(fù)序，0表示零序）。

Park變換式為

將式（1）帶入Park變換式（2）后得到在dq0坐標(biāo)下的電流表達(dá)形式：

通過式（3）發(fā)現(xiàn)，各次諧波電流經(jīng)過Park 變換后，電流正序分量降低一階次，電流負(fù)序分量則升高一階次。其原理圖如圖1所示。

圖1 dq0坐標(biāo)下諧波檢測原理圖Fig.1 Harmonic detection under dq0 coordinates

圖1中，ild，ilq以及il0表示經(jīng)過Park 坐標(biāo)變換后的d，q，0 軸分量，其中b 表示基波分量，h 表示諧波分量。

同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸提取諧波的過程如圖1 所示，令三相電網(wǎng)的負(fù)載側(cè)經(jīng)CT（電流傳感器）檢測到的電流為ila，ilb，ilc，再通過3/2 變換和旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸運(yùn)算后得到電流為ild，ilq，il0。而后將d，q 軸上的信號經(jīng)過LPF 低通濾波器，可以得到d，q 軸上的直流分量，依據(jù)式（3），可以清楚知道這些直流分量對應(yīng)的是三相坐標(biāo)軸上的有功電流和無功電流。觀察圖1，當(dāng)圖1 中多路選擇器S 選通時，該APF 系統(tǒng)對電網(wǎng)中存在的無功功率不進(jìn)行補(bǔ)償，當(dāng)圖1 中多路選擇器S 斷開時，APF系統(tǒng)對電網(wǎng)中存在的諧波和無功，一起進(jìn)行治理和消除。

3 Butterworth低通濾波器

由式（1）～式（3）以及圖1可以看出，為了從檢測出含有諧波含量的總電流中獲得有用的直流電流分量，低通濾波器（LPF）是至關(guān)重要的一個環(huán)節(jié)，其性能會嚴(yán)重影響檢測的精確度，進(jìn)而影響到APF的工作性能。因此，低通濾波器的設(shè)計(jì)占據(jù)系統(tǒng)及其重要的地位［10-11］。

現(xiàn)如今有多種模擬濾波器供我們選擇，如切比雪夫?yàn)V波器（Chebyshev），貝塞爾濾波器（Bessel），橢圓濾波器（Ellipse），巴特沃斯濾波器（Butterworth）等，研究發(fā)現(xiàn)，相比于眾多的低通濾波器，Butterworth濾波器更具穩(wěn)定性和快速性。本文基于此推導(dǎo)出一種新的濾波器，并通過仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了其穩(wěn)定性和快速性［12-13］。

Butterworth 低通濾波器的幅度平方傳遞函數(shù)||H(jΩ)2用下式表示：

式中：N為低通濾波器的階數(shù)。

當(dāng)Ω=0時，||H(jΩ)=1；當(dāng)Ω=Ωc時，||H(jΩ)=Ωc是3 dB的截止頻率，當(dāng)Ω=Ωc附近時，隨著Ω的增大，幅度衰減迅速。幅度特性與Ω和N有關(guān)，N 取值越大，通頻帶則越平坦，過渡帶和阻帶之間衰減的越快速，接近理想的濾波效果。

將S=jΩ代入式（4）中，得到：

令復(fù)變量S=δ+jΩ，由式（5）看出幅度平方函數(shù)含有2N個極點(diǎn)，極點(diǎn)Sk可以用下式表示：

式中：k=0，1，2，3，…，2N-1。

2N 個極點(diǎn)等角度的分布在以Ωc為半徑的圓上，角度間隔為π/N rad。為了使濾波器穩(wěn)定運(yùn)行，則從2N個極點(diǎn)中取出N個S平面上左半軸上的點(diǎn)構(gòu)成H(s)，右半軸上的點(diǎn)則構(gòu)成H(-s)。則H(s)的表達(dá)式為

如果設(shè)N=3，則極點(diǎn)個數(shù)為2N=6個，它們分別為

我們?nèi) 左半軸上的點(diǎn)分別為S0，S1，S2得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

由于CPU處理的都是數(shù)字信號，可以通過數(shù)值積分將模擬信號數(shù)字化，因?yàn)槿魏蜰階高階系統(tǒng)都可以最后化為

且分解后的H1(s)，H2(s)，HN(s)都可以用kN/(s+a)表示。而kN/(s+a)由下式得到：

同時對上式兩邊進(jìn)行積分：

式中：T為采樣周期。

進(jìn)而近似等效為

對式（11）進(jìn)行Z變換：

聯(lián)立式（8）和式（12）：

將S=δ+jΩ代入式（13）得：

根據(jù)上面的理論推導(dǎo)，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性：

1）當(dāng)δ ＜0時， ||z ＜1，S 域左邊半軸平面投影到Z域時，表示的在其單位圓內(nèi)，意為其是穩(wěn)定的系統(tǒng)。

2）當(dāng)δ=0時， ||z=1，S 域坐標(biāo)軸恰好投影到Z域單位圓邊界上，意為其是臨界穩(wěn)定的系統(tǒng)。

3）當(dāng)δ ＞0時， ||z ＞1，S 域右邊半軸平面投影到Z域時，表示的在其單位圓外，意為其是不穩(wěn)定的系統(tǒng)。

通過以上分析得S函數(shù)如何轉(zhuǎn)化為Z函數(shù)，為了更進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)DSP 的編程，必須再將Z函數(shù)轉(zhuǎn)化為差分方程形式。由自動控制原理可知，數(shù)字濾波器一般可以表示成如下的差分方程形式：

Z變換并化簡后得：

式中：ak，bk成為濾波系數(shù)。

經(jīng)過以上步驟設(shè)計(jì)好Butterworth低通濾波器后，即可求出濾波系數(shù)，在DSP內(nèi)編程實(shí)現(xiàn)。

4 Matlab仿真

本文在Matlab 中設(shè)計(jì)一個3 階Butterworth低通濾波器，采樣率是5 kHz，截止頻率是30 Hz。利用Matlab 中的Start→Toolboxes→Filter Design得出濾波器的幅頻特性和相頻特性曲線圖，見圖2、圖3。

圖2 Butterworth低通濾波器幅頻特性曲線圖Fig.2 Amplitude frequency characteristic curve of Butterworth low-pass filter

由圖2和圖3表示的響應(yīng)特性曲線圖比較可以看出：

1）Butterworth 低通濾波器的幅頻特性在截止頻率后隨著頻率的增加而單調(diào)減小，但其擁有平坦的通帶特性。

2）Butterworth 低通濾波器的相頻特性曲線是非線性的，且響應(yīng)速度較快。

圖3 Butterworth低通濾波器相頻特性曲線圖Fig.3 Phase frequency characteristic curve of Butterworth low-pass filter

5 DSP實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

通過前面的理論推導(dǎo)分析，如果要保證該裝置的精確性和跟蹤可靠性，就需要提高檢測的精度，那么就必須要有良好的硬件為支撐。鑒于上面原因，本文實(shí)驗(yàn)采用的是DSP+FPGA為控制核心部分。DSP主要是進(jìn)行電流、電壓信號的采集和計(jì)算出脈沖占空比，而FPGA 主要是構(gòu)造三角波發(fā)生器和死區(qū)延時處理，產(chǎn)生PWM波控制IGBT的導(dǎo)通和關(guān)斷。

主控芯片采用的是TI 公司研發(fā)的數(shù)字信號處理器DSP28335。其包含了以前28 系列DSP芯片的優(yōu)勢，能夠快速地執(zhí)行浮點(diǎn)運(yùn)算，大大節(jié)省了代碼的執(zhí)行時間，提高了運(yùn)行的效率。FPGA 采用的是邏輯單元陣列LCA，內(nèi)部包含了可編程配置模塊CLB，輸入與輸出模塊IOB，和豐富的內(nèi)部可編程連接線。FPGA 主要利用的LUT 查找表來實(shí)現(xiàn)組合邏輯電路，緊接查找表是1 個D 觸發(fā)器，觸發(fā)器是用來驅(qū)動其它部分電路或連接到IO 口的。 本實(shí)驗(yàn)采用的是DSP28335和Xilinx（賽靈思）SPARTAN 3E 100E的FPGA芯片。

本實(shí)驗(yàn)采用的是3個Starpower的IGBT模塊組成逆變器主電路部分，直流側(cè)用8 個600 V 的EACO 薄膜電容，電容容量為3 760 μF 的電容器組，兩兩并聯(lián)，從而完成100 A，380 V的有源濾波器試驗(yàn)樣機(jī)。

實(shí)驗(yàn)得到的負(fù)載、電網(wǎng)以及補(bǔ)償電流波形如圖4～圖6所示。

由APF的原理可以知道，逆變器輸出一個與負(fù)載諧波大小相等方向相反的電流，補(bǔ)償使得電源側(cè)的電流趨于正弦波。結(jié)合上面得到的3組電流波形，由圖4 和圖5 比較可以看出，通過dq0 旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)諧波檢測及本文推導(dǎo)出的Butterworth 數(shù)字低通濾波器，逆變器可以很好地跟蹤給定，基本實(shí)現(xiàn)諧波和無功的全補(bǔ)償，從而使得電網(wǎng)電流的波形如圖6所示，基本趨于正弦波。

圖4 負(fù)載電流Fig.4 Load current

圖5 逆變器輸出電流Fig.5 The output current of the inverter

圖6 電網(wǎng)電流Fig.6 Grid current

6 結(jié)論

本文先基于APF模型推導(dǎo)出在dq0旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)下的諧波檢測算法，進(jìn)而得出低通濾波器的重要性，然后詳細(xì)推導(dǎo)出一種新的Butterworth數(shù)字低通濾波器，其可以很好地調(diào)節(jié)穩(wěn)態(tài)誤差與動態(tài)響應(yīng)時間之間的矛盾，仿真和實(shí)驗(yàn)研究都證明了此低通濾波器是正確可靠的，動態(tài)響應(yīng)速度快，而且其性能達(dá)到了諧波檢測高精度和實(shí)時性的要求。

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