機(jī)床支撐地腳結(jié)合部法向粗糙接觸建模

田紅亮，余 媛，張 屹

（三峽大學(xué) 機(jī)械與動力學(xué)院，湖北 宜昌443002）

將式（39）代入式（42）得［12］

機(jī)床整機(jī)動態(tài)特性是指機(jī)床整機(jī)結(jié)構(gòu)在動態(tài)力作用下所展現(xiàn)出來的動態(tài)特性，通常包含振型、固有頻率、阻尼比、諧響應(yīng)、動剛度、動柔度等［1］.國內(nèi)早在從20世紀(jì)80年代初期開始，北京機(jī)床研究所與陜西機(jī)械學(xué)院開展對整機(jī)動態(tài)特性的研發(fā)，編制了“金屬切削機(jī)床樣機(jī)試驗(yàn)規(guī)范總則（試行稿）”，并開發(fā)了機(jī)床整機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化分析軟件包［2］.Greenwood等［3］率先研究了粗糙表面的微觀接觸機(jī)理，架構(gòu)了粗糙表面的彈性接觸理論，即GW 理論.Polycarpou等［4］對GW 理論中簡單的指數(shù)分布進(jìn)行了修正，采用修正的指數(shù)分布推導(dǎo)出了接觸粗糙表面法向接觸參數(shù)的解析近似解.Chang等［5］考慮微接觸點(diǎn)的2種變形方式，純彈性和塑性，根據(jù)兩半球體微接觸點(diǎn)在塑性變形時球臺體積守恒建立接觸粗糙表面實(shí)際接觸面積和法向接觸負(fù)載的分析解，但該模型只考慮了微凸體的完全彈性變形與完全塑性變形機(jī)制，沒計(jì)及兩者之間的彈塑性過渡變形機(jī)制，因此在臨界屈服點(diǎn)處導(dǎo)致法向接觸載荷不連續(xù).Tian等［6-9］聯(lián)合分形理論和等效虛擬材料的有限元建模思路分析了螺栓結(jié)合部的接觸特性.尤晉閩等［10］基于對粗糙表面形貌統(tǒng)計(jì)分析的基礎(chǔ)上，綜合考慮微凸體的完全彈性、彈塑性與完全塑性3種變形機(jī)制，構(gòu)建了結(jié)合部的接觸面積、接觸載荷與接觸剛度的統(tǒng)計(jì)模型.Zhao等［11］按照微凸體變形的連續(xù)性以及光滑性，用模板3次多項(xiàng)式擬合了彈塑性變形階段，提出了一種結(jié)合部彈塑性接觸模型，但對于彈塑性變形區(qū)間接觸壓應(yīng)力的估計(jì)不夠準(zhǔn)確.機(jī)床的安裝通常需要在床身與地基之間放置可以調(diào)整機(jī)床水平的支撐地腳，但現(xiàn)有文獻(xiàn)在對機(jī)床整機(jī)動態(tài)特性進(jìn)行分析時，大多忽略了地腳的影響.近年來隨著機(jī)床向高速化發(fā)展，在高速切削領(lǐng)域機(jī)床的動態(tài)特性對機(jī)床性能的影響更加顯著.隨著有限元理論、分析軟件、機(jī)床振動測量與分析儀器的發(fā)展，當(dāng)前國內(nèi)外又一次開展了機(jī)床動態(tài)特性研究熱潮.

綜上所述，現(xiàn)有的微觀接觸力學(xué)理論還未對地腳進(jìn)行全面的研究，本文在以上研究的基礎(chǔ)上，以混凝土地坪與標(biāo)準(zhǔn)平板互相接觸形成的金屬切削機(jī)床底座支撐地腳結(jié)合部為考察對象，考慮微接觸點(diǎn)的2個彈塑性變形區(qū)域，構(gòu)架干摩擦金屬結(jié)合部法向接觸參數(shù)的統(tǒng)計(jì)模型.

1 地腳結(jié)合部的微觀變形與宏觀參數(shù)

機(jī)床底座支撐地腳結(jié)合部的組成見圖1.

混凝土地坪與標(biāo)準(zhǔn)平板的微觀接觸見圖2，其中，z為混凝土地坪微接觸點(diǎn)的高度，d 為混凝土地坪與標(biāo)準(zhǔn)平板之間的間距，w 為微接觸點(diǎn)的法向變形量，R 為微接觸點(diǎn)的半徑.

微接觸點(diǎn)的法向變形量為

微接觸點(diǎn)的彈性臨界法向變形量［5］為

式中：K 為最大接觸壓應(yīng)力因子，K ＝0.454＋0.41ν，ν為較軟材料的泊松比；H 為較軟材料的硬度；E 為當(dāng)量彈性模量，表達(dá)式為

式中：E1與ν1分別為混凝土地坪的彈性模量與泊松比；E2及ν2依次為標(biāo)準(zhǔn)平板的彈性模量及泊松比.

Kogut等［12］認(rèn)為，當(dāng)wc≤w ≤110wc，微接觸點(diǎn)處于彈塑性變形范圍.根據(jù)數(shù)值計(jì)算結(jié)果，整個彈塑性階段又分為彈塑性變形Ⅰ區(qū)（wc≤w ≤6wc）和彈塑性變形Ⅱ區(qū)（6wc≤w ≤110wc）.

1.1 微接觸點(diǎn)的彈性變形

當(dāng)w ＜wc時，微接觸點(diǎn)發(fā)生彈性變形.單個微接觸點(diǎn)的彈性接觸面積為

整個結(jié)合部的實(shí)際彈性接觸面積為

式中：η為微接觸點(diǎn)的面密度；An為名義接觸面積；φ（z）為微接觸點(diǎn)高度分布的概率密度.

將式（4）代入式（5）得

將式（1）代入式（6）得

式中：σ為微接觸點(diǎn)高度分布的標(biāo)準(zhǔn)差.

式（8）可變?yōu)椋?3］

式中：β ＝ηRσ 為表面粗糙度參量；z＊＝z／σ；d＊＝d／σ；w＊c＝wc／σ；φ＊（z＊）＝σφ（σz＊）；φ（z）dz＝φ＊（z＊）dz＊.

單個微接觸點(diǎn)的彈性接觸負(fù)載為

整個結(jié)合部的彈性接觸負(fù)載為

將式（1）代入式（12）得

將式（17）代入式（15）得［13］

由式（10）可得微接觸點(diǎn)與標(biāo)準(zhǔn)平板的彈性接觸剛度為

若w ＜wc時，由彈性接觸剛度引起的彈性應(yīng)變能為

整個結(jié)合部的彈性接觸剛度為

將式（19）代入式（21）得

將式（1）代入式（22）得

1.2 微接觸點(diǎn)的彈塑性變形

當(dāng)w ＝wc時彈性臨界接觸 面積ac滿足［12］

第Ⅰ彈塑性接觸面積aep1滿足［12］

整個結(jié)合部的第Ⅰ實(shí)際彈塑性接觸面積為

將式（1）代入式（31）得

量綱為1的第Ⅰ實(shí)際彈塑性接觸面積為

式（33）可變?yōu)椋?3］

當(dāng)w ＝wc時，彈性臨界接觸負(fù)載fc滿足［12］

當(dāng)w ＝wc時，平均接觸壓應(yīng)力為

將式（27）和（36）代入式（37）得

將式（2）代入式（38）得［12］

平均彈性接觸壓應(yīng)力［12］為

將式（26）和（35）代入式（40）得

將式（37）代入式（41）得［12］

將式（39）代入式（42）得［12］

將式（43）代入式（41）得

將式（27）代入式（44）得

第Ⅰ彈塑性接觸負(fù)載fep1滿足［12］

整個結(jié)合部的第Ⅰ彈塑性接觸負(fù)載為

將式（1）代入式（49）得

式（51）可變?yōu)椋?3］

發(fā)生彈塑性的微接觸點(diǎn)產(chǎn)生彈塑性應(yīng)變能.沒有達(dá)到彈性極限的微接觸點(diǎn)對彈性應(yīng)變能有貢獻(xiàn)，根據(jù)式（20）可得區(qū)域Ⅰ的彈性應(yīng)變能為

按照式（19），彈性接觸剛度隨著w 的增加而增加，直到w ＝wc時達(dá)到最大值為止，因此第Ⅰ彈塑性接觸剛度為

整個結(jié)合部的第Ⅰ彈塑性接觸剛度為

量綱為1的第Ⅰ彈塑性接觸剛度為

式（57）可變?yōu)?/p>

第Ⅱ彈塑性接觸面積aep2滿足［12］

將式（27）代入式（59）得

整個結(jié)合部的第Ⅱ?qū)嶋H彈塑性接觸面積為

將式（1）代入式（62）得

式（64）可變?yōu)椋?3］

第Ⅱ彈塑性接觸負(fù)載fep2滿足［12］

將式（45）代入式（66）得

整個結(jié)合部的第Ⅱ彈塑性接觸負(fù)載為

將式（1）代入式（69）得

式（71）可變?yōu)椋?3］

第Ⅱ彈塑性接觸剛度為

整個結(jié)合部的第Ⅱ彈塑性接觸剛度為

量綱為1的第Ⅱ彈塑性接觸剛度為

1.3 微接觸點(diǎn)的塑性變形

當(dāng)w ＞110wc時，微接觸點(diǎn)發(fā)生塑性流動.單個微接觸點(diǎn)的塑性接觸面積［10］為

整個結(jié)合部的實(shí)際塑性接觸面積為

將式（1）代入式（80）得

式（82）可變?yōu)椋?3］

單個微接觸點(diǎn)的塑性接觸負(fù)載［10］為

整個結(jié)合部的塑性接觸負(fù)載為

將式（1）代入式（86）得

式（88）可變?yōu)椋?3］

塑性接觸剛度為

整個結(jié)合部的塑性接觸剛度為

1.4 整個結(jié)合部的法向接觸參數(shù)

量綱為1的實(shí)際接觸面積為

將式（9）、（34）、（65）、（83）代入式（95）得［13］

量綱為1的法向接觸負(fù)載為

將式（18）、（52）、（72）、（89）代入式（97）得［13］

量綱為1的法向接觸剛度為

將式（25）、（58）、（77）、（94）代入式（99）得

金屬制品塑性指數(shù)為

將式（16）代入式（101）得

2 地腳結(jié)合部加載的仿真

金屬地腳結(jié)合部材料采用同種材料普通碳素結(jié)構(gòu)鋼Q235，參數(shù)為：E1＝E2＝2.07×1011Pa，H ＝1.96×109Pa，ν1＝ν2＝0.29.表面微觀幾何學(xué)形貌參數(shù)和待求解的塑性指數(shù)見表1.

在表1中取塑性指數(shù)ψ＝1.113 4，如圖3所示表示在微接觸點(diǎn)高度的3種概率密度下實(shí)際接觸面積、法向接觸負(fù)載和法向接觸剛度的比較情形.從圖3中看出，地腳結(jié)合部的實(shí)際接觸面積、法向接觸負(fù)載與法向接觸剛度都隨著混凝土地坪與標(biāo)準(zhǔn)平板之間間距的降低而增加，主要是因?yàn)榛炷恋仄号c標(biāo)準(zhǔn)平板之間間距的減少引起出現(xiàn)接觸的微接觸點(diǎn)的數(shù)目增多，使得實(shí)際接觸面積增加，為此需求更高的法向接觸負(fù)載，更大的法向接觸負(fù)載做功越多，地腳結(jié)合部間存儲的彈性應(yīng)變能越大，法向接觸剛度上升.當(dāng)間距較大時，GW 理論過高預(yù)測法向接觸參數(shù)，當(dāng)d＊＝4時，GW 理論比本文大5個數(shù)量級.除了在d＊＝0和d＊＝4兩端附近區(qū)域外，在間距的正常范圍內(nèi)，本文預(yù)測的法向接觸參數(shù)介乎GW 理論、文獻(xiàn)［4］之間.

表1 涂層微觀形貌參數(shù)和導(dǎo)出塑性指數(shù)Tab.1 Coating micro topographical parameters and deducible plasticity indices

圖3 各種概率密度下法向接觸參數(shù)Fig.3 Normal contact parameters for different probability densities

圖4 各種塑性指數(shù)下的法向接觸參數(shù)Fig.4 Normal contact parameters for diverse plasticity indexes

3 地腳結(jié)合部加載的試驗(yàn)驗(yàn)證

在有限元軟件ANSYS Workbench 中建立床身地腳結(jié)合部動力學(xué)模型［14］，將本文利用解析方法得到的法向接觸剛度嵌入到整體的有限元建模中.在對有限元模型進(jìn)行模態(tài)分析的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步對仿真模型進(jìn)行諧響應(yīng)分析.最后對測試試件試驗(yàn)、忽略地腳參數(shù)仿真、考慮地腳參數(shù)仿真3種模式下的頻率響應(yīng)函數(shù)進(jìn)行對比［15］，見圖5.f 為頻率.由圖5可知當(dāng)考慮地腳結(jié)合部參數(shù)仿真值共振頻率與共振峰值更符合試驗(yàn)值；忽略地腳結(jié)合部參數(shù)仿真值共振頻率大于試驗(yàn)值，共振峰值小于試驗(yàn)值.

根據(jù)三階模態(tài)試驗(yàn)頻率、阻尼比和相關(guān)幾何參數(shù)，可以解算x、y、z 這3 個方向的剛度和阻尼.本文法向接觸剛度與試驗(yàn)結(jié)果的對比見圖6，隨著正壓力的增大，本文法向接觸剛度曲線和z 軸法向試驗(yàn)曲線走勢一致.

圖5 各種模式下的頻率響應(yīng)函數(shù)Fig.5 Frequency response functions under distinct modes

4 結(jié) 論

圖6 理論法向接觸剛度與試驗(yàn)的對照Fig.6 Comparison of theoretical normal contact stiffness with experimental one

（1）地腳結(jié)合部的實(shí)際接觸面積、法向接觸負(fù)載與法向接觸剛度均隨著混凝土地坪與標(biāo)準(zhǔn)平板之間間距的減少而增大.

（2）地腳結(jié)合部的實(shí)際接觸面積、法向接觸負(fù)載及法向接觸剛度皆隨著塑性指數(shù)的增大而變大.

（3）通過有限元仿真的比較能夠看出，考慮了地腳參數(shù)的模型得到的諧響應(yīng)分析和法向接觸剛度結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果更為接近，間接和直接地驗(yàn)證了地腳結(jié)合部法向參數(shù)辨識的準(zhǔn)確性.

（4）單對微接觸點(diǎn)的法向接觸剛度等于法向接觸負(fù)載對微接觸點(diǎn)法向變形量的一階導(dǎo)函數(shù).

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）：

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