巧妙“變”化在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

廣東省韶關(guān)市湞江區(qū)曲仁中學(xué) 藺 勇

數(shù)學(xué)不同于其它學(xué)科，“靈活多變”是數(shù)學(xué)的最大特點，而變化最主要體現(xiàn)在變解法和變題目，這兩方面運用得當，對于老師的教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)都有積極的促進作用，能達到舉一反三的效果。結(jié)合教學(xué)實踐，本文從這兩方面入手，談?wù)勄擅钭兓跀?shù)學(xué)中的應(yīng)用。

一、巧變題目解法

常規(guī)教學(xué)乃至高考，都特別強調(diào)“通法通解”，不可否認，這種方法是應(yīng)用基礎(chǔ)知識的體現(xiàn)，比較實用，相對容易理解。然而，“通法通解”有其自身的局限性，尤其像高考這種大型考試，有些題目用此方法難以解決，就算能解決，也會耗費大量的時間，運算量之大超乎想象。如何找到捷徑，能省時省力，這就需要老師們在平時的教學(xué)中注重變化。巧妙的變化可使問題迎刃而解，達到事半功倍的效果，而這種方法的使用，必須注重對公式的變形應(yīng)用。

例1、（2011年山東高考題）已知動直線l與橢圓C：交于P(x1,y1)Q(x2,y2)兩不同點，且ΔOPQ的面積其中O為坐標原點。

（Ⅰ）證明：均為定值；（Ⅱ）設(shè)線段PQ的中點為M，求的最大值；（Ⅲ）橢圓C上是否存在三點D,E,G，使得？若存在，判斷ΔDEG的形狀；若不存在，請說明理由。

該題結(jié)構(gòu)簡潔、通俗易懂、形式優(yōu)美、內(nèi)涵深刻，是一道十分優(yōu)美的高考解幾題。其標準答案給出的解法是通法，但運算量極其大，而且沒有體現(xiàn)出該題的“內(nèi)在美”，相反的讓人望而生畏。下面來看該題的一種優(yōu)美解法：

解：（Ⅰ）因為P(x1,y1)Q(x2,y2)，所以

又所以

又由柯西不等式得

所以

當且僅當 時，等號成立。

因為點P(x1,y1)Q(x2,y2)在橢圓C：上，所以從而由均值不等式得

當且僅當時，等號成立。

由①、②得即不等式②的等號成立，于是由不等式②的等號成立的條件得，故均為定值。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知所以

所以，所以，當且僅當時，等號成立。故的最大值為。

（Ⅲ）假設(shè)橢圓C上是否存在三點，使得成立，則由（Ⅰ）知：所以又為不同的三點，所以在x3，x4，x5中，只能有兩個相等另一個為其相反數(shù)，不妨設(shè) x3=x4，x5=-x4，則由橢圓的對稱性知D，O，G或E，O，G三點共線，這與矛盾。故橢圓C上不存在滿足條件的三點D，E，G。

上述優(yōu)美解法的獲得正是從三角形面積公式的變形開始，途中既沒有聯(lián)立方程組的繁瑣運算，又避免了分類討論。特別是這種解法不僅揭示了該題的本質(zhì)結(jié)構(gòu)特征及其“內(nèi)在美”，而且也充分體現(xiàn)了用代數(shù)手段去研究幾何圖形性質(zhì)的方法的多樣性，令人拍手稱絕。

變形是簡解、巧解、妙解、美解的助推器，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識與能力的重要載體。一個適當?shù)淖冃?，就可生長出巧解、妙解，省時省力，何樂而不為呢！

二、巧變題目（變式訓(xùn)練）

變式訓(xùn)練對培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維有極大的幫助，是學(xué)生創(chuàng)新思維的必備前提，也是一種良好的學(xué)習(xí)品質(zhì)。變式訓(xùn)練重點在于對某個問題進行多層次、多角度、多方位的探索，恰當與否的變式訓(xùn)練，在教學(xué)中起著至關(guān)重要的作用。

變式訓(xùn)練中應(yīng)該體現(xiàn)以下特征：

1、設(shè)計變式訓(xùn)練首先應(yīng)該能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)的層遞性

例1、如圖∠1=∠2，∠3=∠4，∠A=100°求X的度數(shù)。

變式：已知三角形ABC的∠B和∠C的平分線B E、C M相交于點M。求證：（1）∠B M C=1 8 0°-（∠ABC+∠ACB）

（2）∠BMC=90°+ ∠A

改變?yōu)樽兪接?xùn)練的題目，改變∠BAC的度數(shù)，求∠BMC和∠BAC的關(guān)系。

對已知題目進行了大膽的組合和拓廣，由易到難，由數(shù)字到字母。其已知條件和結(jié)論體現(xiàn)數(shù)學(xué)有數(shù)向代數(shù)的轉(zhuǎn)變，而這恰恰是學(xué)生應(yīng)掌握的重點和難點。此題不僅鍛煉了學(xué)生用類比的方法去思考和學(xué)習(xí)，而且促進學(xué)生對解決問題的思路理解得更為透徹。每問每一變都體現(xiàn)層層遞進，步步深入，環(huán)環(huán)相扣的密切聯(lián)系。

2、變式訓(xùn)練設(shè)計應(yīng)能夠體現(xiàn)知識的規(guī)律性和關(guān)聯(lián)性，便于學(xué)生思考問題時思路的發(fā)展

例2、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域。

分析：（1）關(guān)于形如的單調(diào)性與函數(shù)u=f(x)(f(x)〉0)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，當a〉1時相同，當0〈a〈1時相反，即同增異減。

（2）關(guān)于復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的研究，既是高考的熱點，又是學(xué)生的弱點，因而是我們學(xué)習(xí)的重點。處理這類問題應(yīng)把握好以下三點：①抓住中間變量的變化狀態(tài)；②掌握復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律；③注意復(fù)合函數(shù)的定義域。

3、變式訓(xùn)練應(yīng)該能夠體現(xiàn)命題的前瞻性，盡量貼近高考

例3、（2012遼寧理）已知等差數(shù)列{an}滿足a2=0，a6+a8=-10。

（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前n項和。

解析：（Ⅰ）an=2-n，解法從略；

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前n項和為Sn。由（Ⅰ）知，an=2-n，所以

令，則整理，得即，比較兩邊的系數(shù)，得，解得A=-2，B=0，從而所以

一般結(jié)論：若{an｝是公差為d(d≠0)的等差數(shù)列，{bn｝是公比為q(q≠1)的等比數(shù)列，則數(shù)列的前n項的和：

變式訓(xùn)練：已知求數(shù)列｛an｝的前n項的和Sn。

解析：令則整理，得，比較兩邊的系數(shù)，得

解 得從 而所 以

通過對這個題目的解答，可以讓學(xué)生充分體會靈活多變，嘗試通過題目，總結(jié)題目和思路，真正學(xué)會解決問題。所以在平時的教學(xué)中設(shè)計一題多變應(yīng)貼近高考題型，及早著手培養(yǎng)學(xué)生有良好的思考習(xí)慣和思維品質(zhì)。

變中有不變，變中求同，相信通過巧妙變化的教學(xué)設(shè)計，既能促進學(xué)生的提高，更能促進教師的提高。