密封第一價(jià)格拍賣中的競拍者串謀分析
——基于“強(qiáng)”卡特爾的第一價(jià)格預(yù)拍

林菡密， 孫紹榮

(1.上海理工大學(xué) 管理學(xué)院,上海 200093； 2.杭州師范大學(xué) 錢江學(xué)院,浙江 杭州 310036)

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密封第一價(jià)格拍賣中的競拍者串謀分析
——基于“強(qiáng)”卡特爾的第一價(jià)格預(yù)拍

林菡密1,2， 孫紹榮1

(1.上海理工大學(xué) 管理學(xué)院,上海 200093； 2.杭州師范大學(xué) 錢江學(xué)院,浙江 杭州 310036)

已有密封一價(jià)拍賣競拍者串謀均衡研究中存在不符合現(xiàn)實(shí)的諸多約束，鑒于此，在串謀只包含部分競拍者、串謀成員與非串謀爾成員間形成獨(dú)立、非對(duì)稱以及連續(xù)的價(jià)值分布并同時(shí)存在競價(jià)策略互動(dòng)的假設(shè)下，建立串謀方和非串謀方互動(dòng)的競價(jià)優(yōu)化模型以及拍賣方的保留價(jià)格優(yōu)化模型，得到串謀方和非串謀方的最優(yōu)競拍出價(jià)以及競拍方的最優(yōu)保留價(jià)格。結(jié)果表明串謀方和非串謀方的出價(jià)策略不僅與自身的估價(jià)、競標(biāo)人數(shù)、串謀人數(shù)相關(guān)，也與對(duì)方的估價(jià)存在關(guān)聯(lián)性；拍賣方的最優(yōu)保留價(jià)格設(shè)定與非串謀方和串謀方的價(jià)值分布存在關(guān)聯(lián)。

第一價(jià)格預(yù)拍；“強(qiáng)”卡特爾；競拍者串謀；非對(duì)稱性；保留價(jià)格

0 引言

拍賣在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，引起了許多學(xué)者的重視，近年來有不少拍賣方面的科研成果[1～3]，然而這些成果都是基于標(biāo)準(zhǔn)拍賣模型，即假設(shè)拍賣中不存在串謀問題，然事實(shí)是不管拍賣方采取何種拍賣方法，都存在競拍者串謀現(xiàn)象，只是不同的拍賣機(jī)制下串謀的穩(wěn)定性不同。理論上，第一價(jià)格密封拍賣比第二價(jià)格密封拍賣[4～8]更不容易產(chǎn)生串謀[9～12],因此在在實(shí)踐上，第一價(jià)格密封拍賣也被廣泛應(yīng)用于各種采購事物中，但Porter & Zona[13,14]、 Bajari and Ye[15]、Gaurab and Maria[16]采用貝葉斯方法、非參數(shù)檢驗(yàn)方法等不同的方法檢測到第一價(jià)格密封拍賣拍賣在高速公路建設(shè)、學(xué)校牛奶采購、小麥拍賣等各行業(yè)應(yīng)用中確實(shí)存在競拍者串謀現(xiàn)象。研究充分表明，通過一價(jià)拍賣或者二價(jià)拍賣的預(yù)拍機(jī)制確定串謀組織在正式拍賣中的競拍代表，并在正式拍賣中采用控制非競拍代表的串謀合作者的競拍出價(jià)以保證串謀收益的實(shí)現(xiàn)[17～19]，同時(shí)以強(qiáng)制執(zhí)行地區(qū)分配(territory allocation)、輪流坐樁(bid rotation)、虛假(互補(bǔ))出價(jià)(phony bidding)等手段以維持組織內(nèi)部的穩(wěn)定性。

第一價(jià)格預(yù)拍串謀機(jī)制有著與第二價(jià)格預(yù)拍不同的性質(zhì)，從而決定了第一價(jià)格預(yù)拍更具研究難度：首先，第一價(jià)格預(yù)拍的串謀機(jī)制不是激勵(lì)相容的，無法自我實(shí)施，此時(shí)的串謀組容易遭致背叛從而使得串謀不穩(wěn)定。為了簡要說明這一點(diǎn)，考慮所有競拍者都參與了串謀。假設(shè)最高價(jià)值大于拍賣方設(shè)定的保留價(jià)格，串謀組織可以只提交一份等于保留價(jià)格的報(bào)價(jià)，并確保其他報(bào)價(jià)都不超過這個(gè)數(shù)目，從而以保留價(jià)格獲得物品?，F(xiàn)在考慮某個(gè)競拍者，他的價(jià)值在保留價(jià)格以上，卻不是最高的，因此，他就有激勵(lì)去采取偏離協(xié)議規(guī)定的行動(dòng)，以剛剛超過保留價(jià)格的報(bào)價(jià)贏得該物品。其次，第一價(jià)格預(yù)拍的串謀機(jī)制運(yùn)作會(huì)自然在串謀方和非串謀方之間引入不對(duì)稱性[14](假使串謀不存在時(shí)，所有競拍者事先是對(duì)稱的。)，從而使得串謀方和非串謀方的出價(jià)策略發(fā)生了變化。而在第二價(jià)格預(yù)拍中則不存在這種情況，按價(jià)值出價(jià)仍然是占優(yōu)策略，串謀方的存在也不會(huì)影響非串謀方的策略。

McAfee and McMillan[20]、Marshall and Marx[21]、Lopomo and Marx[19]和敬輝蓉[22]都對(duì)第一價(jià)格預(yù)拍做出了一定研究。文獻(xiàn)[20]設(shè)計(jì)了兩種第一價(jià)格預(yù)拍下的串謀機(jī)制——強(qiáng)卡特爾和弱卡特爾(強(qiáng)卡特爾可以在組織內(nèi)部進(jìn)行轉(zhuǎn)移支付而弱卡特爾則不行)，在假設(shè)正式拍賣中存在一個(gè)包含了所有潛在競拍者的串謀團(tuán)體(且人數(shù)確定)的條件下，證明了強(qiáng)卡特爾和弱卡特爾下的最優(yōu)串謀機(jī)制。強(qiáng)卡特爾的最優(yōu)機(jī)制是在組織內(nèi)進(jìn)行預(yù)拍賣，獲勝者在正式拍賣中以保留價(jià)格出價(jià)，而其他成員則不參與競標(biāo)，獲勝者將預(yù)拍賣中的報(bào)價(jià)通過轉(zhuǎn)移支付分配給其他卡特爾成員；弱卡特爾的最優(yōu)機(jī)制是所有競標(biāo)者以統(tǒng)一價(jià)格出標(biāo)，并不進(jìn)行轉(zhuǎn)移支付。文章的最后也考慮到了卡特爾不一定能包含所有的競拍者的現(xiàn)實(shí)情況，并對(duì)卡特爾只包含部分潛在競標(biāo)成員的情況進(jìn)行了簡略的分析：(1)非串謀成員考慮到串謀方的存在，對(duì)串謀方的出價(jià)做出策略性反映。(2)所有競拍者的對(duì)拍賣物品的估價(jià)是在區(qū)間[0,1]上的離散分布，而沒有考慮到連續(xù)分布的情況，而且所有成員的估價(jià)是對(duì)稱的。文獻(xiàn)[21]在文中提出了BCM(bid coordination mechanism)和BSM(bid submission mechanism)兩種預(yù)拍機(jī)制——BCM機(jī)制規(guī)定卡特爾內(nèi)部能進(jìn)行轉(zhuǎn)移支付并且為串謀成員建議出價(jià)，但是沒有權(quán)利控制競拍者的出價(jià)。BSM機(jī)制中規(guī)定卡特爾有權(quán)利控制串謀成員的出價(jià)，其中一種解釋就是卡特爾選出一位代表參加正式拍賣并能阻止其他串謀者參與競拍。作者主要研究了兩種拍賣機(jī)制在第一價(jià)格密封拍賣和第二價(jià)格密封拍賣下的生存能力和收益性。文獻(xiàn)[19]進(jìn)一步證明BCM機(jī)制在第一價(jià)格拍賣中雖然無法增加收益但一定能保證串謀的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[22]研究了第一價(jià)格預(yù)拍“強(qiáng)”卡特爾串謀機(jī)制中，串謀方在預(yù)拍賣和正式拍賣中的最優(yōu)報(bào)價(jià)。

綜上，關(guān)于第一價(jià)格預(yù)拍的研究存在以下幾點(diǎn)不足：(1)主要考慮卡特爾包含了所有潛在的競拍成員情況；(2)當(dāng)考慮到卡特爾沒有包含所有競拍者時(shí)，認(rèn)為非串謀成員會(huì)對(duì)串謀成員做出策略性反映，但是所有競拍者的對(duì)拍賣物品的估價(jià)是在集合{0,1}上的離散的對(duì)稱分布，而沒有考慮到連續(xù)的非對(duì)稱分布的情況；(3)在密封第一價(jià)格正式拍賣中，串謀方和非串謀方之間并未形成策略互動(dòng)。

本文在以往研究的基礎(chǔ)上，以基于“強(qiáng)卡特爾”第一價(jià)格預(yù)拍的第一價(jià)格密封正式拍賣中的競拍者顯性串謀機(jī)制為研究對(duì)象，關(guān)注正式拍賣中事實(shí)情況——卡特爾并不總能包含所有競拍成員，此時(shí)非串謀成員和串謀成員一般會(huì)考慮對(duì)方的存在而形成競價(jià)策略上的互動(dòng)，并且串謀方與非串謀方之間的價(jià)值分布是非對(duì)稱且連續(xù)的——的基礎(chǔ)上，主要考察了以下二個(gè)問題：(1)采用非對(duì)稱拍賣均衡的視角研究串謀方與非串謀方在正式拍賣中互動(dòng)的競拍出價(jià)規(guī)律；(2)拍賣方針對(duì)競拍者可能存在的串謀行為從保留價(jià)格上采取的策略響應(yīng)。

1 預(yù)拍賣、正式拍賣的執(zhí)行過程及其假設(shè)條件

1.1 預(yù)拍賣、正式拍賣的執(zhí)行過程

本文設(shè)計(jì)的拍賣存在兩個(gè)階段，第一階段為正式拍賣之前的價(jià)格串謀預(yù)拍賣，串謀方能夠正常運(yùn)作的前提是選擇并執(zhí)行一種價(jià)格串謀的機(jī)制，本文采用的是“強(qiáng)卡特爾”第一價(jià)格預(yù)拍的串謀機(jī)制，該串謀機(jī)制的具體實(shí)施如下：考慮存在一個(gè)協(xié)調(diào)串謀組織活動(dòng)的中心執(zhí)行已經(jīng)確定的強(qiáng)卡特爾下的第一價(jià)格預(yù)拍預(yù)拍機(jī)制，特定的內(nèi)容包括：①將代表串謀方出席正式拍賣活動(dòng)的權(quán)利分配給具有最高估價(jià)的成員；②確定代表成員應(yīng)支付給中心的轉(zhuǎn)移支付的數(shù)額為預(yù)拍賣中獲勝競拍者提出的報(bào)價(jià)；③將代表成員向中心提交的轉(zhuǎn)移支付分配給串謀組織內(nèi)的所有成員(包括競拍獲勝者)；④建議正式拍賣中，代表成員低于其估價(jià)出價(jià)，所有其他串謀組織的成員不參與競價(jià)、提交零報(bào)價(jià)或者以保留價(jià)格出價(jià)；⑤對(duì)背叛組織的成員實(shí)行某種方式的懲罰。

第二階段為預(yù)拍賣之后的正式拍賣，正式拍賣采用的是密封第一價(jià)格拍賣。拍賣方公布保留價(jià)格，所有估價(jià)高于保留價(jià)格的潛在拍賣者都會(huì)實(shí)際參與拍賣，參與拍賣的成員根據(jù)自己的估價(jià)向拍賣方密封遞交報(bào)價(jià)，遞交報(bào)價(jià)最高的成員贏得物品(最高價(jià)提交者有可能是串謀成員也有可能是非串謀成員)，以其報(bào)價(jià)為最終成交和支付的價(jià)格。如果有兩個(gè)或者更多的競拍者具有相同的最高報(bào)價(jià)，那么他們就以相等的概率贏得該物品。

1.2 模型假設(shè)條件

基于上文對(duì)第一價(jià)格預(yù)拍“強(qiáng)”卡特爾串謀機(jī)制和密封第一價(jià)格正式拍賣兩者的運(yùn)作過程和性質(zhì)的分析，下文設(shè)計(jì)的模型存在如下假設(shè)條件：

①參與正式拍賣的競標(biāo)者人數(shù)為N，其中參與價(jià)格串謀的人數(shù)為K(2≤K

②競標(biāo)者和拍賣方都是風(fēng)險(xiǎn)中性；

④暫時(shí)假設(shè)，第一價(jià)格預(yù)拍“強(qiáng)”卡特爾機(jī)制中存在一個(gè)均衡，其中串謀方和非串謀方分別相應(yīng)地采用策略βc和βn，進(jìn)一步假設(shè)βc和βn是遞增的可微函數(shù)。

⑤假定串謀組織能夠采用某些懲罰措施，使得串謀成員被組織要求以不能中標(biāo)的價(jià)格出價(jià)時(shí)他也不會(huì)背離串謀機(jī)制。此時(shí)，強(qiáng)卡特爾的第一價(jià)格預(yù)拍雖不能阻止卡特爾成員向組織撒謊，但能夠引導(dǎo)串謀成員遵守串謀機(jī)制。

⑥最后，也是本文的重點(diǎn)假設(shè)非串謀方考慮到串謀方的存在，會(huì)在出價(jià)競標(biāo)策略上進(jìn)行策略性響應(yīng)。

2 串謀方和非串謀方的策略互動(dòng)

本文第二部分內(nèi)容將考察，在密封第一價(jià)格正式拍賣中，串謀方和非串謀方在出價(jià)競標(biāo)策略上的互動(dòng)性問題。

由于串謀組織未包含所有潛在競標(biāo)成員，因此最后中標(biāo)的有可能是串謀方也有可能為非串謀方的其中之一成員。假設(shè)b1為正式拍賣中的最高出價(jià)(根據(jù)密封第一價(jià)格拍賣規(guī)則b1也為中標(biāo)者的支付價(jià)格)。

(4)

(5)

由(4)(5)可得

(6)

(7)

化簡后得：

兩邊同時(shí)求積分得到：

最終可得：

(8)

如下圖1給出N=3,K=2時(shí)非串謀方在不同z值下的最優(yōu)策略βn(νn)對(duì)比。從圖中可以看出隨著z值得增加，串謀方和非串謀方的信息差距增大，因而對(duì)于非串謀方而言其最優(yōu)策略的取值區(qū)間隨z值得增加而在縮小。表明作為弱勢方隨著z值的增加而縮小，且下限在不斷隨之增大，這表明作為弱勢方隨著z值得增加，其在競拍中更為弱勢，為了獲得競拍，隨著z值得增加其需要支付更多。

圖1 N=3,K=2時(shí)非串謀方在不同z下的最優(yōu)策略βn(νn)對(duì)比圖

同理(7)式，根據(jù)F和G的分布可得：

對(duì)上式求一階條件并簡化，可得：

兩邊求積分：

可以得到關(guān)于βc(νc)和估價(jià)、正式拍賣中的出價(jià)、以及參加拍賣的人數(shù)和串謀人數(shù)的關(guān)系式：

(9)

如下圖2給出N=3,K=2時(shí)非串謀方在不同z值下的最優(yōu)策略βc(νc)對(duì)比。從圖中可以看出隨著z值的增加，串謀方和非串謀方的信息差距增大，因而對(duì)于串謀方而言隨著z值的增加其獲得競拍的估值下限在隨之降低，即隨著z值的增加，強(qiáng)弱之間的差距更大，作為強(qiáng)勢方的串謀方獲得競拍的估值下限在不斷降低，即對(duì)他們估值的要求在不斷放寬，其可以以更低的估值來確定最優(yōu)策略從而獲得競拍。

圖2 N=3,K=2時(shí)串謀方在不同z值下的最優(yōu)策略βc(νc)對(duì)比圖

3 基于串謀方和非串謀方策略互動(dòng)的拍賣方策略性響應(yīng)

本文第三部分分析了拍賣方考慮串謀方和非串謀方在出價(jià)競標(biāo)策略的互動(dòng)性從而以保留價(jià)格的變動(dòng)作為策略性響應(yīng)。這里沿用上文b1為正式拍賣中的最高報(bào)價(jià)(即正式拍賣中的中標(biāo)者支付價(jià)格)，同時(shí)為了分析方便，增加以下假設(shè)：①拍賣方對(duì)拍賣物品的估價(jià)為V0；②Y(1)和Y(2)分別表示正式拍賣中的最高和次高順序統(tǒng)計(jì)量，當(dāng)所有競標(biāo)者的估價(jià)都小于保留價(jià)格r，即Y(2)

(1)當(dāng)Y(2)

①Y(1)是非串謀方某個(gè)成員的最高順序統(tǒng)計(jì)量，也就是說非串謀成員之一估價(jià)大于r，且在正式拍賣中為最高估價(jià)，其余非串謀成員的估價(jià)都小于r，同時(shí)，K個(gè)串謀成員的估價(jià)也都小于r，此種情況發(fā)生的概率為：(N-K)[1-G(r)]G(r)N-K-1F(r)k。

②Y(1)是串謀方某個(gè)成員的最高順序統(tǒng)計(jì)量，也就是說參與串謀的K個(gè)競標(biāo)者中至少有一個(gè)競標(biāo)者的估價(jià)大于r，且在正式拍賣中為最高估計(jì)，而其他N-K個(gè)非串謀成員估價(jià)都小于r，此種情況發(fā)生的概率為[1-Fk(r)]G(r)N-K。

通過對(duì)以上兩種情況的分析，可得Y(2)

Pr(Y(2)

那么拍賣方此時(shí)的收益為：

πs=(b1-v0)Pr(Y(2)

(10)

(2)當(dāng)r

Pr(r

這種情況下，拍賣方所得到的收益為：

πs=(b1-ν0)Pr(r

(11)

綜上，在競拍成功情況下，拍賣方的收益為(10)+(11)即：

πs=(b1-ν0)[1-FK(r)GN-K(r)]

(12)

求一階條件可得：

(13)

4 結(jié)論

本文研究了密封第一價(jià)格正式拍賣下的競拍者串謀問題，且以串謀方內(nèi)部實(shí)行具有轉(zhuǎn)移支付的“強(qiáng)”卡特爾第一價(jià)格預(yù)拍機(jī)制為前提。雖然已有文章對(duì)第一價(jià)格預(yù)拍賣機(jī)制進(jìn)行研究，但已有研究成果主要存在一下幾點(diǎn)不足：(1)主要考慮卡特爾包含了所有潛在的競拍成員情況；(2)當(dāng)考慮到卡特爾沒有包含所有競拍者時(shí)，認(rèn)為非串謀成員會(huì)對(duì)串謀成員做出策略性反映，但是所有競拍者的對(duì)拍賣物品的估價(jià)是在集合{0,1}上的離散分布，而沒有考慮到連續(xù)分布的情況；(3)在密封第一價(jià)格正式拍賣中，串謀方和非串謀方之間并未形成非對(duì)稱的價(jià)值分布。而在事實(shí)情況中，正式拍賣中，串謀方并不總能包含所有競拍成員，當(dāng)存在非串謀方時(shí)，非串謀成員一般會(huì)考慮串謀情況的存在，形成串謀方與非串謀方之間的非對(duì)稱的連續(xù)的價(jià)值分布，基于這種價(jià)值分布，在正式拍賣中，非串謀方與串謀方在競價(jià)策略上形成互動(dòng)，研究得到兩個(gè)主要結(jié)論如下：(1)串謀方和非串謀方的出價(jià)策略不僅與自身的估價(jià)、競標(biāo)人數(shù)、串謀人數(shù)相關(guān)，也與對(duì)方的估價(jià)存在關(guān)聯(lián)性。特別地，考慮到串謀方的存在，非串謀方在正式拍賣中出價(jià)時(shí)會(huì)隱藏自身的真實(shí)估價(jià)。(2)拍賣方的最優(yōu)保留價(jià)格設(shè)定與非串謀方和串謀方的價(jià)值分布存在關(guān)聯(lián)。特別地，拍賣方在面臨全包含卡特爾情況下設(shè)置的最優(yōu)保留價(jià)格是面臨部分包含卡特爾情況下設(shè)置的最優(yōu)保留價(jià)格的特例。

本文是對(duì)單期單物品的IPV的擴(kuò)展研究,而在實(shí)際拍賣領(lǐng)域，多物品的拍賣廣泛存在，同時(shí)重復(fù)拍賣中價(jià)格串謀更加穩(wěn)定。所以在本文已有模型的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)針對(duì)多物品重復(fù)拍賣的價(jià)格串謀問題的防范機(jī)制是未來研究的方向所在。

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Analysis of Bidder Collusion in First-Price Sealed-Bid Auction——based on “Strong” Cartel Mechanism of First-Price Pre-auction Knockout

LIN Han-mi1,2, SUN Shao-rong1

(1.Business college, university of shanghai for science and technology, Shanghai 200093, China; 2.Qianjiang college, Hangzhou normal university, Hangzhou 310036, China )

The existing researches of bidder collusion in first-price sealed-bid auction have many constraints that do not conform to the reality. In view of this, by the assumption that cartels include only a partial of the bidders, collusive and non-collusive members whose value are independent,continuous and asymmetric will respond strategically to each other on bidding, this paper gets the optimal bidding price of collusive members and non-collusive members and the optimal reserve price of the auctioneer. As a result, bidding strategy of collusive and non-collusive members is not only decided by their own valuations, the numbers of bidders, the number of collusive members, but also the valuations of the other side. Optimal reserve price is related to valuation distribution of collusive and non-collusive members.Key words:first-price pre-auction knockout; “strong cartel”; bidder collusion; asymmetric distribution; reserve price

2013-12-13

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(70871080，71171134)；上海市教委科研創(chuàng)新重點(diǎn)項(xiàng)目(11ZS138)；上海市哲學(xué)社會(huì)科學(xué)規(guī)劃課題(2011BGL006)；上海市一流學(xué)科建設(shè)項(xiàng)目(S1201YLXK)；杭州市哲學(xué)社會(huì)科學(xué)規(guī)劃課題(D14GL01)

林菡密(1981-)，女，浙江奉化人，博士生；孫紹榮(1954-)，男，教授，博士生導(dǎo)師，中國系統(tǒng)工程學(xué)會(huì)教育系統(tǒng)工程專業(yè)委員會(huì)副主任兼秘書長，研究方向：制度的工程化設(shè)計(jì)方法。

F713.359

A

1007-3221(2015)03- 0258- 08