灰色實(shí)物型投入產(chǎn)出分析的覆蓋解研究

李橋興， 劉思峰

(1.貴州大學(xué) 管理學(xué)院，貴州 貴陽(yáng) 550025； 2.蘭州理工大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，甘肅 蘭州 730050； 3.南京航空航天大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院,江蘇 南京 210016)

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灰色實(shí)物型投入產(chǎn)出分析的覆蓋解研究

李橋興1～3， 劉思峰3

(1.貴州大學(xué) 管理學(xué)院，貴州 貴陽(yáng) 550025； 2.蘭州理工大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，甘肅 蘭州 730050； 3.南京航空航天大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院,江蘇 南京 210016)

由于國(guó)民經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的復(fù)雜性，人們?cè)谑褂脤?shí)物型投入產(chǎn)出分析工具時(shí)不可能獲得各部門產(chǎn)品的投入與產(chǎn)出的確定值。采用灰色系統(tǒng)理論基本原理提出灰色實(shí)物型投入產(chǎn)出分析并給出模型及各種灰色分析系數(shù)的覆蓋解公式?；疑珜?shí)物型投入產(chǎn)出分析能處理統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)為區(qū)間的情形，可以使決策者在不確定性情況下對(duì)復(fù)雜經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)進(jìn)行分析、預(yù)測(cè)和控制，提高人們的抗風(fēng)險(xiǎn)能力。模擬案例驗(yàn)證了模型計(jì)算的可行性。

數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)；灰色實(shí)物型投入產(chǎn)出分析；灰色覆蓋運(yùn)算；復(fù)雜經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)；灰色系數(shù)

0 引言

實(shí)物型投入產(chǎn)出分析是以實(shí)物為計(jì)量單位、反映一個(gè)國(guó)家的國(guó)民經(jīng)濟(jì)在某個(gè)時(shí)期內(nèi)投入與產(chǎn)出間數(shù)量關(guān)系的經(jīng)濟(jì)模型，包括投入產(chǎn)出表、投入產(chǎn)出模型及應(yīng)用，已經(jīng)在許多領(lǐng)域得到成功應(yīng)用[1～5]?；疑到y(tǒng)理論以具有貧信息特征的客觀事物內(nèi)涵的認(rèn)知過(guò)程為研究對(duì)象，通過(guò)加工已知信息達(dá)到管理和控制系統(tǒng)發(fā)展的目的[6～9]?；疑珨?shù)學(xué)包括灰數(shù)運(yùn)算、覆蓋運(yùn)算、唯一潛真運(yùn)算和白化運(yùn)算等形式，是一種新型不確定數(shù)學(xué)運(yùn)算[10～12]?；覕?shù)是一種來(lái)源于信息缺失的不確定數(shù)。由于信息的缺失，人們無(wú)法得到它的真實(shí)值。但是在正確的調(diào)查統(tǒng)計(jì)手段下，人們可以得到一個(gè)數(shù)值范圍，并使不確定數(shù)的真實(shí)值落在范圍之內(nèi)。這個(gè)數(shù)值范圍稱為灰數(shù)的覆蓋集，其內(nèi)任意一個(gè)實(shí)數(shù)稱為灰數(shù)的白化數(shù)。不知道確切取值的數(shù)值稱為灰數(shù)的唯一潛真值[10,11]。灰數(shù)的覆蓋集可能是連續(xù)也可能是離散的，連續(xù)的覆蓋集用區(qū)間表達(dá)。當(dāng)所有的信息都出現(xiàn)時(shí)，覆蓋集會(huì)演變成只包含一個(gè)數(shù)的集合，灰數(shù)變成一個(gè)確定的實(shí)數(shù)[10,11]。區(qū)間數(shù)與區(qū)間覆蓋集除了有相似的計(jì)算形式外，它們之間有很大的區(qū)別。區(qū)間覆蓋集是灰色朦朧集。有關(guān)灰數(shù)的詳細(xì)討論及區(qū)間數(shù)和區(qū)間覆蓋集的差異，讀者可參考文獻(xiàn)[10～13]等。

在現(xiàn)實(shí)中用投入產(chǎn)出分析去預(yù)測(cè)和管理國(guó)民經(jīng)濟(jì)時(shí)，我們往往要求統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)是精確的。然而，復(fù)雜經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)受很多因素如技術(shù)條件、管理水平、原材料可得性、國(guó)家政策等的影響，使我們很難收集足夠的信息去得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確值，因此決策時(shí)會(huì)丟失很多有用的信息。但是通過(guò)采用正確的調(diào)查統(tǒng)計(jì)方法，我們可以得到一個(gè)包含準(zhǔn)確值的覆蓋集。不失一般性，這個(gè)覆蓋集可以用區(qū)間表示。文獻(xiàn)[14～18]分別提出灰色價(jià)值型投入產(chǎn)出分析、灰色動(dòng)態(tài)投入產(chǎn)出分析、灰色非線性投入產(chǎn)出分析、灰色投入占用產(chǎn)出分析、灰色部門投入產(chǎn)出分析、灰色企業(yè)投入產(chǎn)出分析和灰色地區(qū)投入產(chǎn)出分析。本文在前文基礎(chǔ)上，提出灰色實(shí)物型投入產(chǎn)出分析并給出覆蓋解公式，同時(shí)用一個(gè)模擬案例說(shuō)明結(jié)論的可行性。

1 灰色實(shí)物型投入產(chǎn)出分析

本文假定讀者已經(jīng)具備實(shí)物型投入產(chǎn)出分析的基本知識(shí)，也可以參閱文獻(xiàn)[1]等。

國(guó)民經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)是一個(gè)巨大而復(fù)雜的系統(tǒng)。由于信息不充分導(dǎo)致無(wú)法獲取各部門的投入和產(chǎn)出的精確數(shù)據(jù)，因而實(shí)物型投入產(chǎn)出分析中的數(shù)據(jù)表現(xiàn)為灰數(shù)。在正確的調(diào)查統(tǒng)計(jì)方法下，我們可以得到每個(gè)灰數(shù)的區(qū)間覆蓋集。于是得到灰色實(shí)物型投入產(chǎn)出如表1。

表1 灰色實(shí)物型投入產(chǎn)出表

表1中變量的含義如下：

qij(?)：第j個(gè)部門投入到第i部門的灰色中間投入實(shí)物量或第i個(gè)部門供給第j個(gè)部門的灰色中間產(chǎn)出實(shí)物量(i=1,…,n;j=1,…,n,n+1,…,n+l)。請(qǐng)注意在I欄中的 qij(?)(j=1,2,…,n)是列名產(chǎn)品之間的中間產(chǎn)出/中間投入，在II欄中的是qij(?)(j=n+1,…,n+l )未列名產(chǎn)品和列名產(chǎn)品之間的中間產(chǎn)出/中間投入。未列名產(chǎn)品是指這樣的一些生產(chǎn)部門如交通運(yùn)輸業(yè)、建筑業(yè)、商業(yè)和餐飲業(yè)等，這些部門只參與產(chǎn)品的生產(chǎn)過(guò)程但是不生產(chǎn)具體的產(chǎn)品。未列名產(chǎn)品對(duì)實(shí)物型投入產(chǎn)出分析很重要。如果不考慮他們，模型將失去平衡。

yi(?)：由第i(i=1,…,n)個(gè)部門生產(chǎn)的最終使用價(jià)值灰色實(shí)物量。最終使用是本時(shí)期內(nèi)沒有進(jìn)入生產(chǎn)過(guò)程的那部分產(chǎn)品。根據(jù)應(yīng)用領(lǐng)域不同，最終使用可以分為幾部分，如固定資產(chǎn)更新改造、基礎(chǔ)設(shè)施、居民消費(fèi)、集體消費(fèi)、非物質(zhì)部門生產(chǎn)包括運(yùn)輸業(yè)、商業(yè)、餐飲業(yè)及存貨和出口商品等。

wi(?)：從國(guó)外進(jìn)口的產(chǎn)品i(i=1,…,n)的灰色實(shí)物量。

Qi(?)：由第i(i=1,…,n)個(gè)部門生產(chǎn)的總產(chǎn)出灰色實(shí)物量。

(1)

在正確的調(diào)查方法下，我們得到灰數(shù)qij(?),yj(?),wi(?)的區(qū)間覆蓋集分別為

(2)

根據(jù)文獻(xiàn)[1,8]，我們得到以下實(shí)物型投入產(chǎn)出分析方法的各種灰色系數(shù)及其覆蓋集。

1.1 灰色直接消耗系數(shù)aij(?)及其覆蓋集[aij]

(3)

A(?)=(aij(?))n×n稱為灰色直接消耗系數(shù)矩陣，[A]=([aij])n×n為A(?)矩陣覆蓋集。

灰色直接消耗系數(shù)反映了在不確定情況下的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)期間各列名產(chǎn)品之間的數(shù)量依存關(guān)系，它的覆蓋集反映了這種數(shù)量關(guān)系的大概范圍。在貧信息狀態(tài)下，灰色直接消耗系數(shù)對(duì)分析、預(yù)測(cè)和控制復(fù)雜經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)具有重要作用，可以大大減少調(diào)查成本。

1.2 灰色完全消耗系數(shù)

設(shè)bij(?)(i,j=1,…,n)為灰色完全消耗系數(shù)，B(?)=(bij(?))n×n為灰色完全消耗系數(shù)矩陣，則由文獻(xiàn)[1]等，有B(?)=A(?)+B(?)A(?)。顯然。如果I-A(?)是非奇異矩陣，則它的唯一潛真矩陣I-A°可逆(見文獻(xiàn)[6,8]等)，其中A°=(aij°)n×n是A(?)的唯一潛真矩陣，因此，灰色矩陣B(?)=(I-A(?))-1及其矩陣覆蓋集[B]分別為：

B(?)=(I-A(?))-1-I, [B]=([bij])n×n=(I-[A])-1-I

(4)

其中[bij]是bij(?)(i,j=1,2,…,n)的區(qū)間覆蓋集，(I-A(?))-1稱為灰色列昂惕夫逆矩陣或灰色完全需求系數(shù)矩陣。顯然，(I-A(?))-1的矩陣覆蓋集(I-[A])-1是問題求解的關(guān)鍵。

1.3 灰色分配系數(shù)

由文獻(xiàn)[1]等，定義中間產(chǎn)品的灰色分配系數(shù)hij(?)和最終產(chǎn)品的灰色分配系數(shù)hiy(?)：

(5)

其中hij(?),hiy(?)滿足以下等式：

(6)

由文獻(xiàn)[8]可知，[hij]1和[hij]2都是hij(?)的區(qū)間覆蓋集；[hij]1和[hij]2都是hiy(?)的區(qū)間覆蓋集。只不過(guò)前者是相對(duì)劣覆蓋集，而后者是相對(duì)優(yōu)覆蓋集[7,8]。

當(dāng)我們面臨貧信息時(shí)，以上灰色系數(shù)及其覆蓋集可以用來(lái)表示各部門間技術(shù)經(jīng)濟(jì)關(guān)系的大概范圍。

根據(jù)實(shí)物型投入產(chǎn)出模型及以上的灰色系數(shù)，我們有灰色實(shí)物型投入產(chǎn)出模型。

假設(shè)灰色向量Q(?)=(Q1(?),…,Qn(?))T和Y(?)=(Y1(?),…,Yn(?))T，以及灰色矩陣I-A(?)可逆，則有灰色模型：

Q(?)=(I-A(?))-1Y(?)

(7)

又設(shè)[Q]=([Q1],[Q2],…,[Qn])T、[q]=([q1],[q2],…,[qn])T、[y]=([y1],[y2],…,[yn])T、[w]=([w1],[w2],…,[wn])T和[Y]=[q]+[y]-[w]分別是Q(?),q(?),y(?),Y(?)的向量覆蓋集，則有以下灰色實(shí)物型投入產(chǎn)出模型的覆蓋模型：

[Q]=(I-[A])-1[Y]

(8)

(9)

以下所有定理的證明分別類似于文獻(xiàn)[12,15]等。

(10)

成立，其中p=col或row，‖‖col為矩陣或向量的列范數(shù)，‖‖row表示矩陣或向量的行范數(shù)，則對(duì)任意ε>0，必存在整數(shù)K0滿足

(11)

其中int(x)為不比x大的最大整數(shù)，有灰矩陣(I-A(?))-1的矩陣覆蓋集[R]-1如下：

(12)

(13)

定理2 設(shè)公式(10)成立，并且

(14)

(15)

由于假設(shè)唯一潛真矩陣I-A0可逆，公式(10)對(duì)逆矩陣覆蓋集的計(jì)算非常重要。否則，在I-[A]=[R]中將有一些白化矩陣是奇異矩陣，使我們無(wú)法計(jì)算矩陣覆蓋集(I-[A])-1。

計(jì)算(I-[A])-1之后，利用公式(8)可以計(jì)算灰色總產(chǎn)出量Q(?)的覆蓋集[Q]，則我們可以采用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的范圍實(shí)現(xiàn)對(duì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的分析、預(yù)測(cè)與控制。

根據(jù)文獻(xiàn)[1]，灰色實(shí)物型投入產(chǎn)出分析還有另一種灰色模型

Q(?)=(I-H(?))-1Y(?)

(16)

(17)

定理3 灰色矩陣I-H(?)是非奇異矩陣且逆矩陣為：

(18)

設(shè)[H]為H(?)的矩陣覆蓋集，即

則有公式(16)的覆蓋模型：

[Q]=(I-[H])-1[Y]

(19)

由公式(19)可知，求解Q(?)覆蓋集[Q]的關(guān)鍵是計(jì)算矩陣覆蓋集(I-[H])-1。

(20)

(21)

也成立，則有如下定理。

定理5 假設(shè)公式(21)成立，則(I-H(?))-1的矩陣覆蓋集為：

(22)

定理5表明，在貧信息條件下，我們可以實(shí)現(xiàn)對(duì)復(fù)雜經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的分析、預(yù)測(cè)與控制。

下面分別是矩陣覆蓋集(I-[A])-1和(I-[H])-1的計(jì)算步驟。

算法1：

步驟1 獲取數(shù)據(jù)的覆蓋集[qij],[yi],[wi](i=1,…,n;j=1,…,n+l)，給出精度ε>0；

算法2：

步驟1 獲取灰色統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的覆蓋集[qij],[yi],[wi](i=1,…,n;j=1,…,n+l)；

步驟3 若公式(21)不成立，則返回步驟1并使所有灰數(shù)據(jù)的擾動(dòng)變??；

步驟4 根據(jù)公式(22)計(jì)算(I-[H])-1。

2 案例研究

下面通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單案例驗(yàn)證本文提出的方法。

國(guó)民經(jīng)濟(jì)是一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)并由許多部門組成。為簡(jiǎn)便起見，假設(shè)有6個(gè)部門，即糧食(部門1)、棉花(部門2)、石油(部門3)、電力(部門4)、鋼鐵(部門5)和未列名產(chǎn)品(部門6)等。在貧信息條件下，獲得灰色統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的覆蓋集分別為[qij]、[Yi]和[Qi] (i,j=1,2,…,n)(見表3)。除部門4的單位是千瓦時(shí)外，其余部門的單位為萬(wàn)噸。要求在現(xiàn)有技術(shù)條件下分析國(guó)民經(jīng)濟(jì)下一年度的總產(chǎn)出。

表3 灰色數(shù)據(jù)的覆蓋集表

表3 續(xù)

步驟1 各灰色統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的覆蓋集見表3。

步驟2 由式(2)和(6)計(jì)算[Qi](見表3)和[hij](i,j=1,2,…,n)及矩陣覆蓋集[H]；

矩陣覆蓋集[H]反映了列名產(chǎn)品間分布系數(shù)的大概范圍，如[h23]=[0.0567,0.112]意味著每一百萬(wàn)噸部門2的實(shí)物產(chǎn)品要被分給部門3的數(shù)量在0.0567和0.1121之間。

矩陣覆蓋集[A]表明，即使我們不知道列名產(chǎn)品間直接消費(fèi)系數(shù)的真實(shí)值，但是可以知道大概范圍，如a23∈[0.0214,0.0310]意味著部門3和5之間的直接消費(fèi)系數(shù)的真值一定在[0.0214,0.0310]中。

(I-[H])-1=diag([1.0015,1.0018],[1.2470,1.5706],[2.8745,3.4281],[1.9291,1.9954],[2.8217,2.9416])

步驟5 設(shè)[Y′]=([1589,1603],[157,168],[331,336],[2200,2220],[803,809])T，則由公式(19)計(jì)算[Q′]：

[Q′]=([1591.4,1605.9],[159.8,263.9],[951.5,1151.8],[4244.1,4429.9],[2265.8,2379.8])T

向量覆蓋集[Q′]表明了在技術(shù)水平不變條件下，為了滿足下一年度的最終消費(fèi)[Y′]，各列名產(chǎn)品的下一年度的總產(chǎn)出。否則，國(guó)民經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)將失去平衡。這個(gè)案例表明即使不能獲取精確的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，但是可以利用灰色實(shí)物型投入產(chǎn)出分析方法對(duì)復(fù)雜國(guó)民經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)進(jìn)行分析和控制?；疑珜?shí)物型投入產(chǎn)出分析方法可以很大程度上減少統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的成本，給決策者更多的信息。

3 結(jié)束語(yǔ)

基于現(xiàn)實(shí)國(guó)民經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的貧信息特征，本文采用灰色系統(tǒng)理論的基本原理提出灰色實(shí)物型投入產(chǎn)出分析方法，包括灰色實(shí)物型投入產(chǎn)出表、灰色實(shí)物型投入產(chǎn)出模型及其應(yīng)用，同時(shí)給出各種灰色系數(shù)和灰色模型的計(jì)算公式，以及采用模擬案例驗(yàn)證了灰色模型計(jì)算的合理性。該方法對(duì)貧信息條件下管理國(guó)民經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)有非常重要的作用，為不確定環(huán)境下研究經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)提供了有效的分析工具。

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Grey Physical Input-output Analysis

LI Qiao-xing1,2, LIU Si-feng2

(1.School of Management, Guizhou University, Guiyang 550025, China; 2.School of Eeconomics and Management, Lanzhou University of Technology,Lanzhou 730050, China; 3.College of Economics and Management, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016, China)

Because national economy is complex, we can not obtain the exact values of input and output of every product as we utilize the physical input-output analysis. By using grey system theory, we propose grey physical input-output analysis and get the covered solution formulas of grey model and grey coefficients. The grey physical input-output analysis can dispose the situation that the statistic datum are intervals, and the decision-makers can analyze, forecast and control the economic system under the uncertain situation, and the ability to resist risk can be improved. The modified case illustrates our method.

quantitative economics; grey physical input-output analysis; grey covered operation; complex economic system; grey coefficient

2012-12-25

中國(guó)博士后科學(xué)基金特別資助項(xiàng)目(200902321)

李橋興(1973-)，男，廣西平樂人，副教授，博士后，系統(tǒng)科學(xué)與管理復(fù)雜性研究，數(shù)量經(jīng)濟(jì)理論與方法等。

F223

A

1007-3221(2015)03- 0165- 07