碳限額與碳交易約束下制造商生產-庫存控制策略

戢守峰, 藍海燕,2, 唐金環(huán), 朱寶琳

(1.東北大學 工商管理學院,遼寧 沈陽 110004; 2.遼寧工業(yè)大學 管理學院,遼寧 錦州 121001)

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碳限額與碳交易約束下制造商生產-庫存控制策略

戢守峰1, 藍海燕1,2, 唐金環(huán)1, 朱寶琳1

(1.東北大學 工商管理學院,遼寧 沈陽 110004; 2.遼寧工業(yè)大學 管理學院,遼寧 錦州 121001)

針對制造商訂貨、儲存、生產過程中的碳排放問題，探討了碳限額與碳交易約束下制造商生產-庫存控制策略，在對碳限額與碳交易進行數(shù)學度量的基礎上構建了碳限額與碳交易約束下制造商生產-庫存成本模型，并通過模型分析得出有碳約束且成本最優(yōu)生產量及原材料最大訂貨倍數(shù)以及碳限額與碳交易約束下制造商最優(yōu)生產-庫存策略。計算實驗與算例分析表明：相比于無碳約束情形，碳限額與碳交易約束下制造商訂貨數(shù)量更高，而訂貨頻率及生產批量更低，并得出三種交易價格之下，決策變量的變化趨勢。

碳限額與碳交易約束；生產-庫存；最優(yōu)生產量；最大訂貨倍數(shù)；碳價格不確定

0 引言

碳交易是為促進全球減少溫室氣體排放，以國際公法作為依據(jù)的溫室氣體排減量交易，在6種被要求排減的溫室氣體中，二氧化碳(CO2)為最大宗，為達到全球溫室氣體減量的最終目的，國際上相關機構約定了3種排減機制：清潔發(fā)展、聯(lián)合履行和排放交易[1]。本文以近年來國內外學術界高度關注并極具挑戰(zhàn)性，而且已成為企業(yè)運作決策時必須考慮的要素之一的碳排放交易為主題，探討將碳限額與碳交易作為約束條件嵌入到制造商的生產-庫存系統(tǒng)中的策略選擇問題。

迄今為止，國外關于企業(yè)生產-庫存控制問題的研究主要集中在供應鏈協(xié)同上。例如，Sana研究了存在殘次品的三層供應鏈中的生產-庫存模型，模型系統(tǒng)考慮了協(xié)同策略下原材料訂購量，生產率和各部門的市場戰(zhàn)略[2]；Jha等用簡單啟發(fā)式研究單賣方多個買方組成的供應鏈生產與庫存系統(tǒng)協(xié)調問題等[3]；Jonrinaldi等用混合整數(shù)規(guī)劃研究帶有逆向物流的四級供應鏈的訂貨問題，比較分析了分散決策、半集中決策以及集中決策下的成本差異[4]。而從碳限額與碳交易約束條件下的研究則較為少見。Chen等研究了不同碳約束下的企業(yè)生產策略模型，結果發(fā)現(xiàn)通過恰當?shù)纳a運作管理，可以實現(xiàn)以較小的經濟成本換取較大的碳排放的減少[5]；Dobos研究了碳排放交易下企業(yè)生產-庫存運營，認為碳交易能使廠商庫存水平升高和增加成本[6]；Li等基于Arrow-Karlin動態(tài)生產-庫存模型研究了銀行業(yè)在排放交易許可中對制造商生產庫存策略的影響，假設有一個排放交易計劃，企業(yè)可以購買排放權或出售他們的權利，不允許跨期交易，并將得出的最優(yōu)的生產-庫存策略與無排放交易時進行了比較[7]。

關于碳交易的研究多集中在宏觀層面，而針對企業(yè)庫存系統(tǒng)減排問題的研究甚少。Jira等從戰(zhàn)略的角度提出針對供應鏈企業(yè)減排的設想，通過對企業(yè)的經濟分析，認為通過環(huán)保運作管理和可持續(xù)運作管理的角度可以實現(xiàn)供應鏈的減排[8]；Hua等研究了碳限額與碳交易下企業(yè)庫存碳足跡的變化，提出了碳約束下的最優(yōu)訂貨批量模型[9]；Bonney等通過改進經典EOQ模型，設計了考慮碳排放的庫存系統(tǒng)[10]；Wahab等研究二級跨國供應鏈中帶有碳約束的訂貨策略，碳排放來自于前向和后向供應鏈[11]；Chen等基于報童模型的研究表明監(jiān)管比自愿控制方法更有利于減少碳排放，但會增加制造商的生產庫存水平[12]。

在國內，關于企業(yè)生產-庫存控制問題的研究主要是采用EOQ模型方法，如張旭梅等針對補貨能力對部分短缺量拖后率的影響，建立了邊補貨變需求的EOQ模型[13]。而將碳排放與生產運作結合起來開展研究的目前僅有2篇，杜少甫等以單個制造商為對象，研究了排放許可與碳交易機制對排放依賴性企業(yè)生產策略的影響，建立了企業(yè)生產優(yōu)化模型，并得到了有排放限額下的最優(yōu)生產策略[14]；Du等考慮了單一制造商單一排放許可供應商的限額與交易系統(tǒng)中的企業(yè)生產策略的制定模型[15]。

綜上所述，國內外關于碳限額與碳交易約束下企業(yè)下生產-庫存控制問題的研究可分為兩類：一類是通過擴展經典模型來研究新問題；另一類是將碳排放等環(huán)境約束作為參數(shù)，構建生產-庫存系統(tǒng)新模型。已有文獻主要針對單個產品，將碳限額與碳交易價格視為外生常量來考慮?；诖耍疚奶貏e考慮了碳限額與碳交易約束下多種原料補貨問題和動態(tài)的碳交易價格對制造商生產-庫存的影響。本文考慮多種原料訂購、儲存與生產過程中的碳排放，通過研究碳交易價格的變動對制造商生產數(shù)量、訂貨數(shù)量的影響，給出了碳限額與碳交易約束下制造商的最優(yōu)生產-庫存策略。

1 問題描述與假設

1.1 問題描述

圖1 碳限額與碳交易約束下制造商生產-庫存系統(tǒng)圖

本文以具有多個生產基地的集產供銷一體化的大型企業(yè)集團的生產-庫存系統(tǒng)為研究對象，探討碳排放限額與碳交易約束下制造商多種原材料訂貨數(shù)量及生產批量問題。假設每個基地生產一種產品，每種產品需要w種原材料，一個供應商供應一種或多種原材料，基地(以下稱為制造商)按原材料類型向供應商訂貨，每種原材料的訂購量為其生產實際需求材料的τ倍(τ≥1)，可變排放并入固定排放中；庫存系統(tǒng)采用(Q,R)策略，需求率和生產率已知且恒定，不允許缺貨，不考慮提前期影響。制造商在碳排放總量約束下運營，原材料購入、存儲以及生產過程產生大量碳排放，排放總量與政府分配額度相比，可能結余或不足，差額部分在碳交易市場賣出或買入，碳交易價格受市場供求影響而波動，不同的交易價格進一步影響制造商的成本及運營策略，通過構建生產-庫存成本模型，得出碳限額與碳交易約束下制造商最佳生產-庫存策略(圖1)。

1.2 假設條件

本文基于以下的假設條件：

(1)排放限額由政府分配，設政府按“祖父制”原則分配給制造商碳排放總量為L，碳交易價格隨市場供求波動；

(2)初始庫存水平為Q，單位消耗斜率恒定為(-D)，不允許缺貨；

(3)單位生產率P，恒定不變；

(4)持有成本、庫存排放與存貨數(shù)量均為線性關系；生產成本、生產排放與生產數(shù)量線性相關；

(5)制造商按原料類型向供應商訂貨，可變排放并入固定排放中，在不考慮車輛運輸能力的假設條件之下，訂貨排放只與運輸次數(shù)有關；

(6)制造商采用整車運輸原料，車輛運輸能力無限，且運輸費用、運輸排放與訂貨倍數(shù)、生產數(shù)量相關。

2 模型的參數(shù)度量與構建

2.1 符號與變量定義

(1)碳限額與碳交易機制參數(shù)處理。L：政府分配給制造商的碳限額；V：單位碳限額交易價格；Y：賣出或買入的碳限額(正表示賣出，負表示買入)；ET：車輛運輸排放；Ew：庫存排放；EM：生產排放；Eh：持有產成品的單位碳排放；Eh,w：持有原材料W的單位碳排放；Ef,w：每次運輸原料w的固定排放；Ep：單位產品的生產排放。

(2)生產-庫存系統(tǒng)。w：原材料種類w=1,2,…m；rw：每單位產品使用原材料w的比率；D：市場對制造商最終產品的年需求量；P：制造商的年生產量(年生產能力)；S：制造商每次生產啟動成本；Co,w：制造商訂購一次原料w的訂貨成本；Ch：單位產品的庫存持有成本；Ch,w：單位原材料w的庫存持有成本；Cp：單位產品的生產成本。

(3)決策變量。Q：產品的生產數(shù)量；τ：原材料W的訂購倍數(shù)，τ≥1。

2.2 碳限額與碳交易的度量

碳限額與碳交易是由政府與企業(yè)共同完成，也稱總量管制交易。Kaya恒等式是目前最常用的碳信用分配式，其將碳排放量與GDP聯(lián)系在一起，根據(jù)Kaya恒等式可以得到某一國家或地區(qū)總的碳排放量[16]，得第t年CO2排放量為：

Et=GDPt×It=GDP×(1+γ)t×I×(1-α)

(1)

其中，It為第t年單位GDP的CO2排放量，γ為經濟年增長速度，α為強度控制目標。

依據(jù)式(1)得到碳排放總量后，政府再按企業(yè)生產能力分配給負有減排責任的企業(yè)。據(jù)此制造商可得到政府免費碳限額L，并在以下運營環(huán)節(jié)上產生碳排放：

(1)訂貨排放量

訂貨排放主要是訂購各種原材料w運輸過程發(fā)生的排放ET，根據(jù)Palmer的研究，車輛啟動、空載時產生的排放可視為固定排放，而車輛載重、行駛距離等變化會影響可變排放浮動。前文假設每次訂貨都是整車運輸，且車輛運輸能力無限，所以可變排放部分也視為固定不變，將其與空載等排放合并，均為固定排放率Ef,w，訂購w種原材料，每種材料訂購數(shù)量為實際需求量的τ倍，根據(jù)文獻9的研究，可得出每個周期時間內訂貨過程的排放總量為：

(2)

(2)庫存排放量

(3)

(3)生產排放量

生產過程同樣會產生大量排放EM，文中只計算直接生產活動產生的排放，生產單位產品的排放率為EP，每個周期生產活動產生的排放總量為

EM=EPQ

(4)

(4)可交易碳限額

可交易碳限額是指制造商全部碳排放與免費分配限額L之間的差額，此值可取正或負，表示如下：

(5)

當Y>0，制造商的分配碳限額結余，碳交易活動能夠增加制造商收益；相反，Y<0表示制造商超標準排放，為履行政府排放政策，需要在碳交易市場上購買碳限額Y，由此影響制造商生產數(shù)量、訂貨水平及庫存成本等決策變化。

2.3 模型構建

(6)

進而得出制造商總成本函數(shù)，

(7)

TC0(Q,τ)是無碳約束時制造商總成本，式中第一項是生產啟動成本，第二項是原材料訂貨成本，第三項是產成品持有成本，第四項是原材料持有成本，第五項是生產成本，在引入碳排放限額與碳交易之后，制造商新的成本函數(shù)TC(Q,τ)表示如下：

(8)

S,Co,w,Ch,Ch,w,rw,V均大于0，Y∈任意整數(shù)。

式(9)是上面式(5)的變形，將式(5)代入式(8)中，得出碳限額與碳交易約束下制造商生產-庫存成本模型：

(11)

當碳交易價格V=0時，上述模型還原為式(7)，即為經典EOQ成本模型。

3 模型分析

3.1 最優(yōu)訂貨倍數(shù)與最優(yōu)生產數(shù)量的導出分析

上一部分建立了碳限額與碳交易約束下制造商的生產-庫存成本模型，下面用數(shù)學分析方法驗證所建立的模型是否存在最優(yōu)解？通過制造商生產-庫存成本模型的單調性可以判定最優(yōu)解的存在性，分析如下：

式(11)的Hessian矩陣為：

(12)

矩陣中各項二階偏導數(shù)分別為：

(13)

令Q2=μ，將分子轉化為μ的二次函數(shù)Θ(μ)，考察分子符號，則有：

(14)

判別式如下：

函數(shù)存在兩個實根，得出

其中μ1<0(舍去)。對于?τ>0，μ2>0恒成立，所以?Q>0使式(14)大于零，可以得出此時Γ>0，由此判定H矩陣是正定矩陣，進一步得出：碳限額與碳交易約束下制造商成本函數(shù)為嚴格凸函數(shù)，存在最優(yōu)的(Q*,τ*)點使總成本最低。

明確生產-庫存成本模型的單調性以后，可進一步得出制造商最優(yōu)生產數(shù)量與最優(yōu)訂貨倍數(shù)。再令式(11)的一階偏導數(shù)?minTC(Q,τ)/?Q=0和?minTC(Q,τ)/?τ=0，建立兩個一階偏導數(shù)的聯(lián)立方程組，即

解得方程組最終解如下：

碳限額與碳交易約束下制造商成本函數(shù)是關于(q,τ)的凸函數(shù)，存在最優(yōu)生產量Q*和最大訂貨倍數(shù)τ*使得制造商總成本最低。

3.2 碳限額、碳交易價格變化對制造商生產-庫存控制策略的影響分析

前面分析結果表明在特定條件下模型存在最優(yōu)的生產量與訂貨倍數(shù)，使制造商總成本達到最小。當政府分配的碳限額、碳交易價格等外在因素變化時，制造商的成本與決策必然受到影響。本部分通過命題進一步討論交易價格與碳限額變化時，制造商的訂貨、生產策略及總成本的變化趨勢。

命題1 制造商排放總量ET+EW+EM與分配碳限額L之間存在以下關系：

(1)若L>(ET+EW+EM)，則制造商可以出售碳限額為L-(ET+EW+EM)，即可交易碳限額Y為正值；(2)若L<(ET+EW+EM)，則制造商需要購買碳限額為(ET+EW+EM)-L，即可交易碳限額Y為負值；(3)若L=(ET+EW+EM)，則制造商不進行碳交易，即可交易碳限額Y=0。

證明 通過式(5)可以很容易得出上述三種關系。

命題2 當碳交易價格V=0，碳限額與碳交易約束下制造商最優(yōu)生產量與無碳約束時相等；當碳交易價格V=+∞，碳排放是影響制造商決策的關鍵因素。

證明 當V=0時，此時制造商產量

當V=+∞時，制造商產量

兩個生產數(shù)量，很明顯Q0與碳排放無關，Q0是由碳排放變量決定，這說明，當V=0時，碳排放管制政策對制造商沒有約束力，制造商從成本角度出發(fā)，選擇Q0為最優(yōu)產量；而當V=+∞時，碳排放成為影響生產數(shù)量的關鍵因素，制造商要通過排放量來決策生產數(shù)量Q0。

命題3 政府分配的碳限額L不影響制造商訂貨倍數(shù)τ及生產數(shù)量Q，進而不影響制造商的碳排放總量，但會影響制造商可交易碳限額及總成本。當碳交易價格V=0時，L變化不影響制造商總成本TC；當碳交易價格等于某一定值時，碳限額L增加，總成本TC下降。

證明 通過偏導方程得出的最優(yōu)訂貨倍數(shù)τ*和最優(yōu)生產數(shù)量Q*，都是與L無關的函數(shù)，即dτ*/dL=0和dQ*/dL=0，碳限額L變化，不能對τ*和Q*產生影響。

由式(11)得出dminTC(Q,τ)/dL=-V，可知碳限額與總成本呈相反變化趨勢，當V≠0時，制造商總成本會隨著碳限額L增加而減少；V=0時，即dminTC(Q,τ)/dL=0，此時L變化不再制造商總成本TC產生影響。

命題4 可交易碳限額Y隨著生產數(shù)量Q增加而增加，達到最小排放產量以后，Y隨著Q增加而減少；可交易碳限額Y對制造商總成本TC影響趨勢與之相反，在排放最低的產量左側，制造商可交易碳限額數(shù)量增加，TC逐漸減少，當Y減少時，TC也隨之增加。

證明 從式(5)知可交易碳限額Y與生產數(shù)量Q的關系，通過導數(shù)關系變化可以得出二者變化趨勢：

此時碳排放最低，可交易碳限額取得最大值，在(0,Q)上，Y隨著Q的增加而增加，在(Q,+∞)之間，Q繼續(xù)增加，Y逐漸減少。

可交易碳限額增加時，制造商可以出售碳限額不斷增加，所以制造商總成本隨之減少；當生產量使碳排放達到最低時，制造商可交易碳限額數(shù)量達到最大值；當生產量繼續(xù)增加時，排放總量也不斷增加，可用于出售的碳限額開始減少，總成本開始增加；當生產量超過某一定值(設為Φ)以后，制造商必須購買碳限額以滿足生產需要。其中

4 數(shù)值算例分析

本文以廣州潤發(fā)塑膠有限公司為例，驗證碳限額與碳交易對提升制造商最優(yōu)生產-庫存控制策略的效果。廣州碳排放交易所完成了中國首例碳排放權配額交易，排控交易制度規(guī)范，潤發(fā)公司主要生產混煉膠制品，需要3種原料，原材料相關數(shù)據(jù)如表1所示。產品的市場需求量為70000件/年，企業(yè)的產能為80000件/年，產成品持有成本25元/件，生產成本30元/件，啟動成本S=2500元/次，產成品庫存持有排放率2千克/件，生產排放率3.5千克/件，分配給潤發(fā)公司的碳限額L=20000噸，單位碳交易價格100元/噸。

表1 原材料相關輸入?yún)?shù)

圖2 碳交易價格變化對生產數(shù)量和訂貨倍數(shù)的影響

通過計算實驗得出碳限額與碳交易約束下制造商原材料訂貨倍數(shù)是12.7，最優(yōu)生產量892件/次，總成本356656元，而無碳約束的情形下，制造商原材料訂貨倍數(shù)是1.0，最優(yōu)生產量2604件，總成本117666元。相比之下，在沒有碳排放約束時，制造商對全年產量按31個批次進行生產，訂購原材料31次；而考慮碳排放約束時，則完成全部產量要生產90個小批次，只需要訂購7次原材料，在給定的碳限額之下，當碳交易價格變動時，原材料訂購倍數(shù)及生產量的變化趨勢如圖2所示。

圖2表明在給定碳限額20000之下，訂貨倍數(shù)隨著碳交易價格的增加而增加，當V=0時，制造商只訂購每個生產批次所需材料，即1倍，而當交易價格V=100，訂貨倍數(shù)達到12.7，價格越高制造商越傾向于增加訂貨量，而減少運輸排放，但會增加庫存持有成本。生產數(shù)量則與碳價格反向變動，V=0，生產量為2604件，而當V=100時，生產量減至892件，即交易價格越高，生產批量越小。在給定不同碳限額、價格之下，總成本變化如圖3和圖4所示：

圖3 不同碳限額之下總成本變化趨勢圖

圖4 不同碳價格之下總成本變化趨勢圖

由圖3可知，分配的碳限額越低，制造商成本越高，如L=10000時，碳交易價格上漲，制造商在既定的生產條件下其成本不斷增加；當碳限額逐漸增加時，制造商成本開始下降，分配碳限額足夠高時，在一定價格之下，出售剩余碳限額的收益能夠抵消運營成本，如L=30000，當碳價格V=20時，成本曲線開始遞減，V>40以后，碳交易收益抵消運營成本后，還有剩余，這說明分配碳限額過高，L=20000數(shù)量適中，對制造商影響趨勢平穩(wěn)。

圖4說明碳價格變化對制造商總成本的影響，即分配碳限額增加，制造商總成本下降，交易價格越高對成本影響越顯著，但當交易價格V=0，制造商成本始終是117666元，無論碳限額增減，成本無任何變化，此種情形下碳限額與碳交易失效。圖5和圖6說明交易價格不同，碳限額與訂貨倍數(shù)和生產數(shù)量之間的關系。

圖5 碳限額變化對訂貨倍數(shù)的影響

圖6 碳限額變化對生產數(shù)量的影響

由圖5和圖6可知，當碳交易價格V固定時，碳限額變動對訂貨倍數(shù)及生產數(shù)量不會產生影響，如V=100，碳限額從10000增加到30000時，制造商的訂貨倍數(shù)是12.7、生產數(shù)量是892件/次一直沒有發(fā)生變化，但交易價格改變時，在V=50或V=0時，兩個決策變量才開始發(fā)生變化，交易價格越低，訂貨倍數(shù)越少，生產數(shù)量越多。這說明交易價格對制造商運營影響顯著，通常情況下，碳限額分配受國家政策影響，單個企業(yè)或組織只能接受現(xiàn)行分配方案，并在既定碳限額下經營，但交易價格是市場產物，直接影響制造商出售收益或購買成本，因而影響效果更明顯。

5 結束語

本文研究了碳限額與碳交易約束下制造商多種原材料訂貨數(shù)量及生產批量問題，運用擴展EOQ模型，考慮訂貨、存儲及生產過程中的碳排放，建立了帶有碳約束的制造商生產-庫存成本模型，并通過模型分析得出有碳約束且成本最優(yōu)生產量及原材料最大訂購倍數(shù)以及碳限額與碳交易約束下制造商最優(yōu)生產-庫存策略。計算實驗與算例分析表明：碳限額與碳交易約束下，制造商的生產批量減小、訂貨頻率減少而訂貨數(shù)量增加，總成本也高于無碳約束的情形。在一定條件下，訂貨倍數(shù)與生產數(shù)量可以使總成本達到最低，但在此范圍之外，總成本的變化趨勢受到分配碳限額與碳交易價格的影響而呈不同變化趨勢。交易價格上漲時，碳限額越嚴格，制造商總成本隨著交易價格的增加而遞增；當碳限額適中時，總成本曲線呈現(xiàn)先增后減趨勢，而且碳限額越高，成本曲線拐點越早出現(xiàn)，這一點與Hua的結論略有不同。此外，當給定交易價格時，碳限額增加不影響訂貨倍數(shù)與生產數(shù)量，但影響總成本變化，大體上是碳限額增加時制造商總成本遞減，且交易價格越高，對成本影響越顯著，可是當交易價格等于零時，制造商的成本不因碳限額的增加而變化，保持某一定值不變，得出碳交易價格在高、中、低之下，制造商的成本變化趨勢，為制造商在碳限額與碳交易約束下選擇最優(yōu)生產-庫存策略提供依據(jù)，這一點是已有研究未涉及到的。

本文內容可擴展至多級供應鏈環(huán)境之下進行研究，不同供應鏈成員間碳限額與碳交易約束下的生產-庫存協(xié)調問題，這一部分工作有待以后繼續(xù)完成。

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Manufacturers of Production-Inventory Control Strategy UnderCarbon Cap-and-Trade mechanism

JI Shou-feng1, LAN Hai-yan1,2, TANG Jin-huan1, ZHU Bao-lin1

(1.School of Business Administration, Northeastern University, Shenyang 110004, China; 2.School of Management, Liaoning University of Technology. Jinzhou 121001, China)

For manufacturers’ carbon emissions in the process ordering, storage and production, we discuss the manufacturers’ strategies of production-inventory control under carbon cap-and-trade mechanism, construct a production-inventory cost model under cap-and-trade mechanism based on mathematical measure of carbon cap-and-trade mechanism, and derive the optimal production quantity and the maximum order multiple of the multi-raw materials with carbon constraints and manufacturer’ optimum production-inventory policy. Computational experiments and numerical analysis show that manufacturer’ order quantity is higher, and the order frequency and production batch are lower under no-carbon constraints, and draw the change trend of decision variables with the three trading price.

cap-and-trade constraint; production-inventory; optimal production quantity; maximum ordering multiple; carbon price uncertainty

2014- 03- 07

國家自然科學基金項目(70872019);遼寧省教育廳人文社科基地項目(ZJ2013014)

戢守峰(1958-)，男，遼寧沈陽人，東北大學教授，博士生導師，研究方向：物流系統(tǒng)建模與優(yōu)化、物流與供應鏈管理。

F253

A

1007-3221(2015)03- 0051- 09